Как найти сколько оборотов сделает диск

Диск вращается с угловым ускорением — 2 рад/с^2. Какое количество оборотов сделает диск за время, когда частота его оборотов изменится от 240 мин^-1 до 90 мин^-1? Найти это время. Ответ дан такой: (21,6; 7,85 с).

Частота оборотов в условии задачи задана в оборотах в минуту, а угловое ускорение в радианах в секунду в квадрате. Переведем начальную    и конечную    частоту  в начальное $N_0$ и конечное $N_1$ количество оборотов в секунду:

$N_0=frac{240}{60}=4$

$N_1=frac{90}{60}=1,5$

           Теперь же от количества оборотов  надо бы перейти к начальной  $w_0$  и конечной $w_1$ угловым скоростям.  За один оборот диск поворачивается на 360 градусов или в радианах на $2pi$ радиан.

Тогда начальная угловая скорость в радианах в секунду:        $w_0=8pi$

 Конечная угловая скорость:  $w_1=3pi$

Угловая скорость во времени меняется по закону:   $w_1=w_0+varepsilon t$         (1)

где $varepsilon$   —  угловое ускорение,  t — время.

$t =frac{(3-8)pi}{2}=frac{5*3,14}{2}=7,85;c$

             Теперь найдем на какой угол в радианах повернется диск при равноускоренном вращении:

$phi=w_0t+frac{varepsilon t^2}{2}$

             Если теперь поделить полученный угол поворота в радианах на количество радиан в одном обороте, то мы и получим  количество оборотов, на которое повернется диск:

$n=frac{135,6}{2*pi}=frac{135,6}{2*3,14}=21,6$

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Определение и формулы

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Определение и формулы

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Полезные факты

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Определение и формула

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с²). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10³ секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10⁶. Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 22k

2019-11-30   

Диск радиуса $R$ раскручивают вокруг вертикальной оси с помощью веревки длины $l$, которую тянут с постоянной силой $F$ (pис.). После этого диск соскакивает с оси и попадает на горизонтальную плоскость. Сколько оборотов сделает диск на плоскости до полной остановки, если его масса равна $M$, а коэффициент трения диска о плоскость равен $k$?

Решение:

Диск остановится, когда вся его кинетическая энергия перейдет в тепловую энергию благодаря трению о плоскость. Это означает, что условие остановки диска — равенство кинетический энергии диска работе силы трения.

Кинетическую энергию диска в момент его соприкосновения с плоскостью найти нетрудно — она равна работе силы $F$:

$W_{к} = Fl$. (1)

Найдем работу силы трения. Перемещение различных точек диска различно. Поэтому поступим следующим образом. Разобьем диск на тонкие полые цилиндры. Рассмотрим один из таких цилиндров, находящийся от центра диска на расстоянии $r$ (рис.). Толщина его $Delta r ll r$, поэтому можно считать, что при повороте диска на угол $phi$ каждая точка выделенного цилиндра переместится на $phi r$. Это означает, что сила трения $F_{тр}$ совершила работу

$Delta A = F_{тр} phi r = k Delta m g phi r$, (2)

где $Delta m$ — масса выделенного цилиндра, которую можно выразить через массу диска $M$. Очевидно, orношение массы цилиндра к массе диска равно отношению их площадей

$frac{ Delta m}{M} = frac{ pi (r + Delta t)^{2} — pi r^{2} }{ pi R^{2} }$.

Отсюда

$Delta m = M frac{2r Delta r + ( Delta r)^{2} }{ R^{2} }$.

Так как $Delta r ll r$, то $( Delta r)^{2} ll 2r Delta r$ и

$Delta m = 2M frac{r Delta r}{R^{2} }$.

Подставив это выражение для $Delta m$ в формулу (2), получим

$Delta A = frac{2 phi Mg kr^{2} Delta r }{R^{2} }$.

Работа силы трения при повороте всего диска равна сумме таких выражений, относящихся к разным цилиндрам:

$A = sum frac{2 phi Mg kr^{2} Delta r }{R^{2} } = frac{2 phi Mgk sum r^{2} Delta r }{R^{2} }$. (3)

Сумму $sum r^{2} Delta r$ можно посчитать так. Рассмотрим график функции $y = r^{2}$ (рис.). Произведение $r^{2} Delta r$ — это площадь выделенного на рисунке прямоугольника, а сумма $sum r^{2} Delta r$ равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из подобных прямоугольников. При $Delta r rightarrow 0$ ломаная линия стремится к параболе $y = r^{2}$. Поэтому выражение $sum r^{2} Delta r$г численно равно площади фигуры под графиком параболы. Для отыскания этой площади можно использовать метод, изложенный в статье Л Д. сентукидзе «Архимед и квадратура параболы» («Квант» ? 7, 1971), и прийти к выражению

$sum r^{2} Delta r = frac{1}{3} R^{3}$.

Подставим это выражение в формулу (3)

$A = frac{2 phi Mg k R^{3} }{3R^{2} } = frac{2}{3} phi Mg kR$.

Приравняем теперь эту величину кинетической энергии диска:

$frac{2}{3} phi MgkR = Fl$.

Отсюда найдем угол поворота диска

$phi = frac{3}{2} frac{Fl}{MgkR}$.

Число оборотов диска равно

$n = frac{ phi}{ 2 pi} = frac{3}{4} frac{Fl}{ pi Mg kR}$.