Как найти разность множества цифр

Для того, чтобы рассчитать разность множеств, нужно определить, что обозначает это понятие. Третье множество, которое получается из «вычитания» одного множества (A) из другого (U) и состоит из элементов одного из двух множеств, исключая общие элементы, называется разностью множеств (U и A). Записывается следующим образом: UA. Результат во многом зависит от того, какое множество «вычитают».

Пример

Дано множество U={2,5,6,7,9} и множество A={4,5,7,8,9}.

• Разность множеств UA={2,6}, так как 5, 7 и 9 входят в множество (А).

• И наоборот, разность множеств AU={4,8}, так как те же 5, 7, и 9 входят в множество (U).

Если элементы множеств не совпадают, то разность будет аналогична элементам «уменьшаемого» множества.

Пример

Дано множество U={2,5,6,7,9} и множество A={1,3,4,8}.

• Разность множеств UA={2,5,6,7,9}

• И наоборот, разность множеств AU={1,3,4,8}.

Если все элементы обоих множеств аналогичны, в результате получится пустое множество.

Для расчета разности множеств оптимальный выход – воспользоваться онлайн калькулятором. На практике разность множеств применяют в 3D графике, например: создание объемного кольца. Или для поиска IP-адресов, которые находятся в различных наборах (множествах) данных.

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы — прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А — подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А — часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:

Множество {а, b} имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; — множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 — элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: «множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: «множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4».

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) «Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10»;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если — универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b).

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание — это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание «Этот писатель родился в Ташкенте» может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность — ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим — ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х — четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, «и», «но»), (дизъюнкция, «или»), (отрицание,» не ….»,»неверно, что ….»).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида «не р» или «неверно, что р» называется отрицанием высказывания р и обозначается как

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F — начальные буквы английских слов «true» (истинно) и «false» (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: «Число х больше, чем 10 «.

На диаграмме U — множество всех чисел, множество Р — множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : «Число х меньше или равно 10».

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р — множество истинности высказывания р, а множество Р’ — множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «и», называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки «или», называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р — множество истинности высказывания р, Q — множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки «если …., то …» называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация «Если р, то q» обозначается как и имеет также следующие интерпретации «Из р следует (вытекает) q», «Высказывание р достаточно для q «, «Высказывание q необходимо для р».

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q — необходимым условием для р.

высказывание q — необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях — истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: «Анора часто смотрит кинофильмы»;

q: «Барно часто смотрит кинофильмы

r: «Барно не сдаст экзамен»;

s: «произойдет чудо».

 Имеем: 1. «Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно — нет».

2. «Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет».

3. «Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо».

4. «Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен».

5. «Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен».

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как «высказывание р необходимо и достаточно для q» или как «высказывание р истинно лишь при выполнении q».

Пример:

р: х — четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х — четно.

Тогда запись читается , как «Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной». ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы». Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: «Если этот человек — учитель, что он живет поблизости от школы».

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек — учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

«Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях «Этот писатель родился в Ташкенте» и «Он родился в Ташкенте» переменными являются словосочетание». «Этот писатель» и местоимение «он» соответственно. Если вместо переменной подставить значение «Абдулла Кадыри», получим истинное высказывание «Абдулла Кадыри родился в Ташкенте». Если вместо переменной подставить значение «Шекспир», получим ложное высказывание «Шекспир родился в Ташкенте».

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде «х родился в Ташкенте».

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, «для всех … «) и (квантор существования, «существует такой, что ….»), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): «х родился в Самарканде». Тогда высказывание читается как «все родились в Самарканде», а высказывание — «некоторые родились в Самарканде».

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

 Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает «Среди моих одноклассников

не существует отличников», тогда запись означает логически равносильное ему утверждение «Все мои одноклассники не являются отличниками».

Точно также, формула означает высказывание «Неверно, что все мои одноклассники — отличники «, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание «Некоторые мои одноклассники не являются отличниками».

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у — отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание «у каждого моего одноклассника есть отец»; а означает высказывание «существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников».

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной «, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

— представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: «Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?»

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

— странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание «То, что я утверждаю сейчас — ложь».

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» — рефлексивное, а прилагательное «английский» — нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» — рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» — нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого — неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 — черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs — множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента — за В, 28 процентов — за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если  есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, — множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества   Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств — их пересечение — а разностью —  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

— множество натуральных чисел.

 — множество целых чисел;
— множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

— множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам  называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина «множество» являются термины «класс «семейство «совокупность». Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: «a принадлежит множеству A») или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , } или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом .

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде:  .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: «Множество A содержится в множестве B») или B ⊃ A (читается: «Множестоо B содержит множество A»).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что ⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x  B , или x ∈ B , но x A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =. Очевидно, что A∩A= A, A∩= .

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = , A = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x₁ и x₂, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x₁, x₂). Элементы x₁ , x^₂ называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x₁, x₂). Пары (x₁, x₂) и (y₁ , y₂) называют совпадающими, если x₁ = y₁ и x₂ = y₂ .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × B B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики , , ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как «влечет» , «равносильно» , «существует» («найдется»), «любой» («каждый» , «для каждого» , «для любого» ).

Запись A B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись «∃ x ∈ X » означает: существует элемент x из множества X .
Запись «∀ x ∈ X » означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ «:» или эквивалентный ему символ «| которые читают: «такой, что». В частности, запись «∃ x ∈ X : x² — 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x² — 1 = 0.

• Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент принадлежит множеству

Элемент не принадлежит множеству

В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству , называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества , и записывают так: Используется также запись , если множество или является подмножеством множества , или равно множеству

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству

Объединение множеств

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или )

Разность множеств

Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству

Дополнение множеств

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением множества . Другими словами, дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству (но принадлежащих универсальному множеству )

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества ), записывается с помощью специального значка е следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества и — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество задано перечислением элементов, а множество четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое .

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: , где — характеристическое свойство. Например,

В этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись означает, что принимает любое целое значение, что также можно записать как

Равенство множеств

Пусть — множество цифр трехзначного числа 312, то есть , а — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество является подмножеством множества , или равно множеству . Например,

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества и равны, то: 1) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество ; 2) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами .

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если то .

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или ).

Объединение множеств обозначают знаком (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств и из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через , то .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если

Если — подмножество , то разность называют дополнением множества В до множества (рис. 6).

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через , то : множество всех иррациональных чисел дополняет множество всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность называют дополнением множества (рис. 7). То есть дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству , но принадлежащих универсальному множеству .

Дополнение множества обозначается (можно читать: « с чертой» или «дополнение »).

Например, если и , то . Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа

Можно представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Целые числа

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

( — обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: )

Натуральные числа (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число — основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой

Свойства

1. Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Модули противоположных чисел равны

3. , то есть Каждое число не больше своего модуля

4. При

5. При

6. Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8.

9.

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают . Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа противоположным считается число , а для числа противоположным считается число . Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — , длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби , где , можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, .

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, .

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби и являются записью одного и того же рационального числа . Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем вычисляется по формуле , имеем:

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел .

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой (рис. 10), то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса с центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа вы также встречались с иррациональными числами и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

, то (поскольку ).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел и последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел и последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение ).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

, или или или

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 11), то расстояние

Если , то расстояние

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками . На рисунке 12 эти точки изображены для случая и , хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков и .

При параллельном переносе вдоль оси на единиц точка перейдет в точку , а точка (с координатой ) — в точку с координатой , то есть в точку . Тогда . Но расстояние — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, , а значит, и .

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки до точки , а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки , получаем

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если то а если , то . Следовательно, всегда

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что , то получаем неравенство . Отсюда , что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

(1)

При неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает (рис. 13), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение ).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 13),

то есть в этом случае или . Наоборот, если число удовлетворяет одному из этих неравенств, то . Следовательно, при неравенство равносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

при

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

(3)

Если в формуле (3) взять , получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при и учитывая, что при всех значениях , получаем . Следовательно,

. Для обоснования неравенства

(4)

запишем неравенство (1) для чисел и :

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Учитывая неравенство (2), имеем

(5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (4), то получим неравенство . Отсюда

(6)

Если в неравенстве (6) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

(7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы и в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что , имеем также неравенства

(8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа и где и — целые, а и — натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где — целое число, а — натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь , где — целое, — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью , где и — натуральные числа . По определению квадратного корня имеем то есть . Учитывая, что , получаем, что дробь , равная натуральному числу , должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа и не являются натуральными числами , то и — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Отсюда

Следовательно,

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби

Пример №405

Решите уравнение

Решение

I способ

►

Ответ:

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда или .

II способ

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние между точками и на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: . Тогда равенство означает, что расстояние от точки до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда или то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Следовательно, или

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид (в данном случае ), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки . На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке то есть Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

Вычесть значит отнять одно число от другого. Вычитание есть такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. При вычитании целых чисел большее число