Как найти разрыв в точке функции

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

• Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

• Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

• Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² — 25)/(y — 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

• Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Содержание:

• Определение точки разрыва
• Точка разрыва первого рода
• Точка разрыва второго рода
• Точка устранимого разрыва
• Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

Примеры решения задач

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Если
функция определена в некоторой окрестности
точки а,
но не является непрерывной в этой точке,
то говорят, что она имеет
разрыв
в этой точке, точка
а
при этом называется точкой
разрыва
функции f
(x).

Приведем
классификацию точек разрыва функции.

1. Точка
   разрыва х
   = а
   функции
   называетсяточкой
   разрыва
   первого
   рода,
   если существуют конечные пределы
   ,,
   но функция все же разрывна ва.
   

   1. а
      
      – точка
      скачка
      функции
      ,
      если(см. рис. 11.2),

   2. а
      – точка
      устранимого разрыва
      функции
      ,
      если скачокравен нулю, т.е.(см. рис. 11.3).

2. Точка
   разрыва х
   = а
   функции
   называетсяточкой
   разрыва
   второго
   рода,
   если а
   
   не является точкой разрыва первого
   рода, т.е. если равен бесконечности или
   не существует хотя бы один из односторонних
   пределов
   ,.

   1. а
      –
      точка
      бесконечного разрыва
      функции
      ,
      если пределыисуществуют, но хотя бы один из них
      бесконечный (см. рис. 11.4).

Рис.
11.2 Рис.
11.3

Рис.
11.4

Примеры решения задач

Установить
характер точки разрыва функции
в точкеили доказать непрерывность функции в
этой точке:

1.
;
2.3.;

4.
;
5.

Решение:

1.
При
функцияне определена, следовательно, она не
непрерывна в этой точке. Так както– точка устранимого разрываI
рода.

2.
По сравнению с первым примером функция
доопределена в точкетак, чтоследовательно, данная функция непрерывна
в этой точке.

3.
При
функцияне определена. Так как пределы функции
слева и справа от точкиконечны и различны:

,

то
в точке
функция имеет разрывI
рода.

4.
При х = 0
<sub>функция


не определена;</sub>
,.Так
как один из односторонних пределов
бесконечен, то

_{– точка разрыва II
рода.}

<sub>5.
При х
= 0 функция

не определена. Так как односторонние
пределы

не существуют (значения функции колеблются
от –1 до 1 и от 1 до –1, не стремясь ни к
какому числу), то х
= 0 – точка разрыва II
рода.</sub>

Задачи для самостоятельного решения

_{Какие
из следующих функций являются непрерывными
в точке х
=
–1? В случае нарушения непрерывности
установить характер точки разрыва:}

<sub>1.

;
2.</sub>

<sub>3.

;
4.
;</sub>

<sub>5.

;
6.</sub>

_{Исследовать
на непрерывность функцию, найти точки
разрыва и указать характер разрыва:}

<sub>7.


8.</sub>

<sub>9.


10.</sub>

_{Ответы:}

<sub>1)
Точка устранимого разрыва I
рода; 2)
непрерывна; 3)
точка разрыва II
рода; 4)
точка разрыва II
рода; 5)
точка разрыва I
рода; 6)
точка разрыва I
рода; 7)
x
= 0 – точка устранимого разрыва I
рода;
x
= –π – точка разрыва I
рода, в точке x
=

функция непрерывна; 9)
x
= –2 – точка разрыва I
рода; 10)
x
=
–2 – точка разрыва первого рода, x
= 2 – точка устранимого разрыва I
рода.</sub>

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ 12

Вычисление производных

1. Производная и ее геометрический и механический смысл.

Производной
функции
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю:

(12.1)

Используя
определение производной, можно находить
производную любой функции по схеме:

1)
аргументу х
даем приращение x
0
и
находим для функции у
соответствующее
значение у
+
у
в точке х
+
х;

2)
получаем у;

3)
составляем отношение
;

4)
находим предел отношения при x

0, получаем производную

Геометрический
смысл:
если f
(х)
непрерывная функция в точке
,
то производная функции в точке(если она существует) равна тангенсу
угла наклона касательной к осиОх,
в точке
.
Причем функция имеет производную в
точкетогда и только тогда, когда в этой точке
существует касательная к графику
функции.

Уравнение
касательной
к графику функции
f (х)
в точке
:

(12.2)

Уравнение
нормали
к графику функции
f (х)
в точке
:

(12.3)

Механический
смысл:
если
f (t)
выражает зависимость пройденного пути
движущейся точки от времени t,
то скорость точки есть производная от
пути по времени:
.

2. Правила
дифференцирования.

1)
Производная константы равна нулю:
.

2)
Константа выносится за знак производной:

.

3)
Производная суммы функций:
.

4)
Производная произведения функций:

.
(12.4)

5)
Производная частного:

.
(12.5)

6)
Пусть дана сложная функция у
=
f
(u),
где
и
=
g
(x)
и пусть функция u =
g
(x)
имеет
производную в точке х,
а функция y
= f
(u)
имеет производную в точке и =
g
(x).
Тогда сложная функция у
=
f
(g(х))
имеет производную в точке х
и

(12.6)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #