Как найти сколько отрезков на прямой

Прямая, луч, отрезок, точка

    Прямой называется линия (множество точек имеющих лишь длину) которая не искривляется и не имеет ни начала ни конца.

    Отрезок это прямая ограниченная с двух концов.

    Луч это прямая ограниченная с одного конца.

    Точка не имеет никаких измерительных характеристик, в задачах важно только ее местоположение.

Отметим три точки на прямой

   Прямая не является трехмерной фигурой, более того она не искривляется, а бесконечно продолжается не имея ни ширины ни высоты в 1 плоскости. Поэтому и точки можно ставить на протяжении всей бесконечной длины где угодно, это повлияет только на длину отрезков, отсекаемых этими точками.

Количество отрезков

     Так как точек три, расположим их произвольно на прямой и назовем а, b, c. Таким образом три точки ограничивают прямую, превращая в отрезки три раза, то есть мы имеем три отрезка

• ab,
• bc,
• ac

   Количество лучей

     Теперь разберемся с лучами. Прямая не ограниченна ни с начала ни с конца, а луч должен быть ограничен с одной стороны. 

• если мы поставим на прямой 1 точку соответственно ограничив ее в этой точке то получим 2 луча, 
• если поставим 2 точки мы ограничим прямую в двух местах, логично было бы предположить что и лучей у нас будет больше 2х, но ограничив в двух местах мы получили отрезок, т. к . он ограничен с двух сторон, и 2 луча, т. к. имеем еще начало и конец прямой, которые не ограничены,
• если поставим три точки? правильно, ситуация повторится, только увеличится количество отрезков

Ответ

   Прямая на которой отмечены три точки делится этими точками на три отрезка и два луча.

Для наглядности я сделала рисунок. Фактически — это является арифметическим решением с числами, 1, 2, 3. их сумма равна 6-ти, но я пойду другим — длинным путём, подсчитаю количество отрезков методом последовательных переборов.

Первый отрезок, начнём от точки «А», естественно это AB, следующий AC, третий самый длинный от начала до конца AD, переходим к точке «В», четвёртый будет BC, за ним следует пятый BD, и последний, в гордом одиночестве, принадлежит к точке «С», — это 6-й отрезок CD.

Итог: всего получится 6 отрезков. Значит задание (экзамен) для первого класса школы, я сдала на отлично? Впрочем не знаю, может линии, точки и отрезки изучают не в первом классе? Ну уж точно не в выпускном классе.

Геометрия

7 класс

Урок № 1

Прямая и отрезок

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Исторические сведения о возникновении и предмете изучения геометрии, значение геометрии.
• Знакомство с особенностями геометрических задач, аксиомами и теоремами.
• Различие между плоскими и пространственными фигурами;
• Формулировка основных определений и описание понятий: «отрезок», «расстояние между двумя точками», «принадлежит прямой» и «лежит между».
• Взаимное расположение трёх точек, прямых.
• Изображение с помощью чертежных инструментов прямых, отрезков, лучей.
• Измерение расстояния на местности провешиванием прямой.

Тезаурус:

Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная точками, вместе с этими точками.

Концы отрезка – это точки, ограничивающие отрезок.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Геометрия – неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли», – однажды сказал российский математик Игорь Фёдорович Шарыгин.

С этих слов мы и начнём изучать новый раздел математики, который называется геометрия.

Геометрия – одна из древнейших наук, которая возникла из потребностей человека. Её название состоит из двух древнегреческих слов: гео – земля и метрео – измеряю, получается: «землю измеряю». Действительно, слово «геометрия» связано с измерениями, как на земельных участках, так и при строительстве зданий. Многие факты добывались опытным путем, поэтому геометрия не являлась точной наукой во времена своего зарождения.

Геометрические сведения стали доказываться только благодаря древнегреческому учёному Фалесу, который жил в VI веке до нашей эры.

Спустя некоторое время, уже в III веке до нашей эры, другой греческий учёный Евклид написал «Начала». Эта книга стала основой изучения геометрии на долгое время, а наука в честь учёного была названа евклидовой геометрией.

