Как найти скорость электрона ускоренного разностью потенциалов

Решение.
Для решения задачи необходимы m – масса электрона, m = 9,1∙10^-31 кг, е – модуль заряда электрона, е = 1,6∙10^-19 Кл, μ₀ = 4π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.
Электрон, ускоренный разностью потенциалов, определим скорость электрона:

[ begin{align}
  & ecdot U=A, A=frac{mcdot upsilon _{{}}^{2}}{2}-frac{mcdot upsilon _{1}^{2}}{2}, {{upsilon }_{1}}=0, A=frac{mcdot upsilon _{{}}^{2}}{2}, ecdot U=frac{mcdot upsilon _{{}}^{2}}{2} , \
 & upsilon =sqrt{frac{2cdot ecdot U}{m}} (1). \
end{align} ]

На электрон действует сила Лоренца, запишем формулу для определения силы Лоренца:

[ {{F}_{L}}=ecdot Bcdot upsilon cdot sin alpha , sin alpha =1, {{F}_{L}}=ecdot Bcdot upsilon (2). ]

Магнитную индукцию на расстоянии r от бесконечно длинного проводника определим по формуле:

[ B=frac{{{mu }_{0}}cdot I}{2cdot pi cdot r} (3). ]

Подставим (1) и (3) в (2) определим силу которая действует на электрон.

[ {{F}_{L}}=ecdot frac{{{mu }_{0}}cdot I}{2cdot pi cdot r}cdot sqrt{frac{2cdot ecdot U}{m}} (4). ]

F_L = 4,24∙10^-16 Н.

Electrons are one of the three basic constituents of atoms, the other two being protons and neutrons. Electrons are extremely small even by the standards of subatomic particles, with each having a mass of 9 × 10^-31 kg.

Because electrons carry a net charge, the value of which is 1.6 × 10^-19coulombs (C), they are accelerated in an electromagnetic field in a manner analogous to the way ordinary particles are accelerated by a gravitational field or other external force. If you know the value of this field’s potential difference, you can calculate the speed (or velocity) of an electron moving under its influence.

Step 1: Identify the Equation of Interest

You may recall that in everyday physics, the kinetic energy of an object in motion is equal to (0.5)mv², where m equals mass and v equals velocity. The corresponding equation in electromagnetics is:

qV=0.5mv^2

where m = 9 × 10^-31 kg and q, the charge of a single electron, is 1.6 × 10^-19 C.

Step 2: Determine the Potential Difference Across the Field

You may have come to regard voltage as something pertaining to a motor or a battery. But in physics, voltage is a potential difference between different points in space within an electric field. Just as a ball rolls downhill or is carried downstream by a flowing river, an electron, being negatively charged, moves toward areas in the field that are positively charge, such as an anode.

Step 3: Solve for the Speed of the Electron

With the value of V in hand, you can rearrange the equation

qV=0.5mv^2

to

v=sqrt{frac{2qV}{m}}

For example, given V = 100 and the constants above, the speed of an electron in this field is:

v=sqrt{frac{2times 1.6times 10^{-19}times 100}{9times 10^{-31}}}=6times 10^6text{ m/s}

2017-04-30   

Определить скорость электрона, разогнанного из состояния покоя электрическим полем с ускоряющей разностью потенциалов $|u| = 10^{6} В$.

Решение:

Под действием ускоряющей разности потенциалов электрон приобретает кинетическую энергию $W_{k} = |e|u = 10^{6} эВ = 1 МэВ$ (пройдя разность потенциалов 1 В, электрон приобретает энергию 1 эВ, при прохождении разности потенциалов $10^{6} В$ электрон приобретает энергию $10^{6} эВ$).

Как и в задаче 3249 кинетическую энергию выразим как разность между полной энергией $W$ и энергией покоя электрона $W_{0} = m_{e}c^{2} = 0,511 МэВ$.

Итак, $W_{k} = mc^{2} — m_{e}c^{2} Rightarrow frac{m}{m_{e}} = frac{W_{k}}{m_{e}c^{2}} + 1$. Подставляя $m = frac{m_{e}}{ sqrt{1 — (v/c)^{2}}}$ и учитывая, что $m_{e}c^{2} = W_{0}$, получим уравнение: $frac{1}{ sqrt{1 — (v/c)^{2}}} = frac{W_{k}}{W_{0}} + 1 Rightarrow 1 — (v/c)^{2} = frac{1}{ left ( frac{W_{k}}{W_{0}} + 1 right )^{2} } Rightarrow (v/c)^{2} = 1 — frac{1}{ left ( frac{W_{k}}{W_{0}} + 1 right )^{2}} = frac{8}{9}$.

Следовательно, $v = frac{2 sqrt{2}}{3} c = 2,83 cdot 10^{8} м/с$.

Условие задачи:

Найти скорость, которую приобретает электрон, пролетевший в электрическом поле от точки с потенциалом 100 В до точки с потенциалом 300 В, если начальная скорость электрона равна 5 Мм/с.

Задача №6.3.49 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(varphi_1=100) В, (varphi_2=300) В, (upsilon_0=5) Мм/с, (upsilon-?)

Решение задачи:

Работу электрического поля (A) при перемещении электрона из точки с потенциалом (varphi_1) до точки с потенциалом (varphi_2) необходимо определять по формуле:

[A = – Delta varphi e]

В этой формуле (Delta varphi) – разность потенциалов, равная (Delta varphi = {varphi _1} – {varphi _2}), (e) – модуль заряда электрона (элементарный заряд), равный 1,6·10^-19 Кл. Знак “минус” появился из-за того, что электрон имеет отрицательный заряд. Тогда:

[A = – left( {{varphi _1} – {varphi _2}} right)e]

[A = left( {{varphi _2} – {varphi _1}} right)e;;;;(1)]

Работа электрического поля также равна изменению кинетической энергии электрона:

[A = frac{{m{upsilon ^2}}}{2} – frac{{mupsilon _0^2}}{2}]

[A = frac{m}{2}left( {{upsilon ^2} – upsilon _0^2} right);;;;(2)]

Масса электрона (m) равна 9,1·10^-31 кг. Приравняем (1) и (2), тогда:

[left( {{varphi _2} – {varphi _1}} right)e = frac{m}{2}left( {{upsilon ^2} – upsilon _0^2} right)]

[{upsilon ^2} – upsilon _0^2 = frac{{2left( {{varphi _2} – {varphi _1}} right)e}}{m}]

[upsilon = sqrt {upsilon _0^2 + frac{{2left( {{varphi _2} – {varphi _1}} right)e}}{m}} ]

Задача решена в общем, теперь подставим в формулу численные значения и посчитаем ответ:

[upsilon = sqrt {{{left( {5 cdot {{10}^6}} right)}^2} + frac{{2 cdot left( {300 – 100} right) cdot 1,6 cdot {{10}^{ – 19}}}}{{9,1 cdot {{10}^{ – 31}}}}} = 9,76 cdot {10^6};м/с]

Ответ: 9,76·10⁶ м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.48 Энергия 100 эВ в системе СИ равна
6.3.50 В углах квадрата со стороной 4 см поместили 4 электрона. Под действием электрических
6.3.51 Электрон, ускоренный разностью потенциалов 5 кВ, влетает в середину зазора между