Как найти середину ребра тетраэдра

Regular tetrahedron
(Click here for rotating model)
Type	Platonic solid
Elements	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
Faces by sides	4{3}
Conway notation	T
Schläfli symbols	{3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Face configuration	V3.3.3
Wythoff symbol	3 | 2 3 | 2 2 2
Coxeter diagram	=
Symmetry	Td, A3, [3,3], (*332)
Rotation group	T, [3,3]+, (332)
References	U01, C15, W1
Properties	regular, convexdeltahedron
Dihedral angle	70.528779° = arccos(1⁄3)
3.3.3 (Vertex figure)	Self-dual (dual polyhedron)
Net

In geometry, a tetrahedron (plural: tetrahedra or tetrahedrons), also known as a triangular pyramid, is a polyhedron composed of four triangular faces, six straight edges, and four vertex corners. The tetrahedron is the simplest of all the ordinary convex polyhedra.^[1]

The tetrahedron is the three-dimensional case of the more general concept of a Euclidean simplex, and may thus also be called a 3-simplex.

The tetrahedron is one kind of pyramid, which is a polyhedron with a flat polygon base and triangular faces connecting the base to a common point. In the case of a tetrahedron the base is a triangle (any of the four faces can be considered the base), so a tetrahedron is also known as a «triangular pyramid».

Like all convex polyhedra, a tetrahedron can be folded from a single sheet of paper. It has two such nets.^[1]

For any tetrahedron there exists a sphere (called the circumsphere) on which all four vertices lie, and another sphere (the insphere) tangent to the tetrahedron’s faces.^[2]

Regular tetrahedron[edit]

A regular tetrahedron is a tetrahedron in which all four faces are equilateral triangles. It is one of the five regular Platonic solids, which have been known since antiquity.

In a regular tetrahedron, all faces are the same size and shape (congruent) and all edges are the same length.

Regular tetrahedra alone do not tessellate (fill space), but if alternated with regular octahedra in the ratio of two tetrahedra to one octahedron, they form the alternated cubic honeycomb, which is a tessellation. Some tetrahedra that are not regular, including the Schläfli orthoscheme and the Hill tetrahedron, can tessellate.

The regular tetrahedron is self-dual, which means that its dual is another regular tetrahedron. The compound figure comprising two such dual tetrahedra form a stellated octahedron or stella octangula.

Coordinates for a regular tetrahedron[edit]

The following Cartesian coordinates define the four vertices of a tetrahedron with edge length 2, centered at the origin, and two level edges:

Expressed symmetrically as 4 points on the unit sphere, centroid at the origin, with lower face parallel to the plane, the vertices are:

with the edge length of .

Still another set of coordinates are based on an alternated cube or demicube with edge length 2. This form has Coxeter diagram and Schläfli symbol h{4,3}. The tetrahedron in this case has edge length 2√2. Inverting these coordinates generates the dual tetrahedron, and the pair together form the stellated octahedron, whose vertices are those of the original cube.

Tetrahedron: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)

Dual tetrahedron: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)

Angles and distances[edit]

For a regular tetrahedron of edge length a:

Face area
Surface area[3]
Height of pyramid[4]
Centroid to vertex distance
Edge to opposite edge distance
Volume[3]
Face-vertex-edge angle	(approx. 54.7356°)
Face-edge-face angle, i.e., «dihedral angle»[3]	(approx. 70.5288°)
Vertex-Center-Vertex angle,[5] the angle between lines from the tetrahedron center to any two vertices. It is also the angle between Plateau borders at a vertex. In chemistry it is called the tetrahedral bond angle. This angle (in radians) is also the length of the circular arc on the unit sphere resulting from centrally projecting one edge of the tetrahedron to the sphere.	(approx. 109.4712°)
Solid angle at a vertex subtended by a face	(approx. 0.55129 steradians) (approx. 1809.8 square degrees)
Radius of circumsphere[3]
Radius of insphere that is tangent to faces[3]
Radius of midsphere that is tangent to edges[3]
Radius of exspheres
Distance to exsphere center from the opposite vertex

With respect to the base plane the slope of a face (2√2) is twice that of an edge (√2), corresponding to the fact that the horizontal distance covered from the base to the apex along an edge is twice that along the median of a face. In other words, if C is the centroid of the base, the distance from C to a vertex of the base is twice that from C to the midpoint of an edge of the base. This follows from the fact that the medians of a triangle intersect at its centroid, and this point divides each of them in two segments, one of which is twice as long as the other (see proof).

For a regular tetrahedron with side length a, radius R of its circumscribing sphere, and distances d_i from an arbitrary point in 3-space to its four vertices, we have^[6]

Isometries of the regular tetrahedron[edit]

The vertices of a cube can be grouped into two groups of four, each forming a regular tetrahedron (see above, and also animation, showing one of the two tetrahedra in the cube). The symmetries of a regular tetrahedron correspond to half of those of a cube: those that map the tetrahedra to themselves, and not to each other.

The tetrahedron is the only Platonic solid that is not mapped to itself by point inversion.

The regular tetrahedron has 24 isometries, forming the symmetry group T_d, [3,3], (*332), isomorphic to the symmetric group, S₄. They can be categorized as follows:

• T, [3,3]⁺, (332) is isomorphic to alternating group, A₄ (the identity and 11 proper rotations) with the following conjugacy classes (in parentheses are given the permutations of the vertices, or correspondingly, the faces, and the unit quaternion representation):
  • identity (identity; 1)
  • rotation about an axis through a vertex, perpendicular to the opposite plane, by an angle of ±120°: 4 axes, 2 per axis, together 8 ((1 2 3), etc.; 1 ± i ± j ± k/2)
  • rotation by an angle of 180° such that an edge maps to the opposite edge: 3 ((1 2)(3 4), etc.; i, j, k)
• reflections in a plane perpendicular to an edge: 6
• reflections in a plane combined with 90° rotation about an axis perpendicular to the plane: 3 axes, 2 per axis, together 6; equivalently, they are 90° rotations combined with inversion (x is mapped to −x): the rotations correspond to those of the cube about face-to-face axes

Orthogonal projections of the regular tetrahedron[edit]

The regular tetrahedron has two special orthogonal projections, one centered on a vertex or equivalently on a face, and one centered on an edge. The first corresponds to the A₂ Coxeter plane.

Centered by	Face/vertex	Edge
Image
Projective symmetry	[3]	[4]

Cross section of regular tetrahedron[edit]

The two skew perpendicular opposite edges of a regular tetrahedron define a set of parallel planes. When one of these planes intersects the tetrahedron the resulting cross section is a rectangle.^[7] When the intersecting plane is near one of the edges the rectangle is long and skinny. When halfway between the two edges the intersection is a square. The aspect ratio of the rectangle reverses as you pass this halfway point. For the midpoint square intersection the resulting boundary line traverses every face of the tetrahedron similarly. If the tetrahedron is bisected on this plane, both halves become wedges.

This property also applies for tetragonal disphenoids when applied to the two special edge pairs.

Spherical tiling[edit]

The tetrahedron can also be represented as a spherical tiling, and projected onto the plane via a stereographic projection. This projection is conformal, preserving angles but not areas or lengths. Straight lines on the sphere are projected as circular arcs on the plane.

Orthographic projection	Stereographic projection

Helical stacking[edit]

Regular tetrahedra can be stacked face-to-face in a chiral aperiodic chain called the Boerdijk–Coxeter helix.

In four dimensions, all the convex regular 4-polytopes with tetrahedral cells (the 5-cell, 16-cell and 600-cell) can be constructed as tilings of the 3-sphere by these chains, which become periodic in the three-dimensional space of the 4-polytope’s boundary surface.

Irregular tetrahedra[edit]

Tetrahedra which do not have four equilateral faces are categorized and named by the symmetries they do possess.

If all three pairs of opposite edges of a tetrahedron are perpendicular, then it is called an orthocentric tetrahedron. When only one pair of opposite edges are perpendicular, it is called a semi-orthocentric tetrahedron.

An isodynamic tetrahedron is one in which the cevians that join the vertices to the incenters of the opposite faces are concurrent.

An isogonic tetrahedron has concurrent cevians that join the vertices to the points of contact of the opposite faces with the inscribed sphere of the tetrahedron.

Trirectangular tetrahedron[edit]

In a trirectangular tetrahedron the three face angles at one vertex are right angles, as at the corner of a cube.

Kepler discovered the relationship between the cube, regular tetrahedron and trirectangular tetrahedron.^[8]

Disphenoid[edit]

A disphenoid is a tetrahedron with four congruent triangles as faces; the triangles necessarily have all angles acute. The regular tetrahedron is a special case of a disphenoid. Other names for the same shape include bisphenoid, isosceles tetrahedron and equifacial tetrahedron.

Orthoschemes[edit]

A 3-orthoscheme is a tetrahedron where all four faces are right triangles.^[a] An orthoscheme is an irregular simplex that is the convex hull of a tree in which all edges are mutually perpendicular. In a 3-dimensional orthoscheme, the tree consists of three perpendicular edges connecting all four vertices in a linear path that makes two right-angled turns. The 3-orthoscheme is a tetrahedron having two right angles at each of two vertices, so another name for it is birectangular tetrahedron. It is also called a quadrirectangular tetrahedron because it contains four right angles.^[9]

Coxeter also calls quadrirectangular tetrahedra characteristic tetrahedra, because of their integral relationship to the regular polytopes and their symmetry groups.^[10] For example, the special case of a 3-orthoscheme with equal-length perpendicular edges is characteristic of the cube, which means that the cube can be subdivided into instances of this orthoscheme. If its three perpendicular edges are of unit length, its remaining edges are two of length √2 and one of length √3, so all its edges are edges or diagonals of the cube. The cube can be dissected into six such 3-orthoschemes four different ways, with all six surrounding the same √3 cube diagonal. The cube can also be dissected into 48 smaller instances of this same characteristic 3-orthoscheme (just one way, by all of its symmetry planes at once).^[b] The characteristic tetrahedron of the cube is an example of a Heronian tetrahedron.

Every regular polytope, including the regular tetrahedron, has its characteristic orthoscheme.^[c] There is a 3-orthoscheme which is the characteristic tetrahedron of the regular tetrahedron. The regular tetrahedron is subdivided into 24 instances of its characteristic tetrahedron by its planes of symmetry.^[d]

Characteristics of the regular tetrahedron[13]
	edge	arc	dihedral
𝒍		109°28′16″		70°31′44″
𝟀		70°31′44″		60°
𝝓		54°44′8″		60°
𝟁		54°44′8″		60°
		35°15′52″

If the regular tetrahedron has edge length 𝒍 = 2, its characteristic tetrahedron’s six edges have lengths , , (the exterior right triangle face, the characteristic triangle 𝟀, 𝝓, 𝟁), plus , , (edges that are the characteristic radii of the regular tetrahedron). The 3-edge path along orthogonal edges of the orthoscheme is , , , first from a tetrahedron vertex to an tetrahedron edge center, then turning 90° to an tetrahedron face center, then turning 90° to the tetrahedron center. The orthoscheme has four dissimilar right triangle faces. The exterior face is a 60-90-30 triangle which is one-sixth of a tetrahedron face. The three faces interior to the tetrahedron are: a right triangle with edges , , , a right triangle with edges , , , and a right triangle with edges , , .

Space-filling tetrahedra[edit]

A space-filling tetrahedron packs with directly congruent or enantiomorphous (mirror image) copies of itself to tile space.^[14] The cube can be dissected into six 3-orthoschemes, three left-handed and three right-handed (one of each at each cube face), and cubes can fill space, so the characteristic 3-orthoscheme of the cube is a space-filling tetrahedron in this sense.^[e] A disphenoid can be a space-filling tetrahedron in the directly congruent sense, as in the disphenoid tetrahedral honeycomb. Regular tetrahedra, however, cannot fill space by themselves.^[f]

Fundamental domains[edit]

An irregular tetrahedron which is the fundamental domain^[15] of a symmetry group is an example of a Goursat tetrahedron. The Goursat tetrahedra generate all the regular polyhedra (and many other uniform polyhedra) by mirror reflections, a process referred to as Wythoff’s kaleidoscopic construction.

For polyhedra, Wythoff’s construction arranges three mirrors at angles to each other, as in a kaleidoscope. Unlike a cylindrical kaleidoscope, Wythoff’s mirrors are located at three faces of a Goursat tetrahedron such that all three mirrors intersect at a single point.^[g]

Among the Goursat tetrahedra which generate 3-dimensional honeycombs we can recognize an orthoscheme (the characteristic tetrahedron of the cube), a double orthoscheme (the characteristic tetrahedron of the cube face-bonded to its mirror image), and the space-filling disphenoid illustrated above.^[10] The disphenoid is the double orthoscheme face-bonded to its mirror image (a quadruple orthoscheme). Thus all three of these Goursat tetrahedra, and all the polyhedra they generate by reflections, can be dissected into characteristic tetrahedra of the cube.

Isometries of irregular tetrahedra[edit]

The isometries of an irregular (unmarked) tetrahedron depend on the geometry of the tetrahedron, with 7 cases possible. In each case a 3-dimensional point group is formed. Two other isometries (C₃, [3]⁺), and (S₄, [2⁺,4⁺]) can exist if the face or edge marking are included. Tetrahedral diagrams are included for each type below, with edges colored by isometric equivalence, and are gray colored for unique edges.

Tetrahedron name	Edge equivalence diagram	Description
Symmetry
Schön.	Cox.	Orb.	Ord.
Regular tetrahedron		Four equilateral triangles It forms the symmetry group Td, isomorphic to the symmetric group, S4. A regular tetrahedron has Coxeter diagram and Schläfli symbol {3,3}.
Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
Triangular pyramid		An equilateral triangle base and three equal isosceles triangle sides It gives 6 isometries, corresponding to the 6 isometries of the base. As permutations of the vertices, these 6 isometries are the identity 1, (123), (132), (12), (13) and (23), forming the symmetry group C3v, isomorphic to the symmetric group, S3. A triangular pyramid has Schläfli symbol {3}∨( ).
C3v C3	[3] [3]+	*33 33	6 3
Mirrored sphenoid		Two equal scalene triangles with a common base edge This has two pairs of equal edges (1,3), (1,4) and (2,3), (2,4) and otherwise no edges equal. The only two isometries are 1 and the reflection (34), giving the group Cs, also isomorphic to the cyclic group, Z2.
Cs =C1h =C1v	[ ]	*	2
Irregular tetrahedron (No symmetry)		Four unequal triangles Its only isometry is the identity, and the symmetry group is the trivial group. An irregular tetrahedron has Schläfli symbol ( )∨( )∨( )∨( ).
C1	[ ]+	1	1
Disphenoids (Four equal triangles)
Tetragonal disphenoid		Four equal isosceles triangles It has 8 isometries. If edges (1,2) and (3,4) are of different length to the other 4 then the 8 isometries are the identity 1, reflections (12) and (34), and 180° rotations (12)(34), (13)(24), (14)(23) and improper 90° rotations (1234) and (1432) forming the symmetry group D2d. A tetragonal disphenoid has Coxeter diagram and Schläfli symbol s{2,4}.
D2d S4	[2+,4] [2+,4+]	2*2 2×	8 4
Rhombic disphenoid		Four equal scalene triangles It has 4 isometries. The isometries are 1 and the 180° rotations (12)(34), (13)(24), (14)(23). This is the Klein four-group V4 or Z22, present as the point group D2. A rhombic disphenoid has Coxeter diagram and Schläfli symbol sr{2,2}.
D2	[2,2]+	222	4
Generalized disphenoids (2 pairs of equal triangles)
Digonal disphenoid		Two pairs of equal isosceles triangles This gives two opposite edges (1,2) and (3,4) that are perpendicular but different lengths, and then the 4 isometries are 1, reflections (12) and (34) and the 180° rotation (12)(34). The symmetry group is C2v, isomorphic to the Klein four-group V4. A digonal disphenoid has Schläfli symbol { }∨{ }.
C2v C2	[2] [2]+	*22 22	4 2
Phyllic disphenoid		Two pairs of equal scalene or isosceles triangles This has two pairs of equal edges (1,3), (2,4) and (1,4), (2,3) but otherwise no edges equal. The only two isometries are 1 and the rotation (12)(34), giving the group C2 isomorphic to the cyclic group, Z2.
C2	[2]+	22	2

General properties[edit]

Volume[edit]

The volume of a tetrahedron is given by the pyramid volume formula:

where A₀ is the area of the base and h is the height from the base to the apex. This applies for each of the four choices of the base, so the distances from the apices to the opposite faces are inversely proportional to the areas of these faces.

For a tetrahedron with vertices
a = (a₁, a₂, a₃),
b = (b₁, b₂, b₃),
c = (c₁, c₂, c₃), and
d = (d₁, d₂, d₃), the volume is 1/6|det(a − d, b − d, c − d)|, or any other combination of pairs of vertices that form a simply connected graph. This can be rewritten using a dot product and a cross product, yielding

If the origin of the coordinate system is chosen to coincide with vertex d, then d = 0, so

where a, b, and c represent three edges that meet at one vertex, and a · (b × c) is a scalar triple product. Comparing this formula with that used to compute the volume of a parallelepiped, we conclude that the volume of a tetrahedron is equal to 1/6 of the volume of any parallelepiped that shares three converging edges with it.

The absolute value of the scalar triple product can be represented as the following absolute values of determinants:

 or  where  are expressed as row or column vectors.

Hence

 where 

which gives

where α, β, γ are the plane angles occurring in vertex d. The angle α, is the angle between the two edges connecting the vertex d to the vertices b and c. The angle β, does so for the vertices a and c, while γ, is defined by the position of the vertices a and b.

If we do not require that d = 0 then

Given the distances between the vertices of a tetrahedron the volume can be computed using the Cayley–Menger determinant:

where the subscripts i, j ∈ {1, 2, 3, 4} represent the vertices {a, b, c, d} and d_ij is the pairwise distance between them – i.e., the length of the edge connecting the two vertices. A negative value of the determinant means that a tetrahedron cannot be constructed with the given distances. This formula, sometimes called Tartaglia’s formula, is essentially due to the painter Piero della Francesca in the 15th century, as a three dimensional analogue of the 1st century Heron’s formula for the area of a triangle.^[16]

Let a, b, c be three edges that meet at a point, and x, y, z the opposite edges. Let V be the volume of the tetrahedron; then^[17]

where

The above formula uses six lengths of edges, and the following formula uses three lengths of edges and three angles.

Heron-type formula for the volume of a tetrahedron[edit]

If U, V, W, u, v, w are lengths of edges of the tetrahedron (first three form a triangle; with u opposite U, v opposite V, w opposite W), then^[18]

where

Volume divider[edit]

Any plane containing a bimedian (connector of opposite edges’ midpoints) of a tetrahedron bisects the volume of the tetrahedron.^[19]

Non-Euclidean volume[edit]

For tetrahedra in hyperbolic space or in three-dimensional elliptic geometry, the dihedral angles of the tetrahedron determine its shape and hence its volume. In these cases, the volume is given by the Murakami–Yano formula.^[20] However, in Euclidean space, scaling a tetrahedron changes its volume but not its dihedral angles, so no such formula can exist.

Distance between the edges[edit]

Any two opposite edges of a tetrahedron lie on two skew lines, and the distance between the edges is defined as the distance between the two skew lines. Let d be the distance between the skew lines formed by opposite edges a and b − c as calculated here. Then another volume formula is given by

Properties analogous to those of a triangle[edit]

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.^[21]

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices. If the tetrahedron’s altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face’s orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex.

A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the centroid of the opposite face is called a median and a line segment joining the midpoints of two opposite edges is called a bimedian of the tetrahedron. Hence there are four medians and three bimedians in a tetrahedron. These seven line segments are all concurrent at a point called the centroid of the tetrahedron.^[22] In addition the four medians are divided in a 3:1 ratio by the centroid (see Commandino’s theorem). The centroid of a tetrahedron is the midpoint between its Monge point and circumcenter. These points define the Euler line of the tetrahedron that is analogous to the Euler line of a triangle.

The nine-point circle of the general triangle has an analogue in the circumsphere of a tetrahedron’s medial tetrahedron. It is the twelve-point sphere and besides the centroids of the four faces of the reference tetrahedron, it passes through four substitute Euler points, one third of the way from the Monge point toward each of the four vertices. Finally it passes through the four base points of orthogonal lines dropped from each Euler point to the face not containing the vertex that generated the Euler point.^[23]

The center T of the twelve-point sphere also lies on the Euler line. Unlike its triangular counterpart, this center lies one third of the way from the Monge point M towards the circumcenter. Also, an orthogonal line through T to a chosen face is coplanar with two other orthogonal lines to the same face. The first is an orthogonal line passing through the corresponding Euler point to the chosen face. The second is an orthogonal line passing through the centroid of the chosen face. This orthogonal line through the twelve-point center lies midway between the Euler point orthogonal line and the centroidal orthogonal line. Furthermore, for any face, the twelve-point center lies at the midpoint of the corresponding Euler point and the orthocenter for that face.

The radius of the twelve-point sphere is one third of the circumradius of the reference tetrahedron.

There is a relation among the angles made by the faces of a general tetrahedron given by^[24]

where α_ij is the angle between the faces i and j.

The geometric median of the vertex position coordinates of a tetrahedron and its isogonic center are associated, under circumstances analogous to those observed for a triangle. Lorenz Lindelöf found that, corresponding to any given tetrahedron is a point now known as an isogonic center, O, at which the solid angles subtended by the faces are equal, having a common value of π sr, and at which the angles subtended by opposite edges are equal.^[25] A solid angle of π sr is one quarter of that subtended by all of space. When all the solid angles at the vertices of a tetrahedron are smaller than π sr, O lies inside the tetrahedron, and because the sum of distances from O to the vertices is a minimum, O coincides with the geometric median, M, of the vertices. In the event that the solid angle at one of the vertices, v, measures exactly π sr, then O and M coincide with v. If however, a tetrahedron has a vertex, v, with solid angle greater than π sr, M still corresponds to v, but O lies outside the tetrahedron.

Geometric relations[edit]

A tetrahedron is a 3-simplex. Unlike the case of the other Platonic solids, all the vertices of a regular tetrahedron are equidistant from each other (they are the only possible arrangement of four equidistant points in 3-dimensional space).

A tetrahedron is a triangular pyramid, and the regular tetrahedron is self-dual.

A regular tetrahedron can be embedded inside a cube in two ways such that each vertex is a vertex of the cube, and each edge is a diagonal of one of the cube’s faces. For one such embedding, the Cartesian coordinates of the vertices are

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

This yields a tetrahedron with edge-length 2√2, centered at the origin. For the other tetrahedron (which is dual to the first), reverse all the signs. These two tetrahedra’s vertices combined are the vertices of a cube, demonstrating that the regular tetrahedron is the 3-demicube.

The volume of this tetrahedron is one-third the volume of the cube. Combining both tetrahedra gives a regular polyhedral compound called the compound of two tetrahedra or stella octangula.

The interior of the stella octangula is an octahedron, and correspondingly, a regular octahedron is the result of cutting off, from a regular tetrahedron, four regular tetrahedra of half the linear size (i.e., rectifying the tetrahedron).

The above embedding divides the cube into five tetrahedra, one of which is regular. In fact, five is the minimum number of tetrahedra required to compose a cube. To see this, starting from a base tetrahedron with 4 vertices, each added tetrahedra adds at most 1 new vertex, so at least 4 more must be added to make a cube, which has 8 vertices.

Inscribing tetrahedra inside the regular compound of five cubes gives two more regular compounds, containing five and ten tetrahedra.

Regular tetrahedra cannot tessellate space by themselves, although this result seems likely enough that Aristotle claimed it was possible. However, two regular tetrahedra can be combined with an octahedron, giving a rhombohedron that can tile space as the tetrahedral-octahedral honeycomb.

However, several irregular tetrahedra are known, of which copies can tile space, for instance the characteristic orthoscheme of the cube and the disphenoid of the disphenoid tetrahedral honeycomb. The complete list remains an open problem.^[26]

If one relaxes the requirement that the tetrahedra be all the same shape, one can tile space using only tetrahedra in many different ways. For example, one can divide an octahedron into four identical tetrahedra and combine them again with two regular ones. (As a side-note: these two kinds of tetrahedron have the same volume.)

The tetrahedron is unique among the uniform polyhedra in possessing no parallel faces.

A law of sines for tetrahedra and the space of all shapes of tetrahedra[edit]

A corollary of the usual law of sines is that in a tetrahedron with vertices O, A, B, C, we have

One may view the two sides of this identity as corresponding to clockwise and counterclockwise orientations of the surface.

Putting any of the four vertices in the role of O yields four such identities, but at most three of them are independent: If the «clockwise» sides of three of them are multiplied and the product is inferred to be equal to the product of the «counterclockwise» sides of the same three identities, and then common factors are cancelled from both sides, the result is the fourth identity.

Three angles are the angles of some triangle if and only if their sum is 180° (π radians). What condition on 12 angles is necessary and sufficient for them to be the 12 angles of some tetrahedron? Clearly the sum of the angles of any side of the tetrahedron must be 180°. Since there are four such triangles, there are four such constraints on sums of angles, and the number of degrees of freedom is thereby reduced from 12 to 8. The four relations given by this sine law further reduce the number of degrees of freedom, from 8 down to not 4 but 5, since the fourth constraint is not independent of the first three. Thus the space of all shapes of tetrahedra is 5-dimensional.^[27]

Law of cosines for tetrahedra[edit]

Let {P₁ ,P₂, P₃, P₄} be the points of a tetrahedron. Let Δ_i be the area of the face opposite vertex P_i and let θ_ij be the dihedral angle between the two faces of the tetrahedron adjacent to the edge P_iP_j.

The law of cosines for this tetrahedron,^[28] which relates the areas of the faces of the tetrahedron to the dihedral angles about a vertex, is given by the following relation:

Interior point[edit]

Let P be any interior point of a tetrahedron of volume V for which the vertices are A, B, C, and D, and for which the areas of the opposite faces are F_a, F_b, F_c, and F_d. Then^{[29]: p.62, #1609}

For vertices A, B, C, and D, interior point P, and feet J, K, L, and M of the perpendiculars from P to the faces, and suppose the faces have equal areas, then^{[29]: p.226, #215}

Inradius[edit]

Denoting the inradius of a tetrahedron as r and the inradii of its triangular faces as r_i for i = 1, 2, 3, 4, we have^{[29]: p.81, #1990}

with equality if and only if the tetrahedron is regular.

If A₁, A₂, A₃ and A₄ denote the area of each faces, the value of r is given by

.

This formula is obtained from dividing the tetrahedron into four tetrahedra whose points are the three points of one of the original faces and the incenter. Since the four subtetrahedra fill the volume, we have .

Circumradius[edit]

Denote the circumradius of a tetrahedron as R. Let a, b, c be the lengths of the three edges that meet at a vertex, and A, B, C the length of the opposite edges. Let V be the volume of the tetrahedron. Then^[30][31]

Circumcenter[edit]

The circumcenter of a tetrahedron can be found as intersection of three bisector planes. A bisector plane is defined as the plane centered on, and orthogonal to an edge of the tetrahedron.
With this definition, the circumcenter C of a tetrahedron with vertices x₀,x₁,x₂,x₃ can be formulated as matrix-vector product:^[32]

In contrast to the centroid, the circumcenter may not always lay on the inside of a tetrahedron.
Analogously to an obtuse triangle, the circumcenter is outside of the object for an obtuse tetrahedron.

Centroid[edit]

The tetrahedron’s center of mass computes as the arithmetic mean of its four vertices, see Centroid.

Faces[edit]

The sum of the areas of any three faces is greater than the area of the fourth face.^{[29]: p.225, #159}

Integer tetrahedra[edit]

There exist tetrahedra having integer-valued edge lengths, face areas and volume. These are called Heronian tetrahedra. One example has one edge of 896, the opposite edge of 990 and the other four edges of 1073; two faces are isosceles triangles with areas of 436800 and the other two are isosceles with areas of 47120, while the volume is 124185600.^[33]

A tetrahedron can have integer volume and consecutive integers as edges, an example being the one with edges 6, 7, 8, 9, 10, and 11 and volume 48.^[34]

Related polyhedra and compounds[edit]

A regular tetrahedron can be seen as a triangular pyramid.

Regular pyramids
Digonal	Triangular	Square	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octagonal	Enneagonal	Decagonal…
Improper	Regular	Equilateral	Isosceles

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform digonal antiprism, where base polygons are reduced digons.

Antiprism name	Digonal antiprism	(Trigonal) Triangular antiprism	(Tetragonal) Square antiprism	Pentagonal antiprism	Hexagonal antiprism	Heptagonal antiprism	Octagonal antiprism	Enneagonal antiprism	Decagonal antiprism	Hendecagonal antiprism	Dodecagonal antiprism	…	Apeirogonal antiprism
Polyhedron image												…
Spherical tiling image												Plane tiling image
Vertex config.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	…	∞.3.3.3

A regular tetrahedron can be seen as a degenerate polyhedron, a uniform dual digonal trapezohedron, containing 6 vertices, in two sets of colinear edges.

Trapezohedron name	Digonal trapezohedron (Tetrahedron)	Trigonal trapezohedron	Tetragonal trapezohedron	Pentagonal trapezohedron	Hexagonal trapezohedron	Heptagonal trapezohedron	Octagonal trapezohedron	Decagonal trapezohedron	Dodecagonal trapezohedron	…	Apeirogonal trapezohedron
Polyhedron image										…
Spherical tiling image										Plane tiling image
Face configuration	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	…	V∞.3.3.3

A truncation process applied to the tetrahedron produces a series of uniform polyhedra. Truncating edges down to points produces the octahedron as a rectified tetrahedron. The process completes as a birectification, reducing the original faces down to points, and producing the self-dual tetrahedron once again.

Family of uniform tetrahedral polyhedra
Symmetry: [3,3], (*332)	[3,3]+, (332)
{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duals to uniform polyhedra
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols {3,n}, continuing into the hyperbolic plane.

*n32 symmetry mutation of regular tilings: {3,n} v t e
Spherical	Euclid.	Compact hyper.	Paraco.	Noncompact hyperbolic
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

The tetrahedron is topologically related to a series of regular polyhedra and tilings with order-3 vertex figures.

*n32 symmetry mutation of regular tilings: {n,3} v t e
Spherical	Euclidean	Compact hyperb.	Paraco.	Noncompact hyperbolic
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

• Compounds of tetrahedra

• 

• 

• 

An interesting polyhedron can be constructed from five intersecting tetrahedra. This compound of five tetrahedra has been known for hundreds of years. It comes up regularly in the world of origami. Joining the twenty vertices would form a regular dodecahedron. There are both left-handed and right-handed forms, which are mirror images of each other. Superimposing both forms gives a compound of ten tetrahedra, in which the ten tetrahedra are arranged as five pairs of stellae octangulae. A stella octangula is a compound of two tetrahedra in dual position and its eight vertices define a cube as their convex hull.

The square hosohedron is another polyhedron with four faces, but it does not have triangular faces.

The Szilassi polyhedron and the tetrahedron are the only two known polyhedra in which each face shares an edge with each other face. Furthermore, the Császár polyhedron (itself is the dual of Szilassi polyhedron) and the tetrahedron are the only two known polyhedra in which every diagonal lies on the sides.

Applications[edit]

Numerical analysis[edit]

In numerical analysis, complicated three-dimensional shapes are commonly broken down into, or approximated by, a polygonal mesh of irregular tetrahedra in the process of setting up the equations for finite element analysis especially in the numerical solution of partial differential equations. These methods have wide applications in practical applications in computational fluid dynamics, aerodynamics, electromagnetic fields, civil engineering, chemical engineering, naval architecture and engineering, and related fields.

Structural engineering[edit]

A tetrahedron having stiff edges is inherently rigid. For this reason it is often used to stiffen frame structures such as spaceframes.

Aviation[edit]

At some airfields, a large frame in the shape of a tetrahedron with two sides covered with a thin material is mounted on a rotating pivot and always points into the wind. It is built big enough to be seen from the air and is sometimes illuminated. Its purpose is to serve as a reference to pilots indicating wind direction.^[35]

Chemistry[edit]

The tetrahedron shape is seen in nature in covalently bonded molecules. All sp³-hybridized atoms are surrounded by atoms (or lone electron pairs) at the four corners of a tetrahedron. For instance in a methane molecule (CH
₄) or an ammonium ion (NH⁺
₄), four hydrogen atoms surround a central carbon or nitrogen atom with tetrahedral symmetry. For this reason, one of the leading journals in organic chemistry is called Tetrahedron. The central angle between any two vertices of a perfect tetrahedron is arccos(−1/3), or approximately 109.47°.^[5]

Water, H
₂O, also has a tetrahedral structure, with two hydrogen atoms and two lone pairs of electrons around the central oxygen atoms. Its tetrahedral symmetry is not perfect, however, because the lone pairs repel more than the single O–H bonds.

Quaternary phase diagrams of mixtures of chemical substances are represented graphically as tetrahedra.

However, quaternary phase diagrams in communication engineering are represented graphically on a two-dimensional plane.

Electricity and electronics[edit]

If six equal resistors are soldered together to form a tetrahedron, then the resistance measured between any two vertices is half that of one resistor.^[36][37]

Since silicon is the most common semiconductor used in solid-state electronics, and silicon has a valence of four, the tetrahedral shape of the four chemical bonds in silicon is a strong influence on how crystals of silicon form and what shapes they assume.

Color space[edit]

Tetrahedra are used in color space conversion algorithms specifically for cases in which the luminance axis diagonally segments the color space (e.g. RGB, CMY).^[38]

Games[edit]

The Royal Game of Ur, dating from 2600 BC, was played with a set of tetrahedral dice.

Especially in roleplaying, this solid is known as a 4-sided die, one of the more common polyhedral dice, with the number rolled appearing around the bottom or on the top vertex. Some Rubik’s Cube-like puzzles are tetrahedral, such as the Pyraminx and Pyramorphix.

Geology[edit]

The tetrahedral hypothesis, originally published by William Lowthian Green to explain the formation of the Earth,^[39] was popular through the early 20th century.^[40][41]

Popular culture[edit]

Stanley Kubrick originally intended the monolith in 2001: A Space Odyssey to be a tetrahedron, according to Marvin Minsky, a cognitive scientist and expert on artificial intelligence who advised Kubrick on the HAL 9000 computer and other aspects of the movie. Kubrick scrapped the idea of using the tetrahedron as a visitor who saw footage of it did not recognize what it was and he did not want anything in the movie regular people did not understand.^[42]

Tetrahedral graph[edit]

Tetrahedral graph
Vertices	4
Edges	6
Radius	1
Diameter	1
Girth	3
Automorphisms	24
Chromatic number	4
Properties	Hamiltonian, regular, symmetric, distance-regular, distance-transitive, 3-vertex-connected, planar graph
Table of graphs and parameters

The skeleton of the tetrahedron (comprising the vertices and edges) forms a graph, with 4 vertices, and 6 edges. It is a special case of the complete graph, K₄, and wheel graph, W₄.^[43] It is one of 5 Platonic graphs, each a skeleton of its Platonic solid.

3-fold symmetry

See also[edit]

• Boerdijk–Coxeter helix
• Möbius configuration
• Caltrop
• Demihypercube and simplex – n-dimensional analogues
• Pentachoron – 4-dimensional analogue
• Synergetics (Fuller)
• Tetrahedral kite
• Tetrahedral number
• Tetrahedron packing
• Triangular dipyramid – constructed by joining two tetrahedra along one face
• Trirectangular tetrahedron
• Orthoscheme

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

• Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (The Harmony of the World). Johann Planck.
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover.

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Tetrahedron». MathWorld.
• Free paper models of a tetrahedron and many other polyhedra
• An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron that also includes a description of a «rotating ring of tetrahedra», also known as a kaleidocycle.

Многогранник с 4 гранями

Правильный тетраэдр
. (Нажмите здесь, чтобы вращаться модель)
Тип	Платоновое тело
Элементы	F = 4, E = 6. V = 4 (χ = 2)
Грани по сторонам	4 {3}
Обозначение Конвея	T
Шлефли символы	{3,3}
h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2}
Конфигурация лица	V3.3.3
символ Wythoff	3 | 2 3. | 2 2 2
Диаграмма Кокстера	= . .
Симметрия	Td, A 3, [3,3], (* 332)
Группа вращения	T, [3,3], (332)
Ссылки	U 01, C 15, W 1
Свойства	правильный, выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	70,528779 ° = arccos (⁄ 3)
. 3.3. 3. (Вершинная фигура )	. Самодвойственный. (двойной многогранник )
. Сеть

Тетраэдр (Matemateca IME-USP )3D-модель правильного тетраэдра.

В геометрия, тетраэдр (во множественном числе: тетраэдры или тетраэдры ), также известная как треугольная пирамида, представляет собой многогранник, состоящий из четырех треугольных граней, шести прямых ребер и четырех вершинных углов. Тетраэдр является самым простым из всех обычных выпуклых многогранников и единственным, у которого меньше пяти граней.

Тетраэдр — это трехмерный случай более общей концепции евклидова симплекса, и, таким образом, также может быть называется 3-симплексом .

Тетраэдр — это один из видов пирамиды, который представляет собой многогранник с плоским основанием многоугольника и треугольными гранями, соединяющими основание с общей точкой. В случае тетраэдра основанием является треугольник (любая из четырех граней может считаться основанием), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида».

Как и все выпуклые многогранники, тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. У него две такие сети.

Для любого тетраэдра существует сфера (называемая описанной сферой ), на которой лежат все четыре вершины, и другая сфера (Insphere ) касательная к граням тетраэдра.

Содержание

• 1 Правильный тетраэдр
  • 1.1 Координаты правильного тетраэдра
  • 1.2 Углы и расстояния
  • 1.3 Изометрии правильного тетраэдра
  • 1.4 Ортогональные проекции правильного тетраэдра
  • 1.5 Поперечное сечение правильного тетраэдра
  • 1.6 Сферическая мозаика
  • 1.7 Спиральная укладка
• 2 Другие частные случаи
  • 2.1 Изометрии неправильных тетраэдров
• 3 Общие свойства
  • 3.1 Объем
    • 3.1.1 Формула типа Герона для объема тетраэдра
    • 3.1.2 Разделитель объема
    • 3.1.3 Неевклидов объем
  • 3.2 Расстояние между краями
  • 3.3 Свойства аналогично треугольнику
  • 3.4 Геометрические соотношения
  • 3.5 Закон синусов для тетраэдров и пространства всех форм тетраэдров
  • 3.6 Закон синусов косинусы тетраэдров
  • 3.7 Внутренняя точка
  • 3.8 Inradius
  • 3.9 Circumradius
  • 3.10 Circumcenter
  • 3.11 Centroid
  • 3.12 Faces
• 4 Целочисленные тетраэдры
• 5 Родственные многогранники и соединения
• 6 Приложения
  • 6.1 Численный анализ
  • 6.2 Химия
  • 6.3 Электричество и электроника
  • 6.4 Игры
  • 6.5 Цветовое пространство
  • 6.6 Современное искусство
  • 6.7 Популярная культура
  • 6.8 Геология
  • 6.9 Структурная инженерия
  • 6.10 Авиация
• 7 Тетраэдрический граф
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Правильный тетраэдр

A Правильный тетраэдр является тетраэдром в все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Это одно из пяти правильных Платоновых тел, известных с древних времен.

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.

Пять тетраэдров уложены на плоскости, причем самые высокие трехмерные точки отмечены цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Затем эти точки соединяются друг с другом и тонкий объем пустого пространства Остается, где пять углов ребер не полностью пересекаются.

Обычные тетраэдры сами по себе не тесселяция (заполнение пространства), но если они чередуются с правильными октаэдрами в При соотношении двух тетраэдров к одному октаэдру они образуют чередующиеся кубические соты , которые представляют собой мозаику. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла, могут быть мозаичными.

Правильный тетраэдр самодвойственен, что означает, что его двойственный является другим правильным тетраэдром. Составная фигура , содержащая два таких двойных тетраэдра, образует звездчатый октаэдр или октангулу стелла.

Координаты правильного тетраэдра

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

(± 1, 0, — 1 2) и (0, ± 1, 1 2) { displaystyle left ( pm 1,0, — { frac {1} { sqrt {2}}} right) quad { mbox {and}} quad left (0, pm 1, { frac {1} { sqrt {2}}} right)}

Выражается симметрично как 4 точки на единичной сфере, центр тяжести в начале координат, с уровнем нижней грани, вершины:

v 1 = (8 9, 0, — 1 3) { displaystyle v_ {1} = left ({ sqrt { frac {8} {9}}}, 0, — { frac {1} {3}} right)}

v 2 = (- 2 9, 2 3, — 1 3) { displaystyle v_ {2 } = left (- { sqrt { frac {2} {9}}}, { sqrt { frac {2} {3}}}, — { frac {1} {3}} right) }

v 3 = (- 2 9, — 2 3, — 1 3) { displaystyle v_ {3} = left (- { sqrt { frac {2} {9}}}, — { sqrt { frac {2} {3}}}, — { frac {1} {3}} right)}

v 4 = (0, 0, 1) { displaystyle v_ {4} = ( 0,0,1)}

с длиной кромки 8 3 { displaysty le { sqrt { frac {8} {3}}}}.

Еще один набор координат основан на альтернативном кубе или демикубе с длиной ребра 2. Эта форма имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли h {4,3}. Тетраэдр в этом случае имеет длину ребра 2√2. Инвертирование этих координат генерирует двойственный тетраэдр, а пара вместе образует звездчатый октаэдр, вершины которого совпадают с вершинами исходного куба.

Тетраэдр: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)

Двойной тетраэдр : (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Правильный тетраэдр ABCD и его описанная сфера

Углы и расстояния

Для правильного тетраэдра с длиной ребра a:

Площадь грани	A 0 = 3 4 a 2 { displaystyle A_ {0} = { frac { sqrt {3 }} {4}} a ^ {2} ,}
Площадь поверхности	A = 4 A 0 = 3 a 2 { displaystyle A = 4 , A_ {0} = { sqrt {3} } a ^ {2} ,}
Высота пирамиды	h = 6 3 a = 2 3 a { displaystyle h = { frac { sqrt {6}} {3}} a = { sqrt { frac {2} {3}}} , a ,}
Расстояние от центра тяжести до вершины	3 4 h = 6 4 a = 3 8 a { displaystyle { frac {3} {4 }} , h = { frac { sqrt {6}} {4}} , a = { sqrt { frac {3} {8}}} , a ,}
От края до противоположного расстояние до края	l = 1 2 a { displaystyle l = { frac {1} { sqrt {2}}} , a ,}
Объем	V = 1 3 A 0 h = 2 12 a 3 = a 3 6 2 { displaystyle V = { frac {1} {3}} A_ {0} h = { frac { sqrt {2}} {12}} a ^ {3} = { frac {a ^ {3}} {6 { sqrt {2}}}} ,}
угол грань-вершина-кромка	дуга соз ⁡ (1 3) знак равно arctan ⁡ (2) { displaystyle arccos left ({ frac {1} { sqrt {3}}} right) = arctan left ({ sqrt {2}} right) ,}. (прибл. 54,7356 °)
угол грань-кромка-грань, т. Е. «Двугранный угол»	arccos ⁡ (1 3) = arctan ⁡ (2 2) { displaystyle arccos left ({ frac { 1} {3}} right) = arctan left (2 { sqrt {2}} right) ,}. (приблизительно 70,5288 °)
Угол вершины-центра-вершины, угол между прямыми от центра тетраэдра до любых двух вершин. Это также угол между границами плато в вершине. В химии это называется тетраэдрическим валентным углом. Этот угол (в радианах) также является длиной дуги геодезического сегмента на единичной сфере, полученной в результате центрального проецирования одного края тетраэдра на сферу.	arccos ⁡ (- 1 3) = 2 arctan ⁡ (2) { displaystyle arccos left (- { frac {1} {3}} right) = 2 arctan left ({ sqrt { 2}} right) ,}. (приблизительно 109,4712 °)
Телесный угол в вершине, образуемой гранью	arccos ⁡ (23 27) { displaystyle arccos left ( { frac {23} {27}} right)}. (примерно 0,55129 стерадиан ). (примерно 1809,8 квадратных градусов )
Радиус описанной сферы	R = 6 4 a = 3 8 a { displaystyle R = { frac { sqrt {6}} {4}} a = { sqrt { frac {3} {8}}} , a ,}
Радиус Insphere, касательный к граням	r = 1 3 R = a 24 { displaystyle r = { frac {1} {3}} R = { frac {a} { sqrt {24}}} ,}
Радиус средней сферы, касающийся ребер	r M = r R = a 8 { displaystyle r _ { mathrm {M}} = { sqrt {rR}} = { frac {a} { sqrt {8}}} ,}
Радиус экзосферы	r E = 6 { displaystyle r _ { mathrm {E}} = { frac {a} { sqrt {6}}} ,}
Расстояние до центра экзосферы от противоположной вершины	d VE = 6 2 a = 3 2 a { displaysty le d _ { mathrm {VE}} = { frac { sqrt {6}} {2}} a = { sqrt { frac {3} {2}}} a ,}

В отношении на базовой плоскости наклон грани (2√2) в два раза больше, чем у кромки (√2), что соответствует тому факту, что расстояние по горизонтали от основания до вершины по краю вдвое больше, чем по медиане грани. Другими словами, если C является центроидом основания, расстояние от C до вершины основания в два раза больше, чем от C до середины края основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых в два раза длиннее другого (см. доказательство ).

Для правильного тетраэдра с длиной стороны a, радиусом R описывающей его сферы и расстояниями d i от произвольной точки в 3-пространстве до его четырех вершин мы имеем

д 1 4 + д 2 4 + д 3 4 + д 4 4 4 + 16 р 4 9 = (д 1 2 + д 2 2 + д 3 2 + д 4 2 4 + 2 р 2 3) 2; 4 (а 4 + d 1 4 + d 2 4 + d 3 4 + d 4 4) = (а 2 + d 1 2 + d 2 2 + d 3 2 + d 4 2) 2. { displaystyle { begin {align} { frac {d_ {1} ^ {4} + d_ {2} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {4} ^ {4}} { 4}} + { frac {16R ^ {4}} {9}} = left ({ frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {4} ^ {2}} {4}} + { frac {2R ^ {2}} {3}} right) ^ {2}; \ 4 left (a ^ {4 } + d_ {1} ^ {4} + d_ {2} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {4} ^ {4} right) = left (a ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {4} ^ {2} right) ^ {2}. end {align}} }

Изометрии правильного тетраэдра

Собственные вращения (поворот третьего порядка на вершине и грани и второй порядок на двух ребрах) и плоскость отражения (через две грани и одно ребро) в группе симметрии правильного тетраэдра

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. выше, а также анимацию, показывающую одну из два тетраэдра в кубе). Симметрии правильного тетраэдра соответствуют половине симметрий куба: симметрии, которые отображают тетраэдры сами по себе, а не друг в друга.