Сегодня геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

В школе изучается два курса геометрии – планиметрия, в ней рассматриваются свойства фигур на плоскости, и стереометрия, в ней рассматриваются свойства фигур в пространстве.

Аксиомы планиметрии.

В каждой науке есть свои термины, понятия, геометрия не исключение. В геометрии есть основные положения, которые принимаются в качестве исходных и носят название аксиом и основные понятия, определение которым не даётся, например, точка и прямая, но их свойства выражены в аксиомах. Это всё является фундаментом геометрии, на котором строятся другие понятия и доказываются теоремы.

Рассмотрим некоторые из аксиом.

1. Аксиомы принадлежности.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

2. Аксиомы расположения.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Аксиомы измерения.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

В целом аксиомы разделены на 5 групп, 3 из которых, частично, представлены вашему вниманию.

В 7 классе вы будете изучать планиметрию. Давайте перечислим некоторые понятия из этого раздела геометрии. Поговорим о точках, прямых, отрезках, вспомним, как они обозначаются.

Обычно прямую обозначают малой латинской буквой (например, a), а точки большими латинскими буквами, например, A.

Если на прямой отметить точки, например, A и B, то прямую в можно обозначить двумя заглавными буквами AB или BA.

Часть прямой, ограниченной точками, включая эти точки, называют отрезком. В нашем случае получаем отрезок AB или BA.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. В нашем случае концами отрезка являются точки A и B.

Варианты взаимного расположения точек и прямой: точки могут лежать на прямой или не лежать на ней.

Например, точки A и B лежат на прямой a, точки C и D не лежат на прямой a. При этом в записи используют следующее обозначение:

Это можно прочитать таким образом: «точка A и B принадлежат прямой a (ϵ – знак принадлежности), также точки C и D не принадлежат прямой a (перечёркнутый знак принадлежности)».

При этом через точки А и В нельзя провести прямую, не совпадающую с прямой а, из этого делаем вывод, что через любые две точки можно провести только одну прямую.

Рассмотрим, как располагаются прямые на плоскости.

Прямые могут иметь только одну общую точку, тогда говорят, что прямые пересекаются или не иметь общих точек, тогда говорят, что прямые не пересекаются.

прямые пересекаются – прямые не пересекаются

Провешивание прямой.

Решим задачу. Построим с помощью линейки отрезок длиннее, чем она сама. Приём, который мы будем использовать, называется провешиванием прямой.

Рассмотрим, в чём он заключается. Для этого приложим к листу бумаги линейку и отметим три точки А, В, С, при этом, точка С пусть лежит между точками А и В. Далее передвинем линейку так, чтобы её конец оказался около точки С, отметим точку D. Все построенные точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Теперь проведём отрезок АВ, потом отрезок ВD, в результате получим отрезок АD длиннее, чем линейка.

Для построения на местности отмечают две точки, например, А и В, ставят в них шесты (вехи), третий шест ставят в точку С так, чтобы её закрывали уже ранее поставленные шесты.

Так можно прокладывать линии высоковольтных передач, трассы и т. д.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Сколько отрезков образуется при пересечении прямых на рисунке?

Объяснение:

Посмотрите на рисунок. На нём изображены 4 пересекающиеся прямые, точки пересечения разбивают прямые на отрезки: прямая с разбивается на 3 отрезка АЕ, АВ, ЕВ. Аналогично все прямые разбиваются на 3 отрезка. В результате получаем, что каждая из четырёх прямых, разбивается точками пересечения на 3 отрезка, значит: 4 · 3 = 12

Ответ: 12.

2. Выберите правильные варианты ответа. С чем пересекается прямая m?

Варианты ответа:

с прямой n

с отрезком АВ

с отрезком СL

с отрезком АС

Решение: при выполнении задания, нужно помнить, что прямая бесконечно продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен точками, поэтому, если продолжить прямую m и n, то становится понятно, что они пересекутся между собой. Кроме того, прямая m пересечётся и с отрезком АВ. Следовательно, получается 2 ответа: прямая m пересекается с прямой n и отрезком АВ.

Ответ: прямая m пересекается с прямой n; прямая m пересекается с отрезком АВ.