Как найти силу через момент силы инерции

ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.
Вращательное действие силы (сообщение
телу углового
ускорения) зависит не только
от величины силы,
но и от того, в каком направлении
она действует и к какой
точке
тела приложена. Величиной, которая
учитывает все эти факторы,
является момент
силы.
Дадим определение момента силы
относительно оси
(существует
определение момента относительно
точки).

Пусть
на твёрдое тело, имеющее неподвижную
ось вращения, в произвольном направлении
действует сила

(рис.6-а).
Разложим эту силу на две составляющие:

,
лежащую
в плоскости, перпендикулярной к оси
вращения, и

—
параллельную оси вращения.

Сила

вращательного
движения вызвать не может, она лишь
деформирует тело (стремится сдвинуть
его вдоль оси).

Вращательное
действие оказывает только составляющая

.
Моментом
силы

относительно
оси называется физическая величина,
численно равная произведению величины
составляющей этой силы
,
действующей
в плоскости, перпендикулярной оси
вращения, на плечо этой составляющей,
т.е. на кратчайшее расстояние h
от
оси вращения до линии её действия (рис.6
-б).

(4.1)

где
r
— расстояние
от оси вращения до точки приложения
силы. Если сила действует в плоскости,
перпендикулярной оси вращения,
то момент этой силы равен произведению
самой силы на плечо.

. (4.2)

Вращательное
действие, в конечном счете, вызывает
только составляющая
,
поэтому
ее можно назвать вращательной
составляющей,
отсюда и индекс — вр.
Составляющая
направлена перпендикулярно к оси
вращения и стремится ее деформировать,
вращения не вызывает (рис.6,б).

Момент
силы относительно оси – вектор,
направленный вдоль
этой
оси.
Направление момента совпадает с
направлением поступательного движения
правого буравчика, если ось буравчика
совпадает с осью вращения тела, а рукоятка
поворачивается по направлению силы
(рис.7). Произведение

есть
численное значение векторного

произведения
радиус-вектора,
проведенного
от оси вращения к точке приложения силы

,
и
силы
.
Следовательно,

(4.3)

2.
Установим связь между моментом сил,
действующих на вращающееся твёрдое
тело, и угловым ускорением этого тела.

Выделим
в рассматриваемом теле элемент dm_i.
Радиус окружности, по которой движется
этот элемент, обозначим через
.
Пусть сила, действующая на этот элемент
в плоскости, перпендикулярной оси
вращения тела, равна.
Разложим эту силу на две составляющие:
касательнуюи нормальную

(рис.8).
Первая из них сообщает выделенному
элементу касательное ускорение
,
вторая — нормальное.
По второму закону Ньютона

(4.4)

Как
видно из рисунка 8
.
Тангенциальное и угловое ускорения
связаны соотношением (2.9):;
подставим в (4.4):
;
умножим обе части этого равенства на:

(4.5)

В
правой части этого выражения стоит
момент силы
,
так как
— плечо силы. Следовательно,

(4.6)

Чтобы
оценить действиевсех
сил, приложенных к телу, необходимо
проинтегрировать уравнение (4.6) по всем
элементам тела:

(4.7)

Интеграл
представляет собой полный вращательный
момент всех внешних сил, действующих
на тело —M.

Величина
численно равная произведению массы
элемента dm_i
на квадрат
расстояния от этого элемента до оси
вращения
,
называетсямоментом
инерции
этого элемента относительно оси, а
интеграл
называется моментом инерциивсего тела относительно этой оси.(4.8)

Момент
инерции характеризует инерционные
свойства вращающихся
тел:
чем больше момент инерции тела, тем
труднее изменить его угловую скорость.
Момент инерции различных тех зависит
от распределения масс относительно оси
вращения. Расчет моментов инерции —
довольно сложная математическая задача.

Приведем
выражения моментов инерции некоторых
тел: тонкий обруч (цилиндр) радиуса r:
I=mr²;
сплошной однородный диск (цилиндр)
радиуса r:
I=½mr²
(в
обоих случаях оси вращения совпадают
с

осями
цилиндров); однородный шар радиуса r:
(относительно оси, проходящей через
центр шара).

Таким
образом,
,

откуда

(4.9)

Учитывая,
наконец, векторный характер момента
силы и углового ускорения, запишем:
(4.10)

Угловое
ускорение, приобретаемое вращающимся
твёрдым телом, прямо пропорционально
результирующему моменту всех внешних
сил, зависит от его момента инерции и
направлено в сторону момента силы.

