Как найти силу взаимодействия между шарами

Еще в древности было известно, что наэлектризованные тела взаимодействуют. Силу взаимодействия двух небольших заряженных шариков с помощью крутильных весов впервые измерил Шарль Кулон. Он сформулировал закон, который позже назвали его именем.

Так же, было выяснено, что сила, с которой два заряда притягиваются, или отталкиваются, зависит не только от самих зарядов, но и от вещества, в котором эти заряды находятся.

Опыт Кулона

Кулон нашел способ измерить взаимное действие двух зарядов. Для этого он использовал крутильные весы.

Ему не пришлось применять дополнительную особо чувствительную аппаратуру. Потому, что взаимное действие зарядов имело достаточную для наблюдения интенсивность.

Примечание: Опыт Кулона похож на опыт Кавендиша, который экспериментально определил гравитационную постоянную G.

Устройство крутильных весов

Такие весы (рис. 1) содержат перекладину — тонкий стеклянный стержень, расположенный горизонтально. Он подвешен на тонкой вертикально натянутой упругой проволоке.

На одном конце стержня находится небольшой металлический шарик. К другому концу прикреплен груз, который используется, как противовес.

Еще один металлический шарик, прикрепленный ко второй палочке из стекла, можно располагать неподалеку от первого шарика. Для этого в верхней крышке корпуса весов проделано отверстие.

Если наэлектризовать шарики, они начнут взаимодействовать. А прикрепленная к проволоке перекладина, на которой находится один из шариков, будет поворачиваться на некоторый угол.

На корпусе весов на уровне палочки располагается шкала с делениями. Угол поворота связан с силой взаимного действия шариков. Чем больше угол поворота, тем больше сила, с которой шарики действуют друг на друга.

Чтобы сдвинувшийся шарик вернуть в первоначальное положение, нужно закрутить проволоку на некоторый угол. Так, чтобы сила упругости скомпенсировала силу взаимодействия шариков.

Для закручивания проволоки в верхней части весов есть рычажок. Рядом с ним расположен диск, а на нем – еще одна угловая шкала с делениями.

По нижней шкале определяют точку, в которую необходимо вернуть шарик. Верхней шкалой пользуются, чтобы установить угол, на который нужно рычажком закрутить проволоку.

С помощью крутильных весов Шарль Кулон выяснил, как именно сила взаимного действия зависит от величины зарядов и расстояния между зарядами.

В те годы единиц для измерения заряда не было. Поэтому ему пришлось изменять заряд одного шарика с помощью метода половинного деления.

Когда он касался заряженным шариком второго такого же шарика, заряды между ними распределялись поровну. Таким способом, можно было уменьшать заряд одного из шариков, участвующих в опыте, в 2, 4, 8, 16 и т. д. раз.

Так опытным путем Кулон получил закон, формула которого очень похожа на закон всемирного тяготения.

В память о его заслугах, силу взаимодействия зарядов называют Кулоновской силой.

Закон Кулона для зарядов в вакууме

Рассмотрим два точечных заряда, которые находятся в вакууме (рис. 2).

На рисунке 2 сила (large F_{Q} ) – это сила, с которой положительный заряд Q отталкивает второй положительный заряд q. А сила  (large F_{q} ) принадлежит заряду q, с такой силой он  отталкивает заряд Q.

Примечание: Точечный заряд – это заряженное тело, размером и формой которого можно пренебречь.

Силы взаимодействия зарядов, по третьему закону Ньютона, равны по величине и направлены противоположно. Поэтому, для удобства можно ввести обозначение:

[large F_{q} = F_{Q} = F]

Для силы взаимодействия зарядов в вакууме Шарль Кулон сформулировал закон так:

Два точечных заряда в вакууме,
взаимодействуют с силой
прямо пропорциональной
произведению величин зарядов
и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними.

Формула для этого закона на языке математики запишется так:

[large boxed { F = k cdot frac {|q| cdot |Q| }{r^{2}} } ]

(F left( H right) ) – сила, с которой два точечных заряда притягиваются, или отталкиваются;

(|q| left( text{Кл}right) ) – величина первого заряда;

(|Q| left( text{Кл}right) ) – величина второго заряда;

(r left( text{м}right) ) – расстояние между двумя точечными зарядами;

(k ) – постоянная величина, коэффициент в системе СИ;

Сила – это вектор. Две главные характеристики вектора – его длина и направление.

Формула позволяет найти одну из характеристик вектора F — модуль (длину) вектора.

Чтобы определить вторую характеристику вектора F – его направление, нужно воспользоваться правилом: Мысленно соединить два неподвижных точечных заряда прямой линией. Сила, с которой они взаимодействуют, будет направлена вдоль этой прямой линии.

