Как найти сходимость ряда фурье

In mathematics, the question of whether the Fourier series of a periodic function converges to a given function is researched by a field known as classical harmonic analysis, a branch of pure mathematics. Convergence is not necessarily given in the general case, and certain criteria must be met for convergence to occur.

Determination of convergence requires the comprehension of pointwise convergence, uniform convergence, absolute convergence, L^p spaces, summability methods and the Cesàro mean.

Preliminaries[edit]

Consider f an integrable function on the interval [0, 2π]. For such an f the Fourier coefficients are defined by the formula

It is common to describe the connection between f and its Fourier series by

The notation ~ here means that the sum represents the function in some sense. To investigate this more carefully, the partial sums must be defined:

The question of whether a Fourier series converges is: Do the functions (which are functions of the variable t we omitted in the notation) converge to f and in which sense? Are there conditions on f ensuring this or that type of convergence?

Before continuing, the Dirichlet kernel must be introduced. Taking the formula for , inserting it into the formula for and doing some algebra gives that

where ∗ stands for the periodic convolution and is the Dirichlet kernel, which has an explicit formula,

The Dirichlet kernel is not a positive kernel, and in fact, its norm diverges, namely

a fact that plays a crucial role in the discussion. The norm of D_n in L¹(T) coincides with the norm of the convolution operator with D_n,
acting on the space C(T) of periodic continuous functions, or with the norm of the linear functional f → (S_nf)(0) on C(T). Hence, this family of linear functionals on C(T) is unbounded, when n → ∞.

Magnitude of Fourier coefficients[edit]

In applications, it is often useful to know the size of the Fourier coefficient.

If is an absolutely continuous function,

for a constant that only depends on .

If is a bounded variation function,

If

If and has modulus of continuity^{[citation needed]},

and therefore, if is in the α-Hölder class

Pointwise convergence[edit]

There are many known sufficient conditions for the Fourier series of a function to converge at a given point x, for example if the function is differentiable at x. Even a jump discontinuity does not pose a problem: if the function has left and right derivatives at x, then the Fourier series converges to the average of the left and right limits (but see Gibbs phenomenon).

The Dirichlet–Dini Criterion states that: if ƒ is 2π–periodic, locally integrable and satisfies

then (S_nf)(x₀) converges to ℓ. This implies that for any function f of any Hölder class α > 0, the Fourier series converges everywhere to f(x).

It is also known that for any periodic function of bounded variation, the Fourier series converges everywhere. See also Dini test.
In general, the most common criteria for pointwise convergence of a periodic function f are as follows:

• If f satisfies a Holder condition, then its Fourier series converges uniformly.
• If f is of bounded variation, then its Fourier series converges everywhere.
• If f is continuous and its Fourier coefficients are absolutely summable, then the Fourier series converges uniformly.

There exist continuous functions whose Fourier series converges pointwise but not uniformly; see Antoni Zygmund, Trigonometric Series, vol. 1, Chapter 8, Theorem 1.13, p. 300.

However, the Fourier series of a continuous function need not converge pointwise. Perhaps the easiest proof uses the non-boundedness of Dirichlet’s kernel in L¹(T) and the Banach–Steinhaus uniform boundedness principle. As typical for existence arguments invoking the Baire category theorem, this proof is nonconstructive. It shows that the family of continuous functions whose Fourier series converges at a given x is of first Baire category, in the Banach space of continuous functions on the circle.

So in some sense pointwise convergence is atypical, and for most continuous functions the Fourier series does not converge at a given point. However Carleson’s theorem shows that for a given continuous function the Fourier series converges almost everywhere.

It is also possible to give explicit examples of a continuous function whose Fourier series diverges at 0: for instance, the even and 2π-periodic function f defined for all x in [0,π] by^[1]

Uniform convergence[edit]

Suppose , and has modulus of continuity ; then the partial sums of the Fourier series converge to the function with speed^[2]

for a constant that does not depend upon , nor , nor .

This theorem, first proved by D Jackson, tells, for example, that if satisfies the -Hölder condition, then

If is periodic and absolutely continuous on , then the Fourier series of converges uniformly, but not necessarily absolutely, to .^[3]

Absolute convergence[edit]

A function ƒ has an absolutely converging Fourier series if

Obviously, if this condition holds then converges absolutely for every t and on the other hand, it is enough that converges absolutely for even one t, then this
condition holds. In other words, for absolute convergence there is no issue of where the sum converges absolutely — if it converges absolutely at one point then it does so everywhere.

The family of all functions with absolutely converging Fourier series is a Banach algebra (the operation of multiplication in the algebra is a simple multiplication of functions). It is called the Wiener algebra, after Norbert Wiener, who proved that if ƒ has absolutely converging Fourier
series and is never zero, then 1/ƒ has absolutely converging Fourier series. The original proof of Wiener’s theorem was difficult; a simplification using the theory of Banach algebras was given by Israel Gelfand. Finally, a short elementary proof was given by Donald J. Newman in 1975.

If belongs to a α-Hölder class for α > 1/2 then

for the constant in the
Hölder condition, a constant only dependent on ; is the norm of the Krein algebra. Notice that the 1/2 here is essential—there are 1/2-Hölder functions, which do not belong to the Wiener algebra. Besides, this theorem cannot improve the best known bound on the size of the Fourier coefficient of a α-Hölder function—that is only and then not summable.

If ƒ is of bounded variation and belongs to a α-Hölder class for some α > 0, it belongs to the Wiener algebra.^{[citation needed]}

Norm convergence[edit]

The simplest case is that of L², which is a direct transcription of general Hilbert space results. According to the Riesz–Fischer theorem, if ƒ is square-integrable then

i.e.,  converges to ƒ in the norm of L². It is easy to see that the converse is also true: if the limit above is zero, ƒ must be in L². So this is an if and only if condition.

If 2 in the exponents above is replaced with some p, the question becomes much harder. It turns out that the convergence still holds if 1 < p < ∞. In other words, for ƒ in L^p,  converges to ƒ in the L^p norm. The original proof uses properties of holomorphic functions and Hardy spaces, and another proof, due to Salomon Bochner relies upon the Riesz–Thorin interpolation theorem. For p = 1 and infinity, the result is not true. The construction of an example of divergence in L¹ was first done by Andrey Kolmogorov (see below). For infinity, the result is a corollary of the uniform boundedness principle.

If the partial summation operator S_N is replaced by a suitable summability kernel (for example the Fejér sum obtained by convolution with the Fejér kernel), basic functional analytic techniques can be applied to show that norm convergence holds for 1 ≤ p < ∞.

Convergence almost everywhere[edit]

The problem whether the Fourier series of any continuous function converges almost everywhere was posed by Nikolai Lusin in the 1920s.
It was resolved positively in 1966 by Lennart Carleson. His result, now known as Carleson’s theorem, tells the Fourier expansion of any function in L² converges almost everywhere. Later on, Richard Hunt generalized this to L^p for any p > 1.

Contrariwise, Andrey Kolmogorov, as a student at the age of 19, in his very first scientific work, constructed an example of a function in L¹ whose Fourier series diverges almost everywhere (later improved to diverge everywhere).

Jean-Pierre Kahane and Yitzhak Katznelson proved that for any given set E of measure zero, there exists a continuous function ƒ such that the Fourier series of ƒ fails to converge on any point
of E.

Summability[edit]

Does the sequence 0,1,0,1,0,1,… (the partial sums of Grandi’s series) converge to ½? This does not seem like a very unreasonable generalization of the notion of convergence. Hence we say that any sequence is Cesàro summable to some a if

It is not difficult to see that if a sequence converges to some a then it is also Cesàro summable to it.

To discuss summability of Fourier series, we must replace with an appropriate notion. Hence we define

and ask: does converge to f? is no longer
associated with Dirichlet’s kernel, but with Fejér’s kernel, namely

where is Fejér’s kernel,

The main difference is that Fejér’s kernel is a positive kernel. Fejér’s theorem states that the above sequence of partial sums converge uniformly to ƒ. This implies much better convergence properties

Results about summability can also imply results about regular convergence. For example, we learn that if ƒ is continuous at t, then the Fourier series of ƒ cannot converge to a value different from ƒ(t). It may either converge to ƒ(t) or diverge. This is because, if converges to some value x, it is also summable to it, so from the first summability property above, x = ƒ(t).

Order of growth[edit]

The order of growth of Dirichlet’s kernel is logarithmic, i.e.

See Big O notation for the notation O(1). The actual value is both difficult to calculate (see Zygmund 8.3) and of almost no use. The fact that for some constant c we have

is quite clear when one examines the graph of Dirichlet’s kernel. The integral over the n-th peak is bigger than c/n and therefore the estimate for the harmonic sum gives the logarithmic estimate.

This estimate entails quantitative versions of some of the previous results. For any continuous function f and any t one has

However, for any order of growth ω(n) smaller than log, this no longer holds and it is possible to find a continuous function f such that for some t,

The equivalent problem for divergence everywhere is open. Sergei Konyagin managed to construct an integrable function such that for every t one has

It is not known whether this example is best possible. The only bound from the other direction known is log n.

Multiple dimensions[edit]

Upon examining the equivalent problem in more than one dimension, it is necessary to specify the precise order of summation one uses. For example, in two dimensions, one may define

which are known as «square partial sums». Replacing the sum above with

lead to «circular partial sums». The difference between these two definitions is quite notable. For example, the norm of the corresponding Dirichlet kernel for square partial sums is of the order of while for circular partial sums it is of the order of .

Many of the results true for one dimension are wrong or unknown in multiple dimensions. In particular, the equivalent of Carleson’s theorem is still open for circular partial sums. Almost everywhere convergence of «square partial sums» (as well as more general polygonal partial sums) in multiple dimensions was established around 1970 by Charles Fefferman.

