Таблица синусов.
Таблица синусов — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу синусов вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение синуса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.
Калькулятор — синус угла
sin(°) = 0
Калькулятор — арксинус угла
arcsin() = 90°
Таблица синусов в радианах
| α | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π | 3π2 | 2π |
| sin α | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 | -1 | 0 |
Таблица синусов углов от 0° до 180°
| sin(0°) = 0 sin(1°) = 0.017452 sin(2°) = 0.034899 sin(3°) = 0.052336 sin(4°) = 0.069756 sin(5°) = 0.087156 sin(6°) = 0.104528 sin(7°) = 0.121869 sin(8°) = 0.139173 sin(9°) = 0.156434 sin(10°) = 0.173648 sin(11°) = 0.190809 sin(12°) = 0.207912 sin(13°) = 0.224951 sin(14°) = 0.241922 sin(15°) = 0.258819 sin(16°) = 0.275637 sin(17°) = 0.292372 sin(18°) = 0.309017 sin(19°) = 0.325568 sin(20°) = 0.34202 sin(21°) = 0.358368 sin(22°) = 0.374607 sin(23°) = 0.390731 sin(24°) = 0.406737 sin(25°) = 0.422618 sin(26°) = 0.438371 sin(27°) = 0.45399 sin(28°) = 0.469472 sin(29°) = 0.48481 sin(30°) = 0.5 sin(31°) = 0.515038 sin(32°) = 0.529919 sin(33°) = 0.544639 sin(34°) = 0.559193 sin(35°) = 0.573576 sin(36°) = 0.587785 sin(37°) = 0.601815 sin(38°) = 0.615661 sin(39°) = 0.62932 sin(40°) = 0.642788 sin(41°) = 0.656059 sin(42°) = 0.669131 sin(43°) = 0.681998 sin(44°) = 0.694658 sin(45°) = 0.707107 |
sin(46°) = 0.71934 sin(47°) = 0.731354 sin(48°) = 0.743145 sin(49°) = 0.75471 sin(50°) = 0.766044 sin(51°) = 0.777146 sin(52°) = 0.788011 sin(53°) = 0.798636 sin(54°) = 0.809017 sin(55°) = 0.819152 sin(56°) = 0.829038 sin(57°) = 0.838671 sin(58°) = 0.848048 sin(59°) = 0.857167 sin(60°) = 0.866025 sin(61°) = 0.87462 sin(62°) = 0.882948 sin(63°) = 0.891007 sin(64°) = 0.898794 sin(65°) = 0.906308 sin(66°) = 0.913545 sin(67°) = 0.920505 sin(68°) = 0.927184 sin(69°) = 0.93358 sin(70°) = 0.939693 sin(71°) = 0.945519 sin(72°) = 0.951057 sin(73°) = 0.956305 sin(74°) = 0.961262 sin(75°) = 0.965926 sin(76°) = 0.970296 sin(77°) = 0.97437 sin(78°) = 0.978148 sin(79°) = 0.981627 sin(80°) = 0.984808 sin(81°) = 0.987688 sin(82°) = 0.990268 sin(83°) = 0.992546 sin(84°) = 0.994522 sin(85°) = 0.996195 sin(86°) = 0.997564 sin(87°) = 0.99863 sin(88°) = 0.999391 sin(89°) = 0.999848 sin(90°) = 1 |
sin(91°) = 0.999848 sin(92°) = 0.999391 sin(93°) = 0.99863 sin(94°) = 0.997564 sin(95°) = 0.996195 sin(96°) = 0.994522 sin(97°) = 0.992546 sin(98°) = 0.990268 sin(99°) = 0.987688 sin(100°) = 0.984808 sin(101°) = 0.981627 sin(102°) = 0.978148 sin(103°) = 0.97437 sin(104°) = 0.970296 sin(105°) = 0.965926 sin(106°) = 0.961262 sin(107°) = 0.956305 sin(108°) = 0.951057 sin(109°) = 0.945519 sin(110°) = 0.939693 sin(111°) = 0.93358 sin(112°) = 0.927184 sin(113°) = 0.920505 sin(114°) = 0.913545 sin(115°) = 0.906308 sin(116°) = 0.898794 sin(117°) = 0.891007 sin(118°) = 0.882948 sin(119°) = 0.87462 sin(120°) = 0.866025 sin(121°) = 0.857167 sin(122°) = 0.848048 sin(123°) = 0.838671 sin(124°) = 0.829038 sin(125°) = 0.819152 sin(126°) = 0.809017 sin(127°) = 0.798636 sin(128°) = 0.788011 sin(129°) = 0.777146 sin(130°) = 0.766044 sin(131°) = 0.75471 sin(132°) = 0.743145 sin(133°) = 0.731354 sin(134°) = 0.71934 sin(135°) = 0.707107 |
sin(136°) = 0.694658 sin(137°) = 0.681998 sin(138°) = 0.669131 sin(139°) = 0.656059 sin(140°) = 0.642788 sin(141°) = 0.62932 sin(142°) = 0.615661 sin(143°) = 0.601815 sin(144°) = 0.587785 sin(145°) = 0.573576 sin(146°) = 0.559193 sin(147°) = 0.544639 sin(148°) = 0.529919 sin(149°) = 0.515038 sin(150°) = 0.5 sin(151°) = 0.48481 sin(152°) = 0.469472 sin(153°) = 0.45399 sin(154°) = 0.438371 sin(155°) = 0.422618 sin(156°) = 0.406737 sin(157°) = 0.390731 sin(158°) = 0.374607 sin(159°) = 0.358368 sin(160°) = 0.34202 sin(161°) = 0.325568 sin(162°) = 0.309017 sin(163°) = 0.292372 sin(164°) = 0.275637 sin(165°) = 0.258819 sin(166°) = 0.241922 sin(167°) = 0.224951 sin(168°) = 0.207912 sin(169°) = 0.190809 sin(170°) = 0.173648 sin(171°) = 0.156434 sin(172°) = 0.139173 sin(173°) = 0.121869 sin(174°) = 0.104528 sin(175°) = 0.087156 sin(176°) = 0.069756 sin(177°) = 0.052336 sin(178°) = 0.034899 sin(179°) = 0.017452 sin(180°) = 0 |
Таблица синусов углов от 181° до 360°
| sin(181°) = -0.017452 sin(182°) = -0.034899 sin(183°) = -0.052336 sin(184°) = -0.069756 sin(185°) = -0.087156 sin(186°) = -0.104528 sin(187°) = -0.121869 sin(188°) = -0.139173 sin(189°) = -0.156434 sin(190°) = -0.173648 sin(191°) = -0.190809 sin(192°) = -0.207912 sin(193°) = -0.224951 sin(194°) = -0.241922 sin(195°) = -0.258819 sin(196°) = -0.275637 sin(197°) = -0.292372 sin(198°) = -0.309017 sin(199°) = -0.325568 sin(200°) = -0.34202 sin(201°) = -0.358368 sin(202°) = -0.374607 sin(203°) = -0.390731 sin(204°) = -0.406737 sin(205°) = -0.422618 sin(206°) = -0.438371 sin(207°) = -0.45399 sin(208°) = -0.469472 sin(209°) = -0.48481 sin(210°) = -0.5 sin(211°) = -0.515038 sin(212°) = -0.529919 sin(213°) = -0.544639 sin(214°) = -0.559193 sin(215°) = -0.573576 sin(216°) = -0.587785 sin(217°) = -0.601815 sin(218°) = -0.615661 sin(219°) = -0.62932 sin(220°) = -0.642788 sin(221°) = -0.656059 sin(222°) = -0.669131 sin(223°) = -0.681998 sin(224°) = -0.694658 sin(225°) = -0.707107 |
sin(226°) = -0.71934 sin(227°) = -0.731354 sin(228°) = -0.743145 sin(229°) = -0.75471 sin(230°) = -0.766044 sin(231°) = -0.777146 sin(232°) = -0.788011 sin(233°) = -0.798636 sin(234°) = -0.809017 sin(235°) = -0.819152 sin(236°) = -0.829038 sin(237°) = -0.838671 sin(238°) = -0.848048 sin(239°) = -0.857167 sin(240°) = -0.866025 sin(241°) = -0.87462 sin(242°) = -0.882948 sin(243°) = -0.891007 sin(244°) = -0.898794 sin(245°) = -0.906308 sin(246°) = -0.913545 sin(247°) = -0.920505 sin(248°) = -0.927184 sin(249°) = -0.93358 sin(250°) = -0.939693 sin(251°) = -0.945519 sin(252°) = -0.951057 sin(253°) = -0.956305 sin(254°) = -0.961262 sin(255°) = -0.965926 sin(256°) = -0.970296 sin(257°) = -0.97437 sin(258°) = -0.978148 sin(259°) = -0.981627 sin(260°) = -0.984808 sin(261°) = -0.987688 sin(262°) = -0.990268 sin(263°) = -0.992546 sin(264°) = -0.994522 sin(265°) = -0.996195 sin(266°) = -0.997564 sin(267°) = -0.99863 sin(268°) = -0.999391 sin(269°) = -0.999848 sin(270°) = -1 |
sin(271°) = -0.999848 sin(272°) = -0.999391 sin(273°) = -0.99863 sin(274°) = -0.997564 sin(275°) = -0.996195 sin(276°) = -0.994522 sin(277°) = -0.992546 sin(278°) = -0.990268 sin(279°) = -0.987688 sin(280°) = -0.984808 sin(281°) = -0.981627 sin(282°) = -0.978148 sin(283°) = -0.97437 sin(284°) = -0.970296 sin(285°) = -0.965926 sin(286°) = -0.961262 sin(287°) = -0.956305 sin(288°) = -0.951057 sin(289°) = -0.945519 sin(290°) = -0.939693 sin(291°) = -0.93358 sin(292°) = -0.927184 sin(293°) = -0.920505 sin(294°) = -0.913545 sin(295°) = -0.906308 sin(296°) = -0.898794 sin(297°) = -0.891007 sin(298°) = -0.882948 sin(299°) = -0.87462 sin(300°) = -0.866025 sin(301°) = -0.857167 sin(302°) = -0.848048 sin(303°) = -0.838671 sin(304°) = -0.829038 sin(305°) = -0.819152 sin(306°) = -0.809017 sin(307°) = -0.798636 sin(308°) = -0.788011 sin(309°) = -0.777146 sin(310°) = -0.766044 sin(311°) = -0.75471 sin(312°) = -0.743145 sin(313°) = -0.731354 sin(314°) = -0.71934 sin(315°) = -0.707107 |
sin(316°) = -0.694658 sin(317°) = -0.681998 sin(318°) = -0.669131 sin(319°) = -0.656059 sin(320°) = -0.642788 sin(321°) = -0.62932 sin(322°) = -0.615661 sin(323°) = -0.601815 sin(324°) = -0.587785 sin(325°) = -0.573576 sin(326°) = -0.559193 sin(327°) = -0.544639 sin(328°) = -0.529919 sin(329°) = -0.515038 sin(330°) = -0.5 sin(331°) = -0.48481 sin(332°) = -0.469472 sin(333°) = -0.45399 sin(334°) = -0.438371 sin(335°) = -0.422618 sin(336°) = -0.406737 sin(337°) = -0.390731 sin(338°) = -0.374607 sin(339°) = -0.358368 sin(340°) = -0.34202 sin(341°) = -0.325568 sin(342°) = -0.309017 sin(343°) = -0.292372 sin(344°) = -0.275637 sin(345°) = -0.258819 sin(346°) = -0.241922 sin(347°) = -0.224951 sin(348°) = -0.207912 sin(349°) = -0.190809 sin(350°) = -0.173648 sin(351°) = -0.156434 sin(352°) = -0.139173 sin(353°) = -0.121869 sin(354°) = -0.104528 sin(355°) = -0.087156 sin(356°) = -0.069756 sin(357°) = -0.052336 sin(358°) = -0.034899 sin(359°) = -0.017452 sin(360°) = 0 |
Над поверхностью воды в бассейне висит фонарь. Под фонарем на глубине 1 м находится водолаз. На какой высоте над водой висит фонарь, если по наблюдениям водолаза расстояние до фонаря составляет 3 м?
Спрятать решение
Решение.
Рассмотрим прохождение луча при очень малом угле падения. Из рисунка видно, что 
Для малых углов тангенс угла равен синусу угла, тогда получаем соотношение 
По закону преломления света 
Для малых углов 
откуда получаем:
Ответ: 1,5 м.
Источник: Гельфгат И. М. Сборник задач по физике для 11 класса, Х.: «Гимназия», 2004 (№ 8.42)
Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.
- Основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$ - Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$ - Cвязь тангенса и котангенса:
$$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$ - Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$ - Синус суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$ - Косинус суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$ - Тангенс суммы и разности:
$$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
$$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$ - Котангенс суммы и разности:
$$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
$$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$ - Двойной угол:
$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$ - Тройной угол:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$ - Формулы половинного угла:
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$ - Понижение степени:
$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$ - Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$ - Преобразование произведения тригонометрических функций:
$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$ - Формулы подстановки тангенса:
$$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$ - Формулы приведения можно найти в отдельной статье
Зачем нужны тригонометрические формулы?
Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.
Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.
Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.
Основное тригонометрическое тождество
$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$
Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.
При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:
Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)
Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.
Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.
В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?
В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$
Ответ: (4.)
Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.
Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.
Основные связи тригонометрических функций
А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:
$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$
Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.
Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).
Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$
Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)
Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$
Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом
Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).
Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
- Синус суммы и разности:
$$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
$$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$ - Косинус суммы и разности:
$$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
$$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$ - Тангенс суммы и разности:
$$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
$$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$ - Котангенс суммы и разности:
$$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
$$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$
Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:
Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).
Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$
Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:
Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)
(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.
Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)
Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)
(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.
Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)
Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.
Формулы двойного угла
$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :
$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$
Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$
Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$
В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:
Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$
Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)
Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$
Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)
Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$
Формулы тройного угла
Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$
Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$
Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$
Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.
Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.
Формулы половинного угла (двойного аргумента)
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$
Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$
Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$
Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$
Формулы понижения степени
$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.
Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.
Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.
Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:
$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$
Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.
Аналогично выводятся все остальные формулы.
Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)
(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$
Преобразование произведения тригонометрических функций
$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.
Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.
Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.
Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)
Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$
Синус угла. Таблица синусов.
Синус угла через градусы, минуты и секунды
Синус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная синус этого угла
У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x
sin(arcsin(y))=y
Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°
Рассчитать арксинус
Определение синуса
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
sin(α) = BC/AB
sin(-α) = -sin(α)
Периодичность синуса
Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π
sin(α ± 2π) = sin(α)
Пример sin(5π) = sin(4π + π) = sin(π)
Таблица синусов в радианах
sin(0°) = 0sin(π/12) = sin(15°) = 0.2588190451sin(π/6) = sin(30°) = 0.5sin(π/4) = sin(45°) = 0.7071067812sin(π/3) = sin(60°) = 0.8660254038sin(5π/12) = sin(75°) = 0.9659258263sin(π/2) = sin(90°) = 1sin(7π/12) = sin(105°) = 0.9659258263sin(2π/3) = sin(120°) = 0.8660254038sin(3π/4) = sin(135°) = 0.7071067812sin(5π/6) = sin(150°) = 0.5sin(11π/12) = sin(165°) = 0.2588190451sin(π) = sin(180°) = 0sin(13π/12) = sin(195°) = -0.2588190451sin(7π/6) = sin(210°) = -0.5sin(5π/4) = sin(225°) = -0.7071067812sin(4π/3) = sin(240°) = -0.8660254038sin(17π/12) = sin(255°) = -0.9659258263sin(3π/2) = sin(270°) = -1sin(19π/12) = sin(285°) = -0.9659258263sin(5π/3) = sin(300°) = -0.8660254038sin(7π/4) = sin(315°) = -0.7071067812sin(11π/6) = sin(330°) = -0.5sin(23π/12) = sin(345°) = -0.2588190451
Таблица Брадиса синусы
| sin(0) = 0 | sin(120) = 0.8660254038 | sin(240) = -0.8660254038 |
| sin(1) = 0.01745240644 | sin(121) = 0.8571673007 | sin(241) = -0.8746197071 |
| sin(2) = 0.0348994967 | sin(122) = 0.8480480962 | sin(242) = -0.8829475929 |
| sin(3) = 0.05233595624 | sin(123) = 0.8386705679 | sin(243) = -0.8910065242 |
| sin(4) = 0.06975647374 | sin(124) = 0.8290375726 | sin(244) = -0.8987940463 |
| sin(5) = 0.08715574275 | sin(125) = 0.8191520443 | sin(245) = -0.906307787 |
| sin(6) = 0.1045284633 | sin(126) = 0.8090169944 | sin(246) = -0.9135454576 |
| sin(7) = 0.1218693434 | sin(127) = 0.79863551 | sin(247) = -0.9205048535 |
| sin(8) = 0.139173101 | sin(128) = 0.7880107536 | sin(248) = -0.9271838546 |
| sin(9) = 0.156434465 | sin(129) = 0.7771459615 | sin(249) = -0.9335804265 |
| sin(10) = 0.1736481777 | sin(130) = 0.7660444431 | sin(250) = -0.9396926208 |
| sin(11) = 0.1908089954 | sin(131) = 0.7547095802 | sin(251) = -0.9455185756 |
| sin(12) = 0.2079116908 | sin(132) = 0.7431448255 | sin(252) = -0.9510565163 |
| sin(13) = 0.2249510543 | sin(133) = 0.7313537016 | sin(253) = -0.956304756 |
| sin(14) = 0.2419218956 | sin(134) = 0.7193398003 | sin(254) = -0.9612616959 |
| sin(15) = 0.2588190451 | sin(135) = 0.7071067812 | sin(255) = -0.9659258263 |
| sin(16) = 0.2756373558 | sin(136) = 0.6946583705 | sin(256) = -0.9702957263 |
| sin(17) = 0.2923717047 | sin(137) = 0.6819983601 | sin(257) = -0.9743700648 |
| sin(18) = 0.3090169944 | sin(138) = 0.6691306064 | sin(258) = -0.9781476007 |
| sin(19) = 0.3255681545 | sin(139) = 0.656059029 | sin(259) = -0.9816271834 |
| sin(20) = 0.3420201433 | sin(140) = 0.6427876097 | sin(260) = -0.984807753 |
| sin(21) = 0.3583679495 | sin(141) = 0.629320391 | sin(261) = -0.9876883406 |
| sin(22) = 0.3746065934 | sin(142) = 0.6156614753 | sin(262) = -0.9902680687 |
| sin(23) = 0.3907311285 | sin(143) = 0.6018150232 | sin(263) = -0.9925461516 |
| sin(24) = 0.4067366431 | sin(144) = 0.5877852523 | sin(264) = -0.9945218954 |
| sin(25) = 0.4226182617 | sin(145) = 0.5735764364 | sin(265) = -0.9961946981 |
| sin(26) = 0.4383711468 | sin(146) = 0.5591929035 | sin(266) = -0.9975640503 |
| sin(27) = 0.4539904997 | sin(147) = 0.544639035 | sin(267) = -0.9986295348 |
| sin(28) = 0.4694715628 | sin(148) = 0.5299192642 | sin(268) = -0.999390827 |
| sin(29) = 0.4848096202 | sin(149) = 0.5150380749 | sin(269) = -0.9998476952 |
| sin(30) = 0.5 | sin(150) = 0.5 | sin(270) = -1 |
| sin(31) = 0.5150380749 | sin(151) = 0.4848096202 | sin(271) = -0.9998476952 |
| sin(32) = 0.5299192642 | sin(152) = 0.4694715628 | sin(272) = -0.999390827 |
| sin(33) = 0.544639035 | sin(153) = 0.4539904997 | sin(273) = -0.9986295348 |
| sin(34) = 0.5591929035 | sin(154) = 0.4383711468 | sin(274) = -0.9975640503 |
| sin(35) = 0.5735764364 | sin(155) = 0.4226182617 | sin(275) = -0.9961946981 |
| sin(36) = 0.5877852523 | sin(156) = 0.4067366431 | sin(276) = -0.9945218954 |
| sin(37) = 0.6018150232 | sin(157) = 0.3907311285 | sin(277) = -0.9925461516 |
| sin(38) = 0.6156614753 | sin(158) = 0.3746065934 | sin(278) = -0.9902680687 |
| sin(39) = 0.629320391 | sin(159) = 0.3583679495 | sin(279) = -0.9876883406 |
| sin(40) = 0.6427876097 | sin(160) = 0.3420201433 | sin(280) = -0.984807753 |
| sin(41) = 0.656059029 | sin(161) = 0.3255681545 | sin(281) = -0.9816271834 |
| sin(42) = 0.6691306064 | sin(162) = 0.3090169944 | sin(282) = -0.9781476007 |
| sin(43) = 0.6819983601 | sin(163) = 0.2923717047 | sin(283) = -0.9743700648 |
| sin(44) = 0.6946583705 | sin(164) = 0.2756373558 | sin(284) = -0.9702957263 |
| sin(45) = 0.7071067812 | sin(165) = 0.2588190451 | sin(285) = -0.9659258263 |
| sin(46) = 0.7193398003 | sin(166) = 0.2419218956 | sin(286) = -0.9612616959 |
| sin(47) = 0.7313537016 | sin(167) = 0.2249510543 | sin(287) = -0.956304756 |
| sin(48) = 0.7431448255 | sin(168) = 0.2079116908 | sin(288) = -0.9510565163 |
| sin(49) = 0.7547095802 | sin(169) = 0.1908089954 | sin(289) = -0.9455185756 |
| sin(50) = 0.7660444431 | sin(170) = 0.1736481777 | sin(290) = -0.9396926208 |
| sin(51) = 0.7771459615 | sin(171) = 0.156434465 | sin(291) = -0.9335804265 |
| sin(52) = 0.7880107536 | sin(172) = 0.139173101 | sin(292) = -0.9271838546 |
| sin(53) = 0.79863551 | sin(173) = 0.1218693434 | sin(293) = -0.9205048535 |
| sin(54) = 0.8090169944 | sin(174) = 0.1045284633 | sin(294) = -0.9135454576 |
| sin(55) = 0.8191520443 | sin(175) = 0.08715574275 | sin(295) = -0.906307787 |
| sin(56) = 0.8290375726 | sin(176) = 0.06975647374 | sin(296) = -0.8987940463 |
| sin(57) = 0.8386705679 | sin(177) = 0.05233595624 | sin(297) = -0.8910065242 |
| sin(58) = 0.8480480962 | sin(178) = 0.0348994967 | sin(298) = -0.8829475929 |
| sin(59) = 0.8571673007 | sin(179) = 0.01745240644 | sin(299) = -0.8746197071 |
| sin(60) = 0.8660254038 | sin(180) = 0 | sin(300) = -0.8660254038 |
| sin(61) = 0.8746197071 | sin(181) = -0.01745240644 | sin(301) = -0.8571673007 |
| sin(62) = 0.8829475929 | sin(182) = -0.0348994967 | sin(302) = -0.8480480962 |
| sin(63) = 0.8910065242 | sin(183) = -0.05233595624 | sin(303) = -0.8386705679 |
| sin(64) = 0.8987940463 | sin(184) = -0.06975647374 | sin(304) = -0.8290375726 |
| sin(65) = 0.906307787 | sin(185) = -0.08715574275 | sin(305) = -0.8191520443 |
| sin(66) = 0.9135454576 | sin(186) = -0.1045284633 | sin(306) = -0.8090169944 |
| sin(67) = 0.9205048535 | sin(187) = -0.1218693434 | sin(307) = -0.79863551 |
| sin(68) = 0.9271838546 | sin(188) = -0.139173101 | sin(308) = -0.7880107536 |
| sin(69) = 0.9335804265 | sin(189) = -0.156434465 | sin(309) = -0.7771459615 |
| sin(70) = 0.9396926208 | sin(190) = -0.1736481777 | sin(310) = -0.7660444431 |
| sin(71) = 0.9455185756 | sin(191) = -0.1908089954 | sin(311) = -0.7547095802 |
| sin(72) = 0.9510565163 | sin(192) = -0.2079116908 | sin(312) = -0.7431448255 |
| sin(73) = 0.956304756 | sin(193) = -0.2249510543 | sin(313) = -0.7313537016 |
| sin(74) = 0.9612616959 | sin(194) = -0.2419218956 | sin(314) = -0.7193398003 |
| sin(75) = 0.9659258263 | sin(195) = -0.2588190451 | sin(315) = -0.7071067812 |
| sin(76) = 0.9702957263 | sin(196) = -0.2756373558 | sin(316) = -0.6946583705 |
| sin(77) = 0.9743700648 | sin(197) = -0.2923717047 | sin(317) = -0.6819983601 |
| sin(78) = 0.9781476007 | sin(198) = -0.3090169944 | sin(318) = -0.6691306064 |
| sin(79) = 0.9816271834 | sin(199) = -0.3255681545 | sin(319) = -0.656059029 |
| sin(80) = 0.984807753 | sin(200) = -0.3420201433 | sin(320) = -0.6427876097 |
| sin(81) = 0.9876883406 | sin(201) = -0.3583679495 | sin(321) = -0.629320391 |
| sin(82) = 0.9902680687 | sin(202) = -0.3746065934 | sin(322) = -0.6156614753 |
| sin(83) = 0.9925461516 | sin(203) = -0.3907311285 | sin(323) = -0.6018150232 |
| sin(84) = 0.9945218954 | sin(204) = -0.4067366431 | sin(324) = -0.5877852523 |
| sin(85) = 0.9961946981 | sin(205) = -0.4226182617 | sin(325) = -0.5735764364 |
| sin(86) = 0.9975640503 | sin(206) = -0.4383711468 | sin(326) = -0.5591929035 |
| sin(87) = 0.9986295348 | sin(207) = -0.4539904997 | sin(327) = -0.544639035 |
| sin(88) = 0.999390827 | sin(208) = -0.4694715628 | sin(328) = -0.5299192642 |
| sin(89) = 0.9998476952 | sin(209) = -0.4848096202 | sin(329) = -0.5150380749 |
| sin(90) = 1 | sin(210) = -0.5 | sin(330) = -0.5 |
| sin(91) = 0.9998476952 | sin(211) = -0.5150380749 | sin(331) = -0.4848096202 |
| sin(92) = 0.999390827 | sin(212) = -0.5299192642 | sin(332) = -0.4694715628 |
| sin(93) = 0.9986295348 | sin(213) = -0.544639035 | sin(333) = -0.4539904997 |
| sin(94) = 0.9975640503 | sin(214) = -0.5591929035 | sin(334) = -0.4383711468 |
| sin(95) = 0.9961946981 | sin(215) = -0.5735764364 | sin(335) = -0.4226182617 |
| sin(96) = 0.9945218954 | sin(216) = -0.5877852523 | sin(336) = -0.4067366431 |
| sin(97) = 0.9925461516 | sin(217) = -0.6018150232 | sin(337) = -0.3907311285 |
| sin(98) = 0.9902680687 | sin(218) = -0.6156614753 | sin(338) = -0.3746065934 |
| sin(99) = 0.9876883406 | sin(219) = -0.629320391 | sin(339) = -0.3583679495 |
| sin(100) = 0.984807753 | sin(220) = -0.6427876097 | sin(340) = -0.3420201433 |
| sin(101) = 0.9816271834 | sin(221) = -0.656059029 | sin(341) = -0.3255681545 |
| sin(102) = 0.9781476007 | sin(222) = -0.6691306064 | sin(342) = -0.3090169944 |
| sin(103) = 0.9743700648 | sin(223) = -0.6819983601 | sin(343) = -0.2923717047 |
| sin(104) = 0.9702957263 | sin(224) = -0.6946583705 | sin(344) = -0.2756373558 |
| sin(105) = 0.9659258263 | sin(225) = -0.7071067812 | sin(345) = -0.2588190451 |
| sin(106) = 0.9612616959 | sin(226) = -0.7193398003 | sin(346) = -0.2419218956 |
| sin(107) = 0.956304756 | sin(227) = -0.7313537016 | sin(347) = -0.2249510543 |
| sin(108) = 0.9510565163 | sin(228) = -0.7431448255 | sin(348) = -0.2079116908 |
| sin(109) = 0.9455185756 | sin(229) = -0.7547095802 | sin(349) = -0.1908089954 |
| sin(110) = 0.9396926208 | sin(230) = -0.7660444431 | sin(350) = -0.1736481777 |
| sin(111) = 0.9335804265 | sin(231) = -0.7771459615 | sin(351) = -0.156434465 |
| sin(112) = 0.9271838546 | sin(232) = -0.7880107536 | sin(352) = -0.139173101 |
| sin(113) = 0.9205048535 | sin(233) = -0.79863551 | sin(353) = -0.1218693434 |
| sin(114) = 0.9135454576 | sin(234) = -0.8090169944 | sin(354) = -0.1045284633 |
| sin(115) = 0.906307787 | sin(235) = -0.8191520443 | sin(355) = -0.08715574275 |
| sin(116) = 0.8987940463 | sin(236) = -0.8290375726 | sin(356) = -0.06975647374 |
| sin(117) = 0.8910065242 | sin(237) = -0.8386705679 | sin(357) = -0.05233595624 |
| sin(118) = 0.8829475929 | sin(238) = -0.8480480962 | sin(358) = -0.0348994967 |
| sin(119) = 0.8746197071 | sin(239) = -0.8571673007 | sin(359) = -0.01745240644 |
Похожие калькуляторы
Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Вариант для печати.
sin(0°)=sin(360°)=0; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.
|
Углы |
Углы |
Углы |
Углы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
таблица синусов, синусы углов в угловых градусах, sin α, sinus, сколько составляет синус?, узнать синус, синус градусов
Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций
Доп. Инфо:
- Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.
- Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов.
- Таблица синусов, она-же косинусов точная.
- Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
- Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg
- Таблица тангенсов, она же котангенсов точная.
- Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.
- Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
- Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
- Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ). 0-360 градусов, 0-2π радиан.