Сила Кулона – это центральная сила, так как она направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел.

Примечание: Еще один пример центральной силы — сила тяжести.

Что такое коэффициент k с точки зрения физики

Постоянная величина (k ), входящая в формулу силы взаимодействия зарядов, имеет такой физический смысл:

(k ) — это сила, с которой отталкиваются два положительных точечных заряда по 1 Кл каждый, когда расстояние между ними равно 1 метру.

Значение постоянной k равно девяти миллиардам!

[large boxed { k = 9cdot 10^{9} left( H cdot frac{text{м}^{2}}{text{Кл}^{2}}right) } ]

Это значит, что заряды взаимодействуют с большими силами.

Константу k можно вычислить опытным путем, расположив два известных заряда (не обязательно по 1 Кулону каждый) на удобном для измерений расстоянии (не обязательно 1 метр) и измерив силу из взаимного действия.

Нужно подставить известные величины зарядов, расстояние между ними и измеренную силу в такую формулу:

[large boxed { k = frac {F cdot r^{2}}{|q| cdot |Q|} } ]

Величина k связана с электрической постоянной (varepsilon) такой формулой:

[large boxed { k = frac{1}{4pi cdot varepsilon_{0}} } ]

Поэтому дробь из правой части этой формулы можно встретить в различных справочниках физики, где она заменяет коэффициент k.

Закон Кулона для зарядов в веществе

Если два точечных заряда находятся в веществе, то сила их взаимного действия будет меньше, чем в вакууме. Для зарядов в веществе закон Кулона выглядит так:

[large boxed { F = frac{1}{varepsilon} cdot k cdot frac {|q| cdot |Q| }{r^{2}} } ]

(F left( H right) ) – сила взаимодействия зарядов в веществе;

(|q| ; |Q| left( text{Кл}right) ) – величины зарядов;

(r left( text{м}right) ) – расстояние между зарядами;

( k = 9cdot 10^{9} ) – постоянная величина;

( varepsilon ) – диэлектрическая проницаемость вещества, для разных веществ различается, ее можно найти в справочнике физики;

Силы, с которыми заряды действуют друг на друга в веществе, отличаются от сил взаимодействия в вакууме в ( varepsilon ) раз:

[large boxed { F_{text{(в диэлектрике)}} = frac{1}{varepsilon} cdot F_{text{(в вакууме)}} } ]

Примечание: Читайте отдельную статью, рассказывающую, что такое диэлектрическая проницаемость и электрическая постоянная.

В случае шаров равной массы m₁ = m₂ = m из (6) следуют простые соотношения v₁ = v_2,0 = 0;         v₂ = v_1,0 = 0. Подставляя эти значения в (4), получаем: средние за
время удара значения сил взаимодействия между шарами:

F₁₂
= -mv/t; F₂₁
= mv/t(7)

Применим закон сохранения
механической энергии при движении правого шара до удара

(рис.1):

mgl(1 — cosa) =
mv²/2  (8)

Из
(7) и (8) находим

F₁₂  =F₂₁ = 2msin(a/2)Ögl/t(9)

Отметим, что реальный удар не является абсолютно
упругим, поэтому часть механической энергии системы перейдет в другие виды
энергии, например, в теплоту. Доля механической энергии, перешед­шей в другие
виды энергии, может быть оценена по формуле

(W_нач  -W_кон)/W_нах = (cosa’ — cosa)/1 — cosa(10)

Здесь a’ — угол
отклонения левого шара после удара.

3.
Описание экспериментальной установки.

Экспериментальная
установка представлена на рис.2. На верти­кальной стойке 1 закреплены верхний 2
и нижний 3 кронштейны. На нижнем кронштейне закреплены левая 4 и правая 5
шкалы. По правой шкале опреде­ляется начальный угол отклонения правого шара, по
левой — угол отклонения левого шара после соударения. Стальные шары 6 подвешены
с помощью токопроводящих под­весов 7 на штанге кронштейна 2. На пра­вой шкале 5
смонтирован электромагнит 8. Электромагнит удерживает правый шар в выбранном
начальном положении. Миллисекундомер 9 предназначен для определе­ния времени
соударения шаров контактным способом. В корпусе миллисекундомера смонтирован
также блок питания электромагнита.

Включение электромагнита происходит одновременно с
нажатием клавиши «Сеть» на панели миллисекундомера. При нажатии клавиши
«Пуск» электромагнит отключается от питания, шар освобождается. Счет
времени идет при наличии электрического контакта между шарами. Миллисекундомер
фиксирует только время первого соударения.

4. Порядок
выполнения работы.

1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать на
клавишу «Сеть», при этом должны загореться лампочки цифровой
индикации на панели миллисекундомера.

2. Отклонить правый шар на угол a₁ до соприкосновения с элек­тромагнитом. Нажать клавишу
«Сброс». При этом лампы цифровой инди­кации на миллисекундомере
покажут нули.

3. Успокоив левый шар, нажать клавишу
«Пуск». При этом цепь элек­тромагнита размыкается, правый шар
приходит в движение, происходит удар шаров. На индикаторе миллисекундомера
фиксируется время контакта (время соударения шаров). После удара необходимо
зафиксировать угол отклонения левого шара от положения равновесия. Значение a₁’ этого угла и время соударения t₁ записать в табл.1.

4. Пункты 2, 3 повторить не менее пяти раз. Результаты
записать в таблицу.

5. Пункты 2 — 4 повторить для другого значения
начального угла отклонения правого шара a₂.

Углы a₁ и a₂ задает преподаватель. При проведении эксперимента
необходимо следить, чтобы шары двигались в одной вертикальной плос­кости (удар
должен быть прямым).

5. Данные установки и таблица
результатов измерений.

Массы шаров m₁ = m₂ = m =
120 г

Длина подвеса шаров l₁ = l₂ = l =
50 см

Ускорение свободного падения
g = 9,8 м/с.

Погрешность установки углов a₁ и a₂ не более
Δa = 0,25 град ^х 0,5

Таблица результатов
измерений.

6. Обработка
результатов измерений.

1. Рассчитать средние
значения t_1, t₂.

2. По формуле (9) рассчитать
средние значения сил взаимодей­ствия F₁ и F₂ между
шарами для случаев a₁ и a₂.

3. Рассчитать значения Δt₁, Δt₂, dt₁, dt₂.

4. Считая погрешности dm, dl, dg малыми, рассчитать относитель­ные погрешности dF₁ и dF₂ по
формуле

dF = Ö1/4*ctg²a/2*(Δa)² + dt²

Значение Δa  взять в радианах.

   5. Рассчитать абсолютные погрешности ΔF₁ и ΔF₂.

   6. Записать результат расчета сил взаимодействия с
учетом погрешности и с указанием на доверительную вероятность.

          7. Используя формулу (10), оценить долю
механической энергии, перешедшей в другие виды энергии в результате соударения.

Определение средней силы взаимодействия при ударе шаров равной массы

Постановка
задачи.
Определить среднюю силу взаимодействия
шаров равной массы m₁=m₂=m
при ударе. Угол начального отклонения
правого шара равен .
Длина подвесов l₁=l₂=l,
время соударения .

Указания
к решению.
Импульсы сил, действующих на шары, равны

(8.6)

Из
(8.6) при m₁=m₂=m,
₁=_2,0=0,
₂=_1,0=
получим

(8.7)

Здесь
F₁₂
и F₂₂
среднее за время удара значение сил
взаимодействия между шарами.

Применим
закон сохранения механической энергии
при движении правого шара до удара
(рис.8.1):

(8.8)

Из
(8.7) и (8.8) находим

(8.9)

Отметим,
что реальный удар не является абсолютно
упругим, поэтому часть механической
энергии системыW
перейдет
в другие виды энергии (например, в
теплоту). Доля механической энергии,
перешедшей в другие виды энергии, может
быть оценена по формуле

(8.10)

Здесь
^’
– угол отклонения левого шара после
удара.

Определение массы одного из шаров при их неупругом соударении

Постановка
задачи.
Два шара массами m₁
и m₂
подвешены на нитях так, что их центры
находятся на одном уровне. Правый шар
с известной массой m₁
(рис.8.2) отклоняют на угол ₁
и затем отпускают. При ударе шары
соединяются замком и движутся вместе
(осуществляется абсолютно неупругий
удар). Шары при этом отклоняются на угол
₂.
Определить массу левого шара.

Указание
к решению. Применим
закон сохранения механической энергии
для определения скорости правого шара
в момент соударения:

(8.11)

Здесь
l
– длина подвеса. Так как проекция внешних
сил на ось 0_х
равна нулю, можно воспользоваться
законом сохранения импульса в проекции
на ось 0_х.
При неупругом ударе шаров получим

(8.12)

Здесь
U—
скорость обоих шаров после неупругого
удара.

Применим
закон сохранения механической энергии
при движении шаров после удара:

(8.13)

Решая систему
уравнений (8.11)-(8.13), получим соотношение
для определения массы левого шара

(8.14)

Определение среднего момента относительно точки подвеса, создаваемого силой, возникающей при взаимодействии упругих шаров

Постановка
задачи.
Определить средний момент сил, возникающий
при взаимодействии шаров равной массы
m₁=m₂=m,
равного радиуса R₁=R₂=R
при упругом ударе. Угол начального
отклонения правого шара равен ,
длины подвесов (до центров шаров) l₁=l₂=l
время соударения .