Тетраэдр — единственное платоново твердое тело, которое не отображается на себя с помощью точечной инверсии.

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, формируя группу симметрии Td, [3,3 ], (* 332), изоморфна симметрической группе, S 4. Их можно разделить на следующие категории:

• T, [3,3], (332) изоморфна переменной группе, A 4 (тождество и 11 собственных вращений) с следующие классы сопряженности (в скобках даны перестановки вершин или, соответственно, граней и представление единичного кватерниона ):
  • identity (identity; 1)
  • поворот вокруг оси через вершину, перпендикулярную противоположной плоскости, на угол ± 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д.; 1 ± i ± j ± k / 2)
  • поворот на угол 180 °, так что край отображается на противоположный край: 3 ((1 2) (3 4) и т.д.; i, j, k)
• отражения в плоскости, перпендикулярной краю: 6
• отражений в плоскости в сочетании с поворотом на 90 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6; эквивалентно, это повороты на 90 ° в сочетании с инверсией (x отображается в — x ): вращения соответствуют поворотам куба относительно осей лицом к лицу

Ортогонально проекции правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции, одна с центром на вершине или, что эквивалентно, на грани, и одна с центром на ребре. Первый соответствует плоскости Кокстера A 2.

Центрированная по	Грань / вершина	Край
Изображение
Проективная. симметрия	[3]	[4]

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Центральное поперечное сечение правильного тетраэдра представляет собой квадрат.

Два скошенных перпендикуляра противоположно ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, результирующее поперечное сечение представляет собой прямоугольник . Когда пересекающаяся плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение представляет собой квадрат. Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогично. Если тетраэдр делится пополам на этой плоскости, обе половины становятся клиньями.

тетрагональным дифеноидом, если смотреть перпендикулярно двум зеленым краям.

Это свойство также применяется для тетрагональных дифеноидов при применении к две специальные пары кромок.

Сферическая мозаика

Тетраэдр также может быть представлен как сферическая мозаика и спроецирован на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция конформна, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проектируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Спиральное наложение

Одиночное кольцо из 30 тетраэдров Спираль Бурдейка – Кокстера внутри 600-ячеек, в стереографической проекции

Правильные тетраэдры могут быть уложены лицом к лицу в хиральную апериодическую цепочку, называемую спиралью Бурдейка – Кокстера. В четырехмерном все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками (5-ячеечная, 16-ячеечная и 600-ячейка ) могут быть построены как мозаики 3-сферы этими цепочками, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве граничной поверхности 4-многогранника.

Другие особые случаи

равнобедренный тетраэдр, также называемый дисфеноидом, представляет собой тетраэдр, где все четыре грани — это конгруэнтные треугольники. заполняющий пространство тетраэдр упакован с конгруэнтными копиями самого себя в пространство тайла, как тетраэдрические соты дифеноида.

В треугольном тетраэдре три угла в одной вершине равны прямые углы. Если все три пары противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны, то он называется ортоцентрическим тетраэдром. Когда перпендикулярна только одна пара противоположных ребер, это называется полуортоцентрическим тетраэдром . изодинамический тетраэдр — это тетраэдр, в котором чевианы, которые соединяют вершины с центрами противоположных граней, параллельны, а изогонический тетраэдр имеет параллельные чевианы, которые соединяют вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра.

Изометрии неправильных тетраэдров

Изометрии неправильных (немаркированных) тетраэдров зависят от геометрии тетраэдра, возможны 7 случаев. В каждом случае формируется 3-мерная точечная группа. Две другие изометрии (C 3, [3]) и (S 4, [2,4]) могут существовать, если включена маркировка граней или кромок. Для каждого типа ниже включены четырехгранные диаграммы с краями, окрашенными в соответствии с изометрической эквивалентностью, и серым цветом для уникальных краев.

Название тетраэдра	Край. эквивалентность. диаграмма	Описание
Симметрия
Шён.	Кокс.	Орб.	Порядок.
Правильный тетраэдр		Четыре равносторонних треугольника Он образует группу симметрии T d, изоморфную симметрической группе, S 4. Правильный тетраэдр имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли {3,3}.
Td. T	[3,3 ]. [3,3 impression	* 332. 332	24. 12
Треугольная пирамида		Основание равностороннего треугольника и три равные стороны равнобедренного треугольника Это дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. Как перестановки вершин, эти 6 изометрий являются тождеством 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образуя группу симметрии C 3v, изоморфную симметричная группа, S 3. Треугольная пирамида имеет символ Шлефли {3} ∨ ().
C3v. C3	[3 ]. [3pting	* 33. 33	6. 3
Зеркальный клиновидный сустав		Два равных разностороннего треугольника с общим краем основания Имеет две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4) и в противном случае нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и отражение (34), дающее группу C s, также изоморфную циклической группе, Z2.
Cs. =C1h. =C1v	[]	*	2
Неправильный тетраэдр. (Нет симметрии)		Четыре неравных треугольника Его единственная изометрия — это тождество, а группа симметрии — тривиальная группа. Неправильный тетраэдр имеет символ Шлефли () ∨ () ∨ () ∨ ().
C1	[]	1	1
Дисфеноиды (Четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид		Четыре равных равнобедренныхтреугольников Он имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют длину, отличную от длины остальных 4, то 8 изометрий являются тождественными 1, отражениями (12) и (34) и поворотами на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) и неправильные повороты на 90 ° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D 2d. Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли s {2,4}.
D2d. S4	[2,4 ]. [2,4 ]	2 * 2. 2×	8. 4
Ромбический дисфеноид		Четыре равных скалентреугольника It имеет 4 изометрии. Изометрии равны 1 и повороты на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Это четырехгруппа Клейна V4или Z2, представленная как точечная группа D 2. Ромбический дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли sr {2,2}.
D2	[2,2 ]	222	4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид	.	Две пары равных равнобедренных треугольников Это дает две противоположные кромки (1,2) и (3,4), которые перпендикулярны, но разной длины, а затем 4 изометрии равны 1, отражениям (12) и (34) и повороту на 180 ° (12) (34).. Группа симметрии — это C 2v, изоморфная четырехгруппе Клейна V4. Дигональный дисфеноид имеет символ Шлефли {} ∨ {}.
C2v. C2	[2 ]. [2 ]	* 22. 22	4. 2
Филлический дисфеноид	.	Две пары равных разносторонних или равнобедренных треугольников Он имеет две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и вращение (12) (34), что дает группу C 2, изоморфную циклической группе, Z2.
C2	[2]	22	2

Общие свойства

Объем

Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:

V = 1 3 A 0 h { displaystyle V = { frac {1} {3}} A_ {0 } , h ,}

где A 0 — это площадь основания, а h — высота от основания до вершины. Это применимо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней.

Для тетраэдра с вершинами a = (a 1, a 2, a 3), b = (b 1, b 2, b 3), c = (c 1, c 2, c 3) и d = (d 1, d 2, d 3), объем равен 1/6 | det (a− d, b− d, c− d) |, или любая другая комбинация пар вершин, образующих односвязный граф . Это можно переписать, используя скалярное произведение и кросс-произведение, что дает

V = | (a — d) ⋅ ((b — d) × (c — d)) | 6. { Displaystyle В = { гидроразрыва {| ( mathbf {a} — mathbf {d}) cdot (( mathbf {b} — mathbf {d}) раз ( mathbf {c} — mathbf {d})) |} {6}}.}

Если начало системы координат выбрано таким, чтобы оно совпадало с вершиной d, то d = 0, поэтому

V = | a ⋅ (b × c) | 6, { displaystyle V = { frac {| mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) |} {6}},}

где a, b, и c представляют три ребра, которые встречаются в одной вершине, а a · (b× c) представляет собой тройное скалярное произведение. Сравнивая эту формулу с формулой, использованной для вычисления объема параллелепипеда , мы заключаем, что объем тетраэдра равен 1/6 объема любого параллелепипеда, который имеет три сходящихся с ним ребра.

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

6 ⋅ V = ‖ abc ‖ { displaystyle 6 cdot V = { begin {Vmatrix} mathbf {a} mathbf {b} mathbf {c} end {Vmatrix}}}или 6 ⋅ V = ‖ abc ‖ { displaystyle 6 cdot V = { begin {Vmatrix} mathbf {a} \ mathbf {b} \ mathbf {c} end {Vmatrix}}}где a = (a 1, a 2, a 3) { displaystyle mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ,}выражается как вектор строки или столбца и т. Д.

Следовательно

36 ⋅ V 2 = | a 2 a ⋅ b a ⋅ c a ⋅ b b 2 b ⋅ c a ⋅ c b ⋅ c c 2 | { Displaystyle 36 cdot V ^ {2} = { begin {vmatrix} mathbf {a ^ {2}} mathbf {a} cdot mathbf {b} mathbf {a} cdot mathbf {c} \ mathbf {a} cdot mathbf {b} mathbf {b ^ {2}} mathbf {b} cdot mathbf {c} \ mathbf {a} cdot mathbf {c} mathbf {b} cdot mathbf {c} mathbf {c ^ {2}} end {vmatrix}}}где a ⋅ b = ab cos ⁡ γ { displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = ab cos { gamma}}и т. Д.

, что дает

V = abc 6 1 + 2 cos ⁡ α соз ⁡ β соз ⁡ γ — соз 2 ⁡ α — соз 2 ⁡ β — соз 2 ⁡ γ, { displaystyle V = { frac {abc} {6}} { sqrt {1 + 2 cos { alpha} cos { beta} cos { gamma} — cos ^ {2} { alpha} — cos ^ {2} { beta} — cos ^ {2} { gamma}}}, ,}

где α, β, γ — плоские углы, входящие в вершину d . Угол α — это угол между двумя ребрами, соединяющими вершину d с вершинами b и c . Угол β имеет значение для вершин a и c, тогда как γ определяется положением вершин a и b.

Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра объем может быть вычислен с помощью определителя Кэли – Менгера :

288 ⋅ V 2 = | 0 1 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 1 d 12 2 0 d 23 2 d 24 2 1 d 13 2 d 23 2 0 d 34 2 1 d 14 2 d 24 2 d 34 2 0 | { displaystyle 288 cdot V ^ {2} = { begin {vmatrix} 0 1 1 1 1 \ 1 0 d_ {12} ^ {2} d_ {13} ^ {2} d_ {14} ^ {2} \ 1 d_ {12 } ^ {2} 0 d_ {23} ^ {2} d_ {24} ^ {2} \ 1 d_ {13} ^ {2} d_ {23} ^ {2} 0 d_ {34} ^ {2} \ 1 d_ {14} ^ {2} d_ {24} ^ {2} d_ {34} ^ {2} 0 end {vmatrix}}}

где нижние индексы i, j ∈ {1, 2, 3, 4} представляют вершины {a, b, c, d}, а d ij — попарное расстояние между ними, то есть длина ребра, соединяющего две вершины. Отрицательное значение определителя означает, что тетраэдр не может быть построен с заданными расстояниями. Эта формула, иногда называемая формулой Тартальи, по существу создана художником Пьеро делла Франческа в 15 веке как трехмерный аналог 1 века формула Герона для площади треугольника.

Обозначим a, b, c три ребра, которые пересекаются в точке, а x, y, z — противоположные стороны. Пусть V — объем тетраэдра; тогда

V = 4 a 2 b 2 c 2 — a 2 X 2 — b 2 Y 2 — c 2 Z 2 + XYZ 12 { displaystyle V = { frac { sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} -a ^ {2} X ^ {2} -b ^ {2} Y ^ {2} -c ^ {2} Z ^ {2} + XYZ}} {12}}}

где

X = b 2 + c 2 — x 2 { displaystyle X = b ^ {2} + c ^ {2} -x ^ {2}}

Y = a 2 + c 2 — y 2 { displaystyle Y = a ^ {2} + c ^ {2} -y ^ {2}}

Z = a 2 + b 2 — z 2 { displaystyle Z = a ^ {2} + b ^ {2} -z ^ {2}}

В приведенной выше формуле используются различные выражения со следующей формулой. В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.

V = abc 6 1 + 2 cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ — cos 2 ⁡ α — cos 2 ⁡ β — cos 2 ⁡ γ { displaystyle V = { frac {abc} {6}} { sqrt {1 + 2 cos { alpha} cos { beta} cos { gamma} — cos ^ {2} { alpha} — cos ^ {2} { beta} — cos ^ {2} { gamma}}}}

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если U, V, W, u, v, w — длины ребер тетраэдра (первый три образуют треугольник; u напротив U и так далее), тогда

volume = (- a + b + c + d) (a — b + c + d) (a + b — c + d) (a + b + c — d) 192 uvw { displaystyle { text {volume}} = { frac { sqrt {, (- a + b + c + d) , (a-b + c + d) , (a + b-c + d) , (a + b + cd)}} {192 , u , v , w}}}

где

a = x YZ b = y ZX c = z XY d = xyz X = (w — U + v) (U + v + w) x = (U — v + w) (v — w + U) Y = (u — V + w) ( V + w + u) y = (V — w + u) (w — u + V) Z = (v — W + u) (W + u + v) z = (W — u + v) (u — v + W). { displaystyle { begin {align} a = { sqrt {xYZ}} \ b = { sqrt {yZX}} \ c = { sqrt {zXY}} \ d = { sqrt {xyz} } \ X = (w-U + v) , (U + v + w) \ x = (U-v + w) , (v-w + U) \ Y = (u-V + w) , (V + w + u) \ y = (V-w + u) , (w-u + V) \ Z = (v-W + u) , (W + u + v) \ z = (W-u + v) , (u-v + W). end {align}}}

Разделитель объема

Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра , делит объем тетраэдра пополам.

Неевклидов объем

Для тетраэдров в гиперболическое пространство или в трехмерной эллиптической геометрии, двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях объем определяется по формуле Мураками – Яно. Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не его двугранные углы, поэтому такой формулы не может быть.

Расстояние между краями

Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух наклонных линиях, а расстояние между ребрами определяется как расстояние между двумя наклонными линиями. линий. Пусть d будет расстоянием между линиями наклона, образованными противоположными краями a и b− c, как вычислено здесь. Тогда другая формула объема задается как

V = d | (a × (b — c)) | 6. { displaystyle V = { frac {d | ( mathbf {a} times mathbf {(bc)}) |} {6}}.}

Свойства, аналогичные свойствам треугольника

Тетраэдр имеет много свойств, аналогичных свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и внешние сферы. Он имеет соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентрики, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересечения высот.

Гаспар Монж обнаружил центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как точка Монжа : точка, в которой находятся шесть срединных плоскостей. тетраэдра пересекаются. Срединная плоскость определяется как плоскость, ортогональная ребру, соединяющему любые две вершины, который также содержит центроид противоположного ребра, образованного путем соединения двух других вершин. Если высоты тетраэдра пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, давая класс ортоцентрического тетраэдра.

. Ортогональная линия, опущенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентр лица и основание высоты упало с противоположной вершины.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой тетраэдра.. Следовательно, в тетраэдре четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь отрезков параллельны в точке, называемой центроидом тетраэдра. Кроме того, четыре медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1 (см. теорему Коммандино ). Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична прямой Эйлера треугольника.

окружность из девяти точек общего треугольника имеет аналог в описанной сфере среднего тетраэдра тетраэдра. Это сфера с двенадцатью точками и, помимо центроидов четырех граней эталонного тетраэдра, она проходит через четыре замещающие точки Эйлера, по одной трети пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, он проходит через четыре базовые точки ортогональных прямых, опущенных от каждой точки Эйлера к грани, не содержащей вершину, которая породила точку Эйлера.

Центр T двенадцатиточечной сферы также лежит на прямой Эйлера. В отличие от своего треугольного аналога, этот центр находится на одной трети пути от точки Монжа M к центру описанной окружности. Кроме того, ортогональная линия, проходящая через точку T к выбранной грани, копланарна с двумя другими ортогональными линиями к той же грани. Первая — это ортогональная линия, проходящая через соответствующую точку Эйлера к выбранной грани. Вторая — это ортогональная линия, проходящая через центр тяжести выбранной грани. Эта ортогональная линия, проходящая через центр из двенадцати точек, находится на полпути между ортогональной линией точки Эйлера и центроидальной ортогональной линией. Кроме того, для любой грани центр из двенадцати точек лежит в средней точке соответствующей точки Эйлера и ортоцентре этой грани.

Радиус двенадцатиточечной сферы составляет одну треть радиуса описанной окружности контрольного тетраэдра.

Существует связь между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определяемая как

| — 1 cos ⁡ (α 12) cos ⁡ (α 13) cos ⁡ (α 14) cos ⁡ (α 12) — 1 cos ⁡ (α 23) cos ⁡ (α 24) cos ⁡ (α 13) cos ⁡ (α 23) — 1 cos ⁡ (α 34) cos ⁡ (α 14) cos ⁡ (α 24) cos ⁡ (α 34) — 1 | Знак равно 0 { displaystyle { begin {vmatrix} -1 cos {( alpha _ {12})} cos {( alpha _ {13})} cos {( alpha _ {14}) } \ cos {( alpha _ {12})} — 1 cos {( alpha _ {23})} cos {( alpha _ {24})} \ cos {( alpha _ {13})} cos {( alpha _ {23})} — 1 cos {( alpha _ {34})} \ cos {( alpha _ {14})} cos {( alpha _ {24})} cos {( alpha _ {34})} — 1 \ end {vmatrix}} = 0 ,}

где α ij — угол между гранями i и j.

геометрическая медиана координат положения вершины тетраэдра и его изогонический центр связаны при обстоятельствах, аналогичных тем, которые наблюдаются для треугольника. Лоренц Линделёф обнаружил, что любому данному тетраэдру соответствует точка, теперь известная как изогонический центр, O, в котором телесные углы, образуемые гранями, равны, имеют общее значение π sr, и при углы между противоположными краями равны. Телесный угол π sr составляет четверть угла, охватываемого всем пространством. Когда все телесные углы в вершинах тетраэдра меньше π sr, O лежит внутри тетраэдра, а поскольку сумма расстояний от O до вершин минимальна, O совпадает с геометрической медианой , M, вершин. В том случае, если телесный угол в одной из вершин, v, составляет ровно π sr, тогда O и M совпадают с v. Однако если у тетраэдра есть вершина v с телесным углом больше π sr, M по-прежнему соответствует к v, но O лежит вне тетраэдра.

Геометрические соотношения

Тетраэдр — это 3- симплекс. В отличие от других Платоновых тел, все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга (это единственно возможное расположение четырех равноудаленных точек в трехмерном пространстве).

Тетраэдр — это треугольная пирамида, а правильный тетраэдр — самодвойственный.

. Правильный тетраэдр может быть вложен внутрь куба пополам. таких способов, что каждая вершина является вершиной куба, а каждое ребро — диагональю одной из граней куба. Для одного такого вложения декартовы координаты для вершин равны

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

Это дает тетраэдр с длиной ребра 2√2 с центром в начале координат. Для другого тетраэдра (который двойственен первому) поменяйте все знаки местами. Эти две вершины тетраэдра вместе являются вершинами куба, демонстрируя, что правильный тетраэдр представляет собой 3- полукуб.

stella octangula.

Объем этого тетраэдра составляет одну треть объема куба куб. Объединение обоих тетраэдров дает правильное полиэдрическое соединение, называемое соединением двух тетраэдров или stella octangula.

Внутренняя часть stella octangula представляет собой октаэдр, и, соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т. е. выпрямления тетраэдра).

Приведенное выше вложение делит куб на пять тетраэдров, один из которых правильный. Фактически, пять — это минимальное количество тетраэдров, необходимое для создания куба. Чтобы убедиться в этом, начиная с базового тетраэдра с 4 вершинами, каждый добавленный тетраэдр добавляет не более 1 новой вершины, поэтому необходимо добавить еще как минимум 4, чтобы создать куб с 8 вершинами.

Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может занимать мозаичное пространство.

Однако известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут занимать мозаичное пространство, например, тетраэдрические соты дифеноида. Полный список остается открытой проблемой.

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры имели одинаковую форму, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространства всех форм тетраэдров

Следствием обычного закона синусов является то, что в тетраэдр с вершинами O, A, B, C, имеем

sin ⁡ ∠ O A B ⋅ sin ⁡ ∠ O B C ⋅ sin ⁡ ∠ O C A = sin ⁡ ∠ O A C ⋅ sin ⁡ ∠ O C B ⋅ sin ⁡ ∠ O B A. { displaystyle sin angle OAB cdot sin angle OBC cdot sin angle OCA = sin angle OAC cdot sin angle OCB cdot sin angle OBA. ,}

One может рассматривать две стороны этой идентичности как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Если поставить любую из четырех вершин в роли O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них независимы: если стороны трех из них «по часовой стрелке» умножаются, и произведение получается равным равняется произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, а затем общие множители сокращаются с обеих сторон, результатом является четвертое тождество.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, существует четыре таких ограничения на суммы углов, и количество степеней свободы тем самым сокращается с 12 до 8. Четыре соотношения, задаваемые этим синусоидальным законом, дополнительно уменьшают число степеней свободы: от 8 до не 4, а 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров является 5-мерным.

Закон косинусов для тетраэдров

Пусть {P 1,P2, P 3, P 4 } — точки тетраэдра. Пусть Δ i — площадь грани, противоположная вершине P i, и пусть θ ij — двугранный угол между двумя гранями тетраэдра, примыкающими к ребру. P iPj.

Закон косинусов для этого тетраэдра, который связывает площади граней тетраэдра с двугранными углами вокруг вершины, задается следующим соотношением:

Δ i 2 = Δ j 2 + Δ К 2 + Δ l 2 — 2 (Δ j Δ k соз ⁡ θ il + Δ j Δ l cos ⁡ θ ik + Δ k Δ l cos ⁡ θ ij) { displaystyle Delta _ {i} ^ {2} = Delta _ {j} ^ {2} + Delta _ {k} ^ {2} + Delta _ {l} ^ {2} -2 ( Delta _ {j} Delta _ { k} cos theta _ {il} + Delta _ {j} Delta _ {l} cos theta _ {ik} + Delta _ {k} Delta _ {l} cos theta _ { ij})}

Внутренняя точка

Пусть P — любая внутренняя точка тетраэдра объема V, вершинами которого являются A, B, C и D, а площади противоположных граней — это F a, F b, F c и F d. Тогда

P A ⋅ F a + P B ⋅ F b + P C ⋅ F c + P D ⋅ F d ≥ 9 V. { displaystyle PA cdot F _ { mathrm {a}} + PB cdot F _ { mathrm {b}} + PC cdot F _ { mathrm {c}} + PD cdot F _ { mathrm {d}} geq 9V.}

Для вершин A, B, C и D, внутренней точки P и футов J, K, L и M перпендикуляров от P к граням, и предположим, что грани имеют равные площади, тогда

PA + PB + PC + PD ≥ 3 (PJ + PK + PL + PM). { displaystyle PA + PB + PC + PD geq 3 (PJ + PK + PL + PM).}

Inradius

Обозначение внутреннего радиуса тетраэдра как r и inradii его треугольных граней как r i для i = 1, 2, 3, 4, мы имеем

1 r 1 2 + 1 r 2 2 + 1 r 3 2 + 1 r 4 2 ≤ 2 р 2, { displaystyle { frac {1} {r_ {1} ^ {2}}} + { frac {1} {r_ {2} ^ {2}}} + { frac {1} { r_ {3} ^ {2}}} + { frac {1} {r_ {4} ^ {2}}} leq { frac {2} {r ^ {2}}},}

с равенство тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Если A 1, A 2, A 3 и A 4 обозначают площадь каждой грани, значение r определяется как

r = 3 VA 1 + A 2 + A 3 + A 4 { displaystyle r = { frac {3V} {A_ {1} + A_ {2} + A_ {3} + A_ {4}}}}.

Эта формула получается из деления тетраэдра на четыре тетраэдра, точки которых являются тремя точками одной из исходных граней и центром. Поскольку четыре субтетраэдра заполняют объем, мы имеем V = 1 3 A 1 r + 1 3 A 2 r + 1 3 A 3 r + 1 3 A 4 r { displaystyle V = { frac {1} { 3}} A_ {1} r + { frac {1} {3}} A_ {2} r + { frac {1} {3}} A_ {3} r + { frac {1} {3}} A_ { 4} r}.

Окружной радиус

Обозначим радиус описанной окружности тетраэдра как R. Пусть a, b, c — длины трех ребер, которые встречаются в вершине, а A, B, C — длина противоположных краев. Пусть V — объем тетраэдра. Тогда

R = (a A + b B + c C) (a A + b B — c C) (a A — b B + c C) (- a A + b B + c C) 24 В. { displaystyle R = { frac { sqrt {(aA + bB + cC) (aA + bB-cC) (aA-bB + cC) (- aA + bB + cC)}} {24V}}.}

Центр описанной окружности

Центр описанной окружности тетраэдра может быть найден как пересечение трех биссектрисных плоскостей. Биссектрисная плоскость определяется как плоскость с центром и ортогональна ребру тетраэдра. С помощью этого определения центр описанной окружности C тетраэдра с вершинами x 0,x1,x2,x3может быть сформулирован как произведение матрица-вектор:

C = A — 1 B, где A = ([x 1 — x 0] T [x 2 — x 0] T [x 3 — x 0] T) и B = 1 2 (x 1 2 — x 0 2 x 2 2 — x 0 2 x 3 2 — x 0 2) { displaystyle { begin {align} C = A ^ {- 1} B { text {where}} A = left ({ begin {matrix} left [x_ {1} -x_ {0} right] ^ {T} \ left [x_ {2} -x_ {0} right] ^ {T} \ left [x_ {3} -x_ {0} right] ^ {T} end {matrix}} right) { text {and}} B = { frac {1} {2}} left ({ begin {matrix} x_ {1} ^ {2} -x_ {0} ^ {2} x_ {2} ^ {2} -x_ {0} ^ {2} \ x_ {3} ^ {2} -x_ {0} ^ {2} end {matrix}} right) \ конец {align}}}

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.

Центроид

Центр масс тетраэдра вычисляется как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид.

Грани

сумма площадей любых трех граней больше, чем площадь четвертой грани.

Целочисленные тетраэдры

Существуют тетраэдры, имеющие целочисленные длины ребер, площади граней и объем. Они называются тетраэдрами Герона. В одном примере один край 896, противоположный край 990 и четыре других края 1073; две грани — это равнобедренные треугольники с площадью 436800, а две другие — равнобедренные с площадью 47120, а объем равен 124185600.

Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, примером является тот, у которого есть ребра 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объем 48.

Родственные многогранники и соединения

Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольник пирамида.

Правильные пирамиды
Дигональ	Треугольник	Квадрат	Пятиугольник	Шестиугольник	Шестиугольник	Восьмиугольник	Эннеагональ	Десятиугольник…
Неправильный	Правильный	Равносторонний	Равнобедренный

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двугранный антипризма, где базовые многоугольники редуцированы двуугольники.

Семейство однородных n-угольных антипризм [ v ]
Изображение многогранника												…	Апейрогональная антипризма
Сферическая мозаичное изображение												Плоское мозаичное изображение
Vertex con конфигурация n.3.3.3	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3. 3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	…	∞.3.3.3

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двойственный двояковыпуклый трапецоэдр, содержащий 6 вершин, в двух наборах коллинеарных ребер.

Семейство n-угольных трапеций
Изображение многогранника										…	Апейрогональный трапецоэдр
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица Vn.3.3.3	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	…	V∞.3.3.3

Применен процесс усечения к тетраэдру образует серию однородных многогранников. Усечение ребер до точек дает октаэдр как выпрямленный тетраэдр. Процесс завершается двунаправленной связью, уменьшая исходные грани до точек и снова создавая самодвойственный тетраэдр.