Это
и есть основной
закон
динамики вращательного движения твердого
тела.

3.
Второй закон Ньютона для материальной
точки мы привели в нескольких формах,
в частности, в форме
.
Аналогично можно представить основной
закон и для вращательного движения:

(4.11)

В
этой формуле
(обозначается как)
–момент
импульса
твёрдого тела (момент количества
движения). Момент импульса
—
вектор, численно равный произведению
момента инерции тела на угловую скорость
и направленный в сторону угловой
скорости.импульс
момента силы.

Изменение
момента импульса вращающегося тела
равно импульсу вращательного момента,
действующего на это тело.

Изменение
момента импульса за конечный промежуток
времени при I
= const
равно

(4.12)

Если
=const
(момент силы не изменяется с течением
времени),
(4.13)

Таковы
основные соотношения динамики
вращательного движения твёрдого тела.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этой главе…

• Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
• Вычисляем момент инерции
• Определяем работу вращательного движения
• Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
• Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения. Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см. главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​( mathbf{a} )​ — это вектор ускорения, ( mathbf{F} ) — вектор силы, а ​( m )​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения. А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения ( mathbf{a} ) играет угловое ускорение ( alpha ), а роль силы ( mathbf{F} ) — момент силы ( mathbf{M} )? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так. А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​( l )​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения. Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​( r )​, получим:

Поскольку ​( rmathbf{F}=mathbf{M} )​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​( r )​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​( alpha )​ и тангенциальным ускорением ​( mathbf{a} )​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

получим:

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​( l=mr^2 )​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​( mathbf{sum!F} )​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где ( mathbf{sum! M} ) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м².

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​( mathbf{sum! M}=lalpha )​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​( 2pi с^{-2} )​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​( r )​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где ( r ) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика ( m ).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​( l )​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​( m )​ на расстояниях ​( r_1 )​ и ​( r_2 )​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​( l_1=mr_1^2 )​ и ( l_2=mr_2^2 ):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​( r )​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​( Deltaomega )​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​( omega_1 )​ — конечная, а ( omega_0 ) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​( 2pi )​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит ( 2pi ) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10^-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​( mathbf{sum! M} )​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​( M_1 )​ со стороны груза весом ​( mg )​, а другой ( M_2 ) — со стороны горизонтальной силы ​( F )​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​( M_1 )​ и ( M_2 ) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​( r )​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​( l )​, ​( M_1 )​ и ​( M_2 )​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы. Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол. В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины. Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину. Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​( r )​ и для ее вращения используется сила ​( F )​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​( s )​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​( s )​ равно произведению радиуса ​( r )​ на угол поворота шины ​( theta )​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​( M )​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​( 2pi )​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​( m )​, движущийся поступательно со скоростью ​( v )​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​( v )​ и угловая скорость ​( omega )​ связаны соотношением:

где ​( r )​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость. Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения. Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение. Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8). А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​( h )​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​( m )​. Какой цилиндр достигнет нижнего конца наклонной плоскости?

Иначе говоря: какой цилиндр будет обладать большей скоростью в конце наклонной плоскости? Поскольку действующие на цилиндры силы постоянны, то постоянны и их ускорения, а значит, большая скорость в конце пути означает меньшее время его прохождения. В случае только поступательного движения цилиндра и при отсутствии трения уменьшение потенциальной энергии ​( mgh )​ преобразуется в увеличение кинетической энергии только поступательного движения ​( {}^1!/!_2mv^2 )​, т.е.:

Однако в данном примере эта формула не годится, потому что цилиндры скатываются без проскальзывания. Это значит, что часть уменьшения потенциальной энергии будет преобразовываться в увеличение кинетической энергии поступательного движения ( {}^1!/!_2mv^2 ), а часть — в кинетическую энергию вращательного движения ( {}^1!/!_2Iomega ^2 ). Тогда предыдущее равенство принимает следующий вид:

Сделаем подстановку ​( omega=v/r )​ и получим:

Путем несложных алгебраических преобразований получим:

откуда легко получить выражение для скорости цилиндра:

Для обоих цилиндров все параметры одинаковы, кроме момента инерции ​( I )​. Как это повлияет на скорость цилиндров? Согласно данным из табл. 11.1, полый цилиндр имеет момент инерции ​( mr^2 )​, а сплошной — ​( {}^1!/!_2mr^2 )​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​( m )​ — это масса, a ​( v )​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​( l )​ — это момент инерции, а ​( omega )​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м²·с^-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение. Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость. Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​( omega_0 )​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​( I_0 )​ и в позе с сомкнутыми руками ​( I_1 )​, легко найти конечную угловую скорость ​( omega_1 )​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях. Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой. Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·10⁶ м от центра Плутона и имеет скорость 9·10³ м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·10⁷ м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​( I_{бл} )​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, ( I_{дал} ) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, ( omega_{бл} ) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а ( omega_{дал} ) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​( r_{бл} )​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а ( r_{дал} ) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Второй закон Ньютона для вращательного движения – главное тождество динамики, помогающее решить основную задачу механики для вращающегося тела: указать угол поворота тела в любой промежуток времени.

Задача механики поступательного движения считается решенной если в любое мгновение легко указать положение материальной точки относительно других тел, при условии, заданной системы отсчета.

Кроме поступательного существует вращательное движение – это такой вид движения при котором каждая точка движется по окружности, центры окружности лежат на одной прямой (оси вращения).

Характеристики вращательного движения:

• Всякая точка абсолютно твердого тела перемещается по дуге круга;
• «Ядра» окружностей расположены вдоль одной линии – ось вращения
• Разные точки передвигаются по разным траекториям;
• Зависимости перемещения по времени представляют отличные значения, изменяющиеся по направлению;
• Углы поворота точек – одинаковы.

Аналоги характеристик поступательного и вращательного движения

Параметры вращательного перемещения необходимо рассматривать, проводя сравнение с характеристиками поступательного.

Справка! При передвижении поступательно: указывается вектор силы, через II закон создателя классической механики – Ньютона выражается векторная величина – ускорение, зная его кинематика помогает выводить координаты x, y, z.

 Последовательность нахождения координат тела в любой момент времени для поступательного перемещения:

1. зная силу F находим ускорение a;
2. из ускорения находи координаты x,y,z.

Пойдем от обратного для вращательного движения:

Найти нам необходимо угла поворота – φ в любой момент времени, для этого используем угловое ускорение ε, а вот аналог силы F мы пока не знаем.

Опишем кинематику вращательного движения.

• Аналог линейной скорости во вращательном движении это угловая скорость ω — выражается отношением:

— угол поворота

— незначительный отрезок времени

• Вспомним формулу линейной скорости υ точки находящейся на вращающемся теле, для этого умножим угловую скорость ω и r — расстояние от оси до искомой точки.

Виды вращательного движения:

1. Равномерное вращение.

Поворот предмета за равные промежутки времени на одинаковые углы говорит о равномерности перемещения. Угловое ускорение отсутствует.

Уравнение движения выглядит:

— угол поворота в любой момент времени,

— начальный угол поворота

Угловая скорость постоянна, но линейная скорость постоянно изменяет направление, а это означает, что существует центростремительное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности.

1. Неравномерное вращение

При неравномерном перемещении постоянное угловое ускорение принимает вид:

При низменном , закон изменения угловой скорости получается:

Подставляя полученные данные в формулу движения при равномерном вращении получим:

Вспомним как рассчитать угол поворота тела тремя разными способами:

Первый способ.

Второй способ (через среднюю скорость).

Третий способ:

Сравнение формул вращательного и поступательного перемещения наглядно представлено таблично.

При нахождении точки на теле, неравномерно вращающемся на окружности, ускорение приобретает вид суммы:

— центростремительного и тангенциального

— тангенциального .

Сумма ускорений равна:

Тангенциальное ускорение вычисляется следующим образом

Используя связь υ и ω, получается:

Нужно сформулировать ключевые тождества, включая 2 закон сэра Ньютона для вращательного механического движения, сопутствующие обозначения, необходимые в ходе решения задач.

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения

Пусть тело, характеристиками которого можно пренебречь закреплено на невесомом стержне, 0 – ось вращения, длиной эквивалентной отрезку r.

На материальную точку оказывает воздействие силы ,  – реакция стержня.

— сила реакции нити;

— сила приводящая тело в движение

r — радиус нити

По II закону английского физика Исаака Ньютона второй закон динамики в векторной форме выглядит:

Выбор системы координат: Y – направляется по радиусу, Х – перпендикулярно.

Переписывая главное правило динамики в проекциях на эти оси:

Для этого на рисунке отобразим угол  и выразим через него все проекции.

OX: ,

OY: ,

Из рисунка видно, что  — тангенциальное ускорение, и  – модуль центростремительного ускорения

Вспомним, что тангенциальное ускорение равно:

Перепишем уравнение проекции на ось x с учетом этого знания:

Вычислим угловое ускорение из полученной формулы:

Умножая на дробь на :

Далее надо визуально отобразить на рисунке rsinα.

Как видно из полученного рисунка перпендикуляр d – плечо силы F.

Из построения:

М – момент силы.

Сравнивая с выражением:

I=mr²– мера инертности тела, момент инерции.

Выходит: 2 закон Ньютона представлен для вращательного движения:

Словесная формулировка основного тождества динамики вращательного перемещения:

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело тождественно произведению момента инерции тела на его угловое ускорение.

 Внимание!  – не учитывается: направлена вдоль r , проходит через 0.

Практическое применение второго закона Ньютона для вращательного движения

Перемещение путем вращения часто находит практическое применение. Яркие примеры:

• Колеса транспортных средств;
• Шестеренки;
• Роторы электродвигателей.

Простые «мозголомки» из школьного курса физики

Задание 1. Велосипедное колесо

Определить меру инертности у велоколеса диаметром 67 см с массой 1,3 кг? Возможно, не учитывать массу ступицы?

Порядок ответа:

Колесо целесообразно разбить на N мельчайших фрагментов размером Δl с массой Δm.

 Внимание! Внутренней структурой колеса пренебречь нельзя. Поэтому его фрагменты –  материальные точки.

Мера инертности вычисляется из выражения:

Для N частей:

Получается:

 кг х м²

Радиус ступицы много меньше обода колеса, при расчете не учитывается.

Задача 2.  Взаимодействие кинематики и динамики

Материальная точка перемещается по окружности, ее радиальное ускорение изменяется пропорционально четвертой степени времени. Найти n из отношения .

 Внимание! M – действует на точку относительно оси вращения.

Решение:

Записывается второй закон Ньютона для вращательного движения:

Нормальное ускорение:

Выражая угловую скорость:

Учитывая, неизменность расстояния до центра окружности, :

Итог:

Упражнение  3.  Графическое представление

Одно тело вращается по зависимости 1, потом действие момента сил изменяется согласно графику 2. Нужно сравнить угловые скорости в точках A и B.

Процесс размышлений:

Основной закон динамики перемещения путем вращения:

Угловая скорость:

Поскольку тело одно, 1/I неизменно.

Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейных трапеций.

Случай 1:

График 2:

Результат:

Получается:

Задание 4.  Шары

Два точечных шарика, обладающие равными массами скреплены тонкой невесомой спицей l. Записать выражение момента инерции системы, относительно оси, перпендикулярно соотносящейся со спицей и центром масс.

Ход рассуждений:

Центр оси расположен между шарами:

Мера инертности I₁:

Мера инертности системы:

Упражнение 5. Гири

Грузы массами 2 и 1 килограмм связаны ниткой, перекинутой через блок, весящий 1 килограмм. Вычислить ускорение перемещения гирь? Рассчитать натяжение нитей?

Справка! Блок считается диском, сделанным из однородного материала. Трением не учитывается.

Поиск решения:

Векторный вид поступательного передвижения:

Перемещение диска – вращение:

М₁– для натяжения нитиТ₁;

М₂– для натяжения нитиТ₂.

Первые 2 равенства надо спроектировать на Х, последнее – Y.  Записать уравнение кинематической связи. Получается система:

Подставляя 4 тождество в 3:

Вычитая (2) из (1), переписывается (5):

Численное значение из выражения (6) подставляется в (1) и (2):

Практическое применение в жизни

Автомобиль

Вопрос:

Ускорится автомобиль, если установить шины большего диаметра?

Ответ:

Нет. Чем больше диаметр шин, тем выше линейное ускорение. Каждый автомобиль обладает максимальным угловым ускорением, соответствующее его мощности. Мощность машины ограничена, увеличение диаметра шин приведет к снижению углового ускорения, линейное не изменится.

«Что-то странная какая-то утка, на курицу похожа…»

«Деревенская» задача:

Домашние птицы: селезень и курица имеют одинаковую длину шага. Почему курица бегает ровно, а селезень перемещается переваливаясь?

Пояснение:

Расстановка лап селезня шире, центр тяжести расположен дальше от опоры, поэтому при ходьбе селезень вынужден делать поворот на больший угол. Момент силы тяжести от опоры увеличивается, соответственно становится больше величины угловых ускорения и скорости.

Гонки

Условие:

Европейские гонки проходят по улицам города, поэтому гонщики не снижая большой скорости совершают резкие повороты. Двигатель гоночных машин расположен посередине авто. Содержание преимущества?

Решение:

Двигатель посередине авто, обладает меньшей мерой инертности относительно центра масс, поэтому поворот осуществляется при меньшем моменте сил.

Фигурное катание

Спортивный запрос:

Зачем фигурист прижимает руки к телу?

Мнение эксперта:

Фигурист, вращаясь вокруг вертикальной оси, прижимает руки к корпусу. Момент инерции уменьшается, момент импульса остается неизменным, угловая скорость увеличивается.

Невесомость

Космическая проблема:

Космонавт находится в невесомости. Как ему совершить поворот на 180˚ вокруг продольной оси?

Распутывание Гордиева узла:

Для поворота космонавт поднимает руку над головой, провоцируя поступательные движения в направлении, противоположенному повороту.

О кошках

Дилемма:

Эмиль Кроткий утверждал: «Кошка мечтала о крыльях: ей хотелось попробовать летучих мышей». Люди не раз пытались подкидывать животное вверх ногами, при этом приземление всегда осуществляется на лапы. Момент внешних сил равен нулю, момент импульса сохраняется. Как кошке удается переворачиваться?

Разгадка:

Момент импульса кошки, находящейся в свободном падении остается постоянным, моменты внешних сил отсутствуют. Вытягивая или прижимая к телу лапы, кошка изменяет меру инертности передней части тела относительно центральной оси от момента инерции задней части тела. Попеременно подтягивая передние или  задние лапы, животное совершает поворот, ускоряющийся вращением хвоста.

Освоение 2 закона Исаака Ньютона с учетом кинематических и динамических характеристик для вращательного механического движения на практических примерах – легкое задание: надо запастись терпением, желанием приобретать знания. Изучать физику лучше вооружившись высказыванием Морихэй Уэсибы: «Двигайся, как луч света, летай, как молния, бей, как гром, вращайся вокруг устойчивого центра!»

Содержание книги

Предыдующая страница

§4. Основные законы динамики

4.6 Вращательное движение твердого тела. Момент силы.

Конечно, положение одной, даже «особой», точки далеко не полностью описывает движение всей рассматриваемой системы тел, но все-таки, лучше знать положение хотя бы одной точки, чем не знать ничего. Тем не менее, рассмотрим применение законов Ньютона к описанию вращения твердого тела вокруг фиксированной оси ^[1].

Начнем с простейшего случая: пусть материальная точка массы m прикреплена с помощью невесомого жесткого стержня длиной r к неподвижной оси OO’ (рис. 46). Материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Безусловно, движение точки подчиняется уравнению второго закона Ньютона (~m vec a = vec F_0). Однако, непосредственное применение этого уравнения не оправдано: во-первых, точка обладает одной степенью свободы, поэтому в качестве единственной координаты удобно использовать угол поворота, а не две декартовые координаты; во-вторых, на рассматриваемую систему действуют силы реакции в оси вращения, а непосредственно на материальную точку – сила натяжения стержня. Нахождение этих сил представляет собой отдельную проблему, решение которой излишне для описания вращения. Поэтому имеет смысл получить на основании законов Ньютона специальное уравнение, непосредственно описывающее вращательное движение.

Пусть в некоторый момент времени на материальную точку действует некоторая сила (~vec F), лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 47). При кинематическом описании криволинейного движения вектор полного ускорения (~vec a) удобно разложить на две составляющих: нормальную (~vec a_n), направленную к оси вращения, и тангенциальную (~vec a_{tau}) , направленную параллельно вектору скорости. Значение нормального ускорения для определения закона движения нам не нужно. Конечно, это ускорение также обусловлено действующими силами, одна из которых неизвестная сила натяжения стержня.

Запишем уравнение второго закона в проекции на тангенциальное направление:

(~m a_{tau} = F_{tau}) , (1)

заметим, что сила реакции стержня не входит в это уравнение, так как она направлена вдоль стержня и перпендикулярна выбранной проекции. Изменение угла поворота φ непосредственно определяется угловой скоростью (~omega = frac{Delta varphi}{Delta t}) , изменение которой в свою очередь описывается угловым ускорением (~varepsilon = frac{Delta omega}{Delta t}) . Угловое ускорение связано с тангенциальной составляющей ускорения соотношением a_τ = rε. Если подставить это выражение в уравнение (9), то получим уравнение, пригодное для определения углового ускорения. Удобно ввести новую физическую величину, определяющую взаимодействие тел при их повороте. Для этого умножим обе части уравнения (1) на r

(~m r^2 varepsilon = F_{tau} r) . (2)

и рассмотрим выражение в его правой части F_τr, имеющего смысл произведения тангенциальной составляющей силы, на расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Это же произведение можно представить несколько иной форме (см. рис. 48)

M = F_τr = Fr cos α = Fd, здесь d — расстояние от оси вращения до линии действия силы, которое также называют плечом силы. Эта физическая величина, произведение модуля силы на расстояние от линии действия силы до оси вращения (плечо силы) M = Fd называется моментом силы. Действие силы может приводить к вращению, как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. В соответствии с выбранным положительным направлением вращения следует определять и знак момента силы. Заметьте, что момент силы определяется той составляющей силы, которая перпендикулярна радиус-вектору точки приложения. Составляющая вектора силы, направленная вдоль отрезка, соединяющего точку приложения и ось вращения, не приводит к раскручиванию тела. Эта составляющая при закрепленной оси компенсируется силой реакции в оси, поэтому она не влияет на вращение тела.

Запишем еще одно полезное выражения для момента силы. Пусть сила (~vec F) приложена к точке А, декартовые координаты которой равны x,y (рис. 49). Разложим силу (~vec F) на две составляющие (~vec F_x, vec F_y) , параллельные соответствующим осям координат. Момент силы (~vec F) относительно оси, проходящей через начало координат, очевидно равен сумме моментов составляющих (~vec F_x, vec F_y) , то есть M = xF_y — yF_x.

Аналогично, тому, как нами было введено понятие вектора угловой скорости, можно определить также и понятие вектора момента силы. Модуль этого вектора соответствует данному выше определению, направлен же он перпендикулярно плоскости, содержащей вектор силы и отрезок, соединяющий точку приложения силы с осью вращения. Вектор момента силы также может быть определен как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы

(~vec M = vec r times vec F) .

Заметим, что при смещении точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется.

Обозначим произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения mr² = I (эта величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси). С использованием этих обозначений уравнение (2) приобретает вид, формально совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения

(~I varepsilon = M) . (3)

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Итак, момент силы во вращательном движении играет такую же роль, как и сила в поступательном движении, именно он определяет изменение угловой скорости. Оказывается, (и это подтверждает наш повседневный опыт) влияние силы на скорость вращения определяет не только величина силы, но и точка его приложения. Момент инерции определяет инерционные свойства тела по отношению к вращению (говоря простым языком – показывает, легко ли раскрутить тело) — чем дальше от оси вращения находится материальная точка, тем труднее привести ее во вращение.

Уравнение (3) допускает обобщение на случай вращения произвольного тела. При вращении тела вокруг фиксированной оси угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому, аналогично тому, как мы проделали при выводе уравнения Ньютона для поступательного движения тела, можно записать уравнения (3) для всех точек вращающегося тела и затем их просуммировать. В результате мы получим уравнение, внешне совпадающее с (3), в котором I — момент инерции всего тела, равный сумме моментов составляющих его материальных точек, M — сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Покажем, каким образом вычисляется момент инерции тела. Важно подчеркнуть, момент инерции тела зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения и ориентации оси вращения. Формально процедура расчета сводится к разбиению тела на малые части, которые можно считать материальными точками (рис. 51), и суммированию моментов инерций этих материальных точек, которые равны произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения

(~I = m_1 r^2_1 + m_2 r^2_2 + m_3 r^2_3 + ldots) .

Для тел простой формы такие суммы давно подсчитаны, поэтому часто достаточно вспомнить (или найти в справочнике) соответствующую формулу для нужного момента инерции. В качестве примера: момент инерции кругового однородного цилиндра массы m и радиуса R для оси вращения совпадающей с осью цилиндра равен (~I = frac{1}{2} m R^2) .

Примечания

1. ↑ В данном случае мы ограничиваемся рассмотрением вращения вокруг фиксированной оси, потому, что описание произвольного вращательного движения тела представляет собой сложную математическую проблему, далеко выходящую за рамки курса математики средней школы. Знания же других физических законов, кроме рассматриваемых нами, это описание не требует.

Следующая страница