Notes[edit]

References[edit]

Textbooks[edit]

• Dunham Jackson The theory of Approximation, AMS Colloquium Publication Volume XI, New York 1930.
• Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
• Antoni Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, II. Third edition. With a foreword by Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-89053-5
• Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2
• Karl R. Stromberg, Introduction to classical analysis, Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0

The Katznelson book is the one using the most modern terminology and style of the three. The original publishing dates are: Zygmund in 1935, Bari in 1961 and Katznelson in 1968. Zygmund’s book was greatly expanded in its second publishing in 1959, however.

Articles referred to in the text[edit]

• Paul du Bois-Reymond, «Ueber die Fourierschen Reihen», Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen 21 (1873), 571–582.

This is the first proof that the Fourier series of a continuous function might diverge. In German

• Andrey Kolmogorov, «Une série de Fourier–Lebesgue divergente presque partout», Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Andrey Kolmogorov, «Une série de Fourier–Lebesgue divergente partout», C. R. Acad. Sci. Paris 183 (1926), 1327–1328

The first is a construction of an integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. The second is a strengthening to divergence everywhere. In French.

• Lennart Carleson, «On convergence and growth of partial sums of Fourier series», Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Richard A. Hunt, «On the convergence of Fourier series», Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235–255. Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, Ill.
• Charles Louis Fefferman, «Pointwise convergence of Fourier series», Ann. of Math. 98 (1973), 551–571.
• Michael Lacey and Christoph Thiele, «A proof of boundedness of the Carleson operator», Math. Res. Lett. 7:4 (2000), 361–370.
• Ole G. Jørsboe and Leif Mejlbro, The Carleson–Hunt theorem on Fourier series. Lecture Notes in Mathematics 911, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11198-0

This is the original paper of Carleson, where he proves that the Fourier expansion of any continuous function converges almost everywhere; the paper of Hunt where he generalizes it to spaces; two attempts at simplifying the proof; and a book that gives a self contained exposition of it.

• Dunham Jackson, Fourier Series and Orthogonal Polynomials, 1963
• D. J. Newman, «A simple proof of Wiener’s 1/f theorem», Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Jean-Pierre Kahane and Yitzhak Katznelson, «Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques», Studia Math. 26 (1966), 305–306

In this paper the authors show that for any set of zero measure there exists a continuous function on the circle whose Fourier series diverges on that set. In French.

• Sergei Vladimirovich Konyagin, «On divergence of trigonometric Fourier series everywhere», C. R. Acad. Sci. Paris 329 (1999), 693–697.
• Jean-Pierre Kahane, Some random series of functions, second edition. Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-45602-9

The Konyagin paper proves the divergence result discussed above. A simpler proof that gives only log log n can be found in Kahane’s book.

Сходимость ряда Фурье в точке

1. Теорема о локализации.

   Начать изучение
   

2. Условие Гёльдера.

   Начать изучение
   

3. Сходимость ряда Фурье в точке.

   Начать изучение
   

4. Некоторые примеры.

   Начать изучение
   

5. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции.

   Начать изучение
   

Теорема о локализации.

Сходимость ряда Фурье в точке (x_{0}) сводится к исследованию сходимости последовательности частичных сумм (S_{n}(x_{0})), определенных формулой Дирихле.

Теорема 1.

(Принцип локализации)

Пусть функция (f(x)) (2pi)-периодическая и абсолютно интегрируемая на отрезке ([-pi, pi]). Тогда сходимость ряда Фурье функции (f(x)) в точке (x_{0} in boldsymbol{R}) и сумма ряда Фурье функции (f(x)) в точке (если этот ряд сходится) зависят только от поведения функции (f(x)) в произвольно малом интервале ((x_{0}-delta, x_{0}+delta)), (delta > 0).

Доказательство.

(circ) Используя формулу Дирихле и формулу ядра Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$
S_{n}(x_{0}) = frac{1}{pi} intlimits_{0}^{pi} dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}} sin left(n+frac{1}{2}right)u du.label{ref1}
$$

Так как функция (f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)) абсолютно интегрируема на отрезке ([-pi, pi]), а для (delta in (0, pi)) и всех (u in [delta, pi]) выполнено неравенство
$$
left|dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}}right| leq dfrac{1}{2sin displaystylefrac{delta}{2}} |f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)|,nonumber
$$
то по признаку сравнения функция
$$
Phi(u) = dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}}nonumber
$$
абсолютно интегрируема на отрезке ([delta, pi]). В силу леммы Римана
$$
lim_{n rightarrow infty} frac{1}{pi} intlimits_{delta}^{pi} dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}} sin left(n+frac{1}{2}right)u du = 0.nonumber
$$
Тогда из формулы eqref{ref1} получаем, что
$$
lim_{n rightarrow infty} left[S_{n}(x_{0})-frac{1}{pi} intlimits_{0}^{delta} dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}} sin left(n+frac{1}{2}right)u duright] = 0.label{ref2}
$$

Из формулы eqref{ref2} следует, что существование и величина предела (displaystylelim_{n rightarrow infty} S_{n}(x_{0})) зависит только от существования и величины предела
$$
lim_{n rightarrow infty} frac{1}{pi} intlimits_{0}^{delta} dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2sin displaystylefrac{u}{2}} sin left(n+frac{1}{2}right)u du,nonumber
$$
то есть от значений функции (f) на интервале ((x_{0}-delta, x_{0}+delta)), (delta > 0). (bullet)

Замечание.

Для функции (f(x) = frac{1}{2}) формула eqref{ref2} принимает следующий вид:
$$
lim_{n rightarrow infty} frac{1}{pi} intlimits_{0}^{delta} dfrac{sin left(n+displaystylefrac{1}{2}right)u}{2sin displaystylefrac{u}{2}} du = displaystylefrac{1}{2}, 0 < delta < pi.label{ref3}
$$

---

Условие Гёльдера.

Определение.

Функция (f(x)) удовлетворяет в точке (x_{0}) условию Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы (f(x_{0} pm 0)) и такие числа (delta > 0), (alpha in (0, 1]) и (c_{0} > 0), что для всех (u in (0, delta)) выполнены неравенства
$$
|f(x_{0}+u)-f(x_{0}+u)| leq c_{0}u^{alpha}, |f(x_{0}-u)-f(x_{0}-u)| leq c_{0}u^{alpha}.label{ref4}
$$
Число (alpha) называют показателем Гёльдера.

Заметим, что функция (f(x)), удовлетворяющая условию Гёльдера eqref{ref4}, может иметь в точке (x_{0}) разрыв первого рода, если (f(x_{0}+0) neq f(x_{0}-0)).

Можно расширить определение односторонних производных, полагая
$$
f’_{+}(x_{0}) = lim_{u rightarrow +0} frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u},nonumber
$$
$$
f’_{-}(x_{0}) = lim_{u rightarrow +0} frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}.nonumber
$$

Лемма 1.

Если в точке (x_{0}) функция (f(x)) имеет конечные односторонние производные (f’_{+}(x_{0})) и (f’_{-}(x_{0})), то функция (f(x)) удовлетворяет в точке (x_0) условию Гёльдера с показателем (alpha = 1).

Доказательство.

(circ) Функции
$$
varphi(u) = frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u},quad psi(u) = frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}nonumber
$$
имеют конечные пределы при (u rightarrow +0) и поэтому ограничены на некотором интервале ((0, delta)), то есть существует (c_{0} > 0) такое, что
$$
left|frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u}right| leq c_{0},quad left|frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}right| leq c_{0}.nonumber
$$
Следовательно, функция (f(x)) удовлетворяет в точке (x_{0}) условию Гёльдера с показателем (alpha = 1). (bullet)

Следствие.

Если функция (f(x)) имеет в точке (x_{0}) производную, то она удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера.

Обратное утверждение неверно: функция (|x|^{alpha}) при (0 < alpha < 1) удовлетворяет условию Гёльдера в точке (x = 0), но не дифференцируема в точке (x = 0).

---

Сходимость ряда Фурье в точке.

Теорема 2.

Пусть (2pi)-периодическая функция (f(x)) абсолютно интегрируема на ([-pi, pi]) и в точке (x_{0}) удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда в точке (x_{0}) Ряд Фурье функции (f(x)) сходится к
$$
frac{1}{2} (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)).nonumber
$$

Если в точке (x_{0}) функция (f(x)) еще и непрерывна, то в этой точке сумма ряда Фурье равна (f(x_{0})).

Доказательство.

(circ) Так как функция (f(x)) удовлетворяет в точке (x_{0}) условию Гёльдера, то при (0 < u < delta) и (alpha > 0) выполнены неравенства eqref{ref4}.

Запишем при заданном (delta > 0) равенства eqref{ref2} и eqref{ref3}. Умножая равенство eqref{ref3} на (f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)) и вычитая результат из равенства eqref{ref2}, получаем
$$
lim_{n rightarrow infty} left[S_{n}(x_{0})-frac{f(x_{0}+0)-f(x_{0}+0)}{2} -\- frac{1}{pi} intlimits_{0}^{delta} dfrac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)+f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{2sin displaystylefrac{u}{2}} sin left(n+frac{1}{2}right)u duright] = 0.label{ref5}
$$

Из условия Гёльдера eqref{ref4} следует, что функция
$$
Phi(u) = dfrac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)+f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{2sin displaystylefrac{u}{2}}label{ref6}
$$
абсолютно интегрируема на отрезке ([0, delta]). В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции (Phi(u)), определенной равенством eqref{ref6}, справедливо следующее неравенство:
$$
|Phi(u)| leq dfrac{2c_{o}u^{alpha}}{displaystylefrac{2}{pi}u} = pi c_{0}u^{alpha-1},quad alpha in (0, 1].label{ref7}
$$

В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства eqref{ref7} следует, что функция (Phi(u)) абсолютно интегрируема на отрезке ([0, delta]).

В силу леммы Римана
$$
lim_{n rightarrow infty} intlimits_{0}^{delta} Phi(u) sin left(n+frac{1}{2}right)u du = 0.nonumber
$$
Из формулы eqref{ref5} теперь следует, что
$$
lim_{n rightarrow infty} S_{n}(x_{0}) = frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}. bulletnonumber
$$

Следствие 1.

Если (2pi)-периодическая и абсолютно интегрируемая на ([-pi, pi]) функция (f(x)) имеет в точке (x_{0}) обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в точке (x_{0}) к (displaystylefrac{1}{2}f(x_{0}+0)+frac{1}{2}f(x_{0}-0)).

Следствие 2.

Если (2pi)-периодическая и абсолютно интегрируемая на ([-pi, pi]) функция (f(x)) имеет в точке (x_{0}) производную, то ее ряд сходится в этой точке к (f(x_{0})).

Следствие 3.

Если (2pi)-периодическая и абсолютно интегрируемая на ([-pi, pi]) функция (f(x)) удовлетворяет в точках (pm pi) условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках (pm pi) равна
$$
frac{f(pi-0)+f(-pi+0)}{2}nonumber
$$

---

Некоторые примеры.

Пример 1.

На отрезке ([-pi, pi]) найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = left{
begin{array}{ll}
1, & x in (0, pi),\
-1, & x in (-pi, 0),\
0, & x = 0.
end{array} right.nonumber
$$
Исследовать сходимость полученного ряда.

Решение.

(circ) Продолжая периодически (f(x)) на всю вещественную ось, получим функцию (tilde{f}(x)), график которой изображен на рис. 64.1.

Так как функция (f(x)) нечётна, то
$$
a_{k} = frac{1}{pi} intlimits_{-pi}^{pi} f(x) cos kx dx = 0;nonumber
$$
$$
b_{k} = frac{1}{pi} intlimits_{-pi}^{pi} f(x) sin kx dx = frac{2}{pi} intlimits_{0}^{pi} sin kx dx = -left.frac{2}{pi k} cos kxright|_{0}^{pi} = frac{2}{pi k} (1-cos kpi),nonumber
$$
$$
b_{2n} = 0,quad b_{2n+1} = dfrac{4}{pi(2n+1)}.nonumber
$$
Следовательно,
$$
tilde{f}(x) sim frac{4}{pi} sum_{n=0}^{infty} dfrac{sin(2n+1)x}{2n+1}.nonumber
$$

Так как (f'(x)) существует при (x neq kpi), то
$$
tilde{f}(x) = frac{4}{pi} sum_{n=0}^{infty} dfrac{sin(2n+1)x}{2n+1}, x neq kpi, k in boldsymbol{Z}.nonumber
$$

В точках (x = kpi), (k in boldsymbol{Z}), функция (f(x)) не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.

Полагая (x = displaystylefrac{pi}{2}), получаем равенство
$$
1-frac{1}{3}+frac{1}{5}-ldots+dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}+ldots = frac{pi}{4}. blacktrianglenonumber
$$

Пример 2.

На отрезке ([-pi, pi]) найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = cos ax,quad -pi leq x leq pi,quad a neq n, n in boldsymbol{Z},nonumber
$$
и исследовать сходимость полученного ряда.

Решение.

(vartriangle) Продолжая функцию (f(x)) периодически на всю вещественную прямую, получаем непрерывную и (2pi)-периодическую функцию, имеющую в каждой точке обе односторонние производные (рис. 64.2). Ряд Фурье такой функции будет в любой точке сходиться к значению функции в этой точке.

Найдем коэффициенты Фурье. Так как функция (f(x)) четная, то все коэффициенты (b_{n} = 0), а коэффициенты (a_{n}) вычисляются следующим образом:
$$
a_{n} = frac{2}{pi} intlimits_{0}^{pi} cos ax cos nx dx = frac{1}{pi} intlimits_{0}^{pi} [cos (a-n)x+cos (a+n)x] dx =\= dfrac{sin api}{pi} (-1)^{n} left[frac{1}{a+n}+frac{1}{a-n}right],nonumber
$$
откуда
$$
dfrac{pi cos ax}{sin api} = frac{1}{a}+sum_{n = 1}^{infty} (-1)^{n} left(frac{1}{a-n}+frac{1}{a+n}right) cos nx, -pi leq x leq pi. blacktrianglelabel{ref8}
$$

Замечание.

Полагая в формуле eqref{ref8} (x = pi) и (api = z), получаем замечательную формулу, дающую разложение функции (operatorname{ctg} z) на элементарные дроби:
$$
operatorname{ctg} z = frac{1}{z}+sum_{n = 1}^{infty} left(frac{1}{z-npi}+frac{1}{z+npi}right),label{ref9}
$$
где точки (pm npi) являются нулями функции (sin z).

Если же положить в формуле eqref{ref8} (x = 0) и (z = api), то получаем разложение функции (operatorname{cosec} z) на элементарные дроби:
$$
frac{1}{sin z} = frac{1}{z}+sum_{n = 1}^{infty} (-1)^{n} left(frac{1}{z-npi}+frac{1}{z+npi}right).label{ref10}
$$

Пример 3.

Найти ряд Фурье следующей (2pi)-периодической, абсолютно интегрируемой на отрезке ([-pi, pi]) функции:
$$
f(x) = -ln left|sin frac{x}{2}right|, x neq 2kpi, k in boldsymbol{Z},nonumber
$$
и исследовать сходимость полученного ряда.

Решение.

(vartriangle) Так как (f'(x)) существует при (x neq 2kpi), то ряд Фурье функции (f(x)) будет сходиться во всех точках (x neq 2kpi) к значению функции. Очевидно, что (f(x)) — четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать только косинусы. Найдем коэффициент (a_{0}). Имеем
$$
pi a_{0} = -2 intlimits_{0}^{pi} ln sin frac{x}{2} dx = -2 intlimits_{0}^{pi/2} ln sin frac{x}{2} dx -2 intlimits_{pi/2}^{pi} ln sin frac{x}{2} dx =\= -2 intlimits_{0}^{pi/2} ln sin frac{x}{2} dx -2 intlimits_{0}^{pi/2} ln cos frac{x}{2} dx = -2 intlimits_{0}^{pi/2} ln left(frac{1}{2} sin xright) dx =\= pi ln 2 -2 intlimits_{0}^{pi/2} ln sin frac{x}{2} dx = pi ln 2-intlimits_{0}^{pi} ln sin frac{t}{2} dt = pi ln 2+frac{pi a_{0}}{2},nonumber
$$
откуда (a_{0} = 2 ln 2).

Найдем теперь (a_{n}) при (n neq 0). Имеем
$$
pi a_{n} = -2 intlimits_{0}^{pi} cos nx ln sin frac{x}{2} dx = -2 left.frac{sin nx}{n} ln sin frac{x}{2}right|_{+0}^{pi} +\+ 2 intlimits_{0}^{pi} frac{sin nx}{n} dfrac{displaystylecos frac{x}{2}}{2displaystylesin frac{x}{2}} dx = intlimits_{0}^{pi} dfrac{displaystylesinleft(n+frac{1}{2}right)x+sinleft(n-frac{1}{2}right)x}{2n sin displaystylefrac{x}{2}} dx =\= frac{1}{2n} intlimits_{-pi}^{pi} [D_{n}(x)+D_{n-1}(x)] dx.nonumber
$$
Здесь (D_{n}(x)) — ядро Дирихле. Из одного из свойств ядра Дирихле получаем, что (pi a_{n} = displaystylefrac{pi}{n}) и, следовательно, (a_{n} = displaystylefrac{1}{n}). Таким образом,
$$
-ln left|sin frac{x}{2}right| = ln 2+sum_{n = 1}^{infty} frac{cos nx}{n},quad x neq 2kpi, k in boldsymbol{Z}.label{ref11}
$$

График функции (-displaystyleln left|sin frac{x}{2}right|) изображен на рис. 64.3. (blacktriangle)

Замечание.

Полагая в формуле eqref{ref11} (x = pi), получаем
$$
ln 2 = 1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-ldots+frac{(-1)^{n-1}}{n}+ldotsnonumber
$$

Пример 4.

На отрезке [0,4] найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = left{
begin{array}{ll}
1-x, & 0 leq x leq 1,\
0, & 1 leq x leq 3,\
x-3, & 3 leq x leq 4,
end{array} right. nonumber
$$
периодически продолжив ее на ((-infty, +infty)), и исследовать полученный ряд на сходимость.

Решение.

(vartriangle) Продолжим функцию (f(x)) периодически. Получим четную функцию (tilde{f}(x)) с периодом, равным 4 (рис. 64.4). Следовательно, разложение (tilde{f}(x)) в тригонометрический ряд Фурье имеет следующий вид:
$$
tilde{f}(x) = frac{a_{0}}{2}+sum_{n = 1}^{infty} a_{n} cos frac{n pi x}{2},nonumber
$$
где
$$
a_{0} = frac{2}{2} intlimits_{0}^{2} f(x) dx = intlimits_{0}^{1} (1-x) dx = frac{1}{2},nonumber
$$
$$
a_{n} = intlimits_{0}^{2} f(x) cos frac{n pi x}{2} dx = intlimits_{0}^{1} (1-x) cos frac{n pi x}{2} dx =\= frac{2}{npi}(1-x) sin frac{n pi x}{2}|_{0}^{1}+frac{2}{npi} intlimits_{0}^{1} sin frac{n pi x}{2} dx =\= (frac{2}{npi})^{2} (-cos frac{n pi x}{2}|_{0}^{1}) = (frac{2}{npi})^{2} [1-cos frac{pi n}{2}].nonumber
$$

Таким образом,
$$
tilde{f}(x) = frac{1}{4}+frac{4}{pi^{2}} sum_{n = 1}^{infty} dfrac{1-displaystylecos frac{npi}{2}}{n^{2}} cos frac{n pi x}{2}, x in boldsymbol{R}.nonumber
$$
Так как в каждой точке непрерывная функция (f(x)) имеет конечные односторонние производные, то ряд Фурье функции (f(x)) во всех точках сходится к значению функции. (blacktriangle)

---

Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции.

Говорят, что функция (f(x)) кусочно непрерывна на ([a, b]), если существует такое разбиение отрезка ([a, b]) точками (x_{i}), (i = overline{1, n}), где (a = x_{0} < x_{1} < ldots < x_{n} = b), что на каждом из интервалов ((x_{i-1}, x_{i})) функция (f(x)) непрерывна и существуют односторонние пределы (f(a+0)), (f(b-0)), (f(x_{i} pm 0)), (i = overline{1, n-1}).

Например, функции из примеров 1 и 2 являются кусочно непрерывными, функция примера 3, график которой изображен из рис. 64.3, кусочно непрерывной не является.

Говорят, что (f(x)) — кусочно гладкая функция на отрезке ([a, b]), если найдется такое разбиение отрезка ([a, b]), что на каждом из интервалов разбиения ((x_{i-1}, x_{i})), (i = overline{1, n}), функция (f(x)) имеет непрерывную производную (f'(x)) и существуют односторонние производные (f'(a+0)), (f'(b-0)), (f'(x_{i} pm 0)), (i = overline{1, n-1}). Ясно, что производная кусочно гладкой функции, определенная во всех точках отрезка ([a, b]), кроме конечного числа точек, есть кусочно непрерывная функция. Ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится в каждой точке непрерывности функции к значению функции в этой точке, а в каждой точке разрыва — к полусумме предельных значений функции в этой точке.

Для непрерывной и кусочно гладкой функции справедливы формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям.

Какими же качествами
должна обладать функция,чтобы
ее ряд Фурье сходился и имел своей суммой
именно эту функцию? Мы рассмотрим (без
доказательства) одно достаточное
условие разложимости функции в ряде
фурье.
Сначала одно определение.

Определение:
функция f(x) называется кусочно-монотонной
на [a,b], если этот отрезок точками

можно разбить на конечное число интервалов

так, что функция будет монотонной
на каждом интервале (т.е.будет
либо возрастающей, либо убывающей).

Из определения
следует , что функция кусочно-монотонная
и ограниченная на отрезке [a;b] может
иметь на нем лишь конечное число разрывов
и только первого рода. Если x=c точка
разрыва функции f(x), то

Теорема:
Если
периодическая с периодом 2p
функция f(x) кусочно-монотонная и ограничена
на [-p;p],
то ее ряд Фурье сходится во всех точках
числовой прямой. Сумма этого ряда S(x)
равна значениюфункции
f(x) во всех точках непрерывности этой
функции и равна среднему арифметическому
пределов f(x) слева и справа в точках
разрывов f(x), т.е. если x=c точка разрыва
f(x), то

Эта теорема
показывает, что класс функцийпредставленных
рядами Фурье достаточно широк. Именно
поэтому ряды Фурье находят широкие
применения в различных областях
математики. В частности они с успехом
применяются в математической физике,в различных
проблемах механики и т.п.

Пример:
Имеется
периодическая с периодом 2p
функция, определенная следующим образом
:

f(x)= 0 для -p£x<0

x для 0<x<p

Решение:
функция
кусочно-монотонная и ограничена на
[p;-p].
Поэтому она разлагается в ряд Фурье на
этом отрезке, а т.к. она периодическая,
то и на всей числовой прямой.

Вычислим
коэффициенты Фурье по формулам (3)-(5)

пункта 2).

;

В результате
получим:

Это равенство
выполняется везде кроме точек разрыва
функции f(x), т.е. x=±p+2kp.
вэтих точках
сумма полученного ряда S(±p+2pk)=График
суммы S(x) ряда изображен на рисунке.

Замечание:
Полагая в
полученном разложении x=0, получим

откуда можно вычислить приближенные
значения числа p
с любой необходимой точностью.

4)Особенности ряда Фурье для четных и нечетных функций.

Сначала рассмотрим
одно свойство четных и нечетных функций.

Теорема:
Если функция f(x) четная на [-a,a], то

Если функция f(x)
нечетная на [-a,a], то

Доказательство:
1) Пусть f(x) четная на [-a,a] т.е. для

тогда:

1. Пусть f(x)
   нечетная на [-a;a],
   т.е. f(-x)=-f(x)
   для «xÎ[-a;a].
   Тогда, аналогично, получим
   .

Это свойство
четных и нечетных функций наглядно
демонстрируется с использованием
геометрического истолкования определенного
интеграла.

1. f(x) — четная

.

1. f(x) — нечетная

.

Итак, пусть функция
f(x)
имеет ряд Фурье:

.
(1)

Как мы знаем:

,
,
.
(2)

Если функция f(x)нечетная,
произведение f(x)coskx
тоже нечетное, а f(x)sinkx
— четная, поэтому формулы (2) дадут:

,
,
(3)

и (1) запишется в
виде:

(4)

Заключение:
Нечетная функция содержит в ряде Фурье
только синусы.

Если функция f(x)
—четная,
произведение
f(x)coskxтоже четное, а
f(x)sinkx
— нечетная, поэтому формулы (2) дадут:

,
,
(5)

и (1) запишется в
виде:

(6)

Заключение:
Четная функция содержит в ряде Фурье
только косинусы.

Формулы (3)-(6)
позволяют упростить вычисление
коэффициентов Фурье для случая четных
и нечетных функций (хотя, конечно, не
всякая периодическая функция является
четной или нечетной).

Пример: Разложить
в ряд Фурье периодическую с периодом
2p
функцию, заданную на [-p;p]
формулой
.

Решение:
Функцию

кусочно-монотонна и ограничена на

[-p;p],
поэтому она разлагается в ряд Фурье. А
так как она периодическая, то разложение
справедливо на всей числовой прямой.

Т.к. функция четная,
то можем воспользоваться формулами (5)
и (6).

=(дважды
интегрируем по частям)=.

Теперь имеем:

Т.к.
данная функция непрерывна везде, то
сумма ряда Фурье совпадает с f(x)тоже везде на
(-¥;+¥).

Замечание:
Обычную
(непериодическую) функцию
точно так же можно
разложить в тригонометрический ряд на
[-p;p],
но равенство

будет верно только в пределах этого
отрезка, за его пределами сумма ряда
.

1. Ряды Фурье для
   функций с периодом 2.

Пусть f(x)
периодическая с периодом 2
функция, 2,
вообще говоря, отлична от 2p.
Разложим ее в ряд Фурье. Сделаем замену
переменной
.
Тогда

и при x=-pt=.
Очевидно, функция

будет периодичной функцией от t
с периодом 2p.
Предположим, что она разлагается в ряд
Фурье на сегменте -p£t£p
(а, значит, и на (-¥;+¥)):

,
(1)

где

,
,
(2)

Сделаем обратную
замену в формулах (2) и (1):

.
В результате получим:

,
,
.
(3)

(4)

Формула (4) с
коэффициентами (3) и есть разложение в
ряд Фурье функции с периодом 2.

Замечание 1: Все,
что было сказано о рядах Фурье с периодом
2p
остается в силе и с периодом 2
(теорема об условиях разложимости
функции в ряд Фурье, возможность упростить
вычисления коэффициентов в случае
четной и нечетной функций и т.п.).

Замечание 2:
Отметим
(без доказательства) следующее свойство
функции j(x)
периодической с периодом 2:
.

/Определенный
интеграл от периодической функции j(x)
по любому отрезку длиной с периодом 2
имеет одно и тоже значение/.

Геометрически
справедливость этого факта очевидна,
как показывает приводимый рисунок.

Иногда этот факт
позволяет упростить тоже вычисление
коэффициентов Фурье.

1. О разложении в
   ряд Фурье непериодических функций.

Пусть на [a;b]
дана кусочно-монотонная и ограниченная
функция f(x).
Покажем, что эта функция может быть
представлена в точках непрерывности
рядом Фурье. Для этого рассмотрим
произвольную периодическую
кусочно-монотонную и ограниченную
функцию F(x)
периода 2³çb-açи
совпадает на [а;b]
с данной функцией f(x)
/мы периодически
продолжаем функцию f(x)/.

Разложим функцию
F(x)
в ряд Фурье, пользуясь формулами (3) и
(4) предыдущего пункта. Сумма этого ряда
совпадает везде на [a;b]
(кроме точек разрыва) с данной функцией
f(x),
т.е. мы получим разложение f(x)
в ряд Фурье на [a;b].

Рассмотрим важный
частный случай. Пусть функция задана
на отрезке [0;
].
Продолжим ее произвольным образом на
[-;0]
(следим только за тем, чтобы получающаясяфункция F(x)
на [-;]удовлетворяла
условиям разложимости в ряд Фурье).
Разлогая F(x),
мы получим разложение на [0;
]
и данной функции.

Среди множества
различных продолжений функции f(x)
на [-;0]
особенно важным являются продолжения
четным и нечетным образом,
т.е. получающаяся функция F(x)на[-;]
будет четной или нечетной.

В первом случае
полученный ряд будет содержать только
косинусы — функция
f(x)
на [0;
]
разложена по косинусам.
Во втором случае ряд будет содержать
только синусы — функция
f(x)
на [0;
]
разложена по синусам.

Эти два продолжения
удобны тем, что интегралы для вычисления
коэффициентов Фурье берутся только по
[0;
],
где F(x0=f(x).
Тем самым разложение некоторых функций
на [0;
]
в ряд Фурье только
по косинусам
или только
по синусам
сводится к использованию соответствующих
формул для разложения четных или нечетных
функций.

Пример: Разложить
функцию f(x)=x
на [0;
]в ряд Фурье:

1. только по косинусам;

2. только по синусам;

Решение:

1. Продолжение
   функции f(x)на [-;0]
   должна быть четным (см. рис.).

Поэтому ряд будет
иметь вид:
,
где
,
,
.

Имеем:
.

Итак:

1. Продолжение
   функции f(x)на [-;0]
   должна быть нечетным (см. рис.).

Поэтому ряд будет
иметь вид:
,
где

равны нулю, а
.

Итак:

58