Указания
к решению. В
момент соударения правый шар обладал
моментом импульса относительно точки
подвеса, равным L=I,
где момент инерции I
согласно теореме Гюйгенса- Штейнера
равен

(2.15)

Используя
(2.8), найдем

(2.16)

Из
основного закона динамики вращательного
движения следует

(2.17)

Подставляя во
второе соотношение (2.17) соотношения
(2.15) и (2.16), получим среднее значение
момента силы

8.3. Схема абсолютно упругого удара 8.4. Область существенного смятия при абсолютно упругом ударе двух шаров

Определение средней силы взаимодействия соударяющихся шаров по радиусу площади их смятия в момент соударения

Постановка
задачи. Определить
среднюю длину взаимодействия шаров
равной массы m₁=m₂=m,
равного радиуса R_1`=R₂=R
при упругом ударе. Угол начального
отклонения правого шара равен ,
длины подвесов (до центра масс шаров)
l₁=l₂=l,
модули упругости материала шаров
E₁=E₂=E,
коэффициенты Пуассона ₁=₂=.

Указание
к решению. В
момент абсолютно упругого удара
происходит смятие шаров за счет
возникающих при ударе сил упругости
(рис.8.3). Здесь R—
радиус шаров, f-стрелка
смятия, u=2f
—
сближение центров шаров в момент удара,
2а—
диаметр площади смятия.

Из
геометрических соображений (см. рис.8.3)

(8.18)

Учитывая, что угол
 мал, оставляем
лишь правые два члена в разложении

Из
малости 
следует также

Отсюда
из (8.18) получим

(8.19)

Отметим,
что соотношение (8.19) имеет смысл лишь
при u<<R.

На
площади смятия вследствие действия
внешних сил возникает напряжение (сила,
действующая на единицу площади)



Отсюда,
используя известный закон Гука =
/ Е, получим выражение для относительной
деформации 
(рис.8.4):



Точнее, с учетом
трехмерного обжатия со стороны
недеформированных частей шара



где -
коэффициент Пуассона. Стрелки смятия

f
a. (8.20)

Используя выражение
(8.19) и (8.20),
определим размер радиуса смятия:

.
(8.21)

Заметим, что точное
выражение имеет вид

.

Отсюда можно
оценить среднюю силу взаимодействия
при ударе

Fa³

(8.22)

Указание: для
получения отпечатка площади смятия
между шарами следует вложить между ними
папиросную бумагу с копировальной.
Размеры отпечатка определяются с помощью
специального микроскопа.

Проверка
формулы Герца для соударяющихся упругих
шаров

Постановка
задачи. Применяя
закон сохранения энергии в процессе
соударения упругих шаров и учитывая
нелинейный характер задачи (силы
упругости растут с ростом радиуса смятия
и с увеличением сближения шаров, Генрих
Герц вывел соотношение (подробнее можно
познакомиться с задачей Герца в книге[8])
между временем соударения и скоростью
налетающего шара: 

(1/)^1/5.
Здесь —
время соударения; —
скорость налетающего шара.

Указания
к решению. Скорость
шара в момент начала соударения
определяется из рис. 8.1. Задача решается
с использованием закона сохранения
энергии. Пусть в первый момент
соприкосновения шаров механическая
энергия
.
Тогда по мере взаимодействия и сближения
шаров растет потенциальная энергия
взаимодействия, а кинетическая энергия
движущегося шара убывает. Из закона
сохранения механической энергии имеем

(8.23)

Зависимость
силы упругости от сближения шаров u
получаем из (2.21)

F(-u3/2).

Из
известного соотношения между потенциальной
энергией и силой упругости

получим

W_потu^5/2;
W_пот=ku^5/2.
(8.24)

Здесь
коэффициент пропорциональности k
зависит от радиуса шаров и свойств
материала. Из (8.23)
и (8.24)
получим уравнение

(8.25)

Максимальное
сближение шаров достигается при du/dt0.
Решив уравнение (8.25), определим время
,
в течение которого длится соударение
(при этом u
меняется от 0 до u_mas
и обратно). Хотя уравнение (8.25) легко
решается разделением переменных, закон
Герца запишем без вывода

.

Здесь,
как и ранее, коэффициент пропорциональности
зависит от масс и размеров шаров, свойств
материала. Для проверки закона Герца
следует построить график, где по оси
абсцисс отложить ₀,
а по оси ординат произведение ²₀.

Указание:
при малых углах 
возможна замена sin.
Отметим, что 
надо рассчитать в радианах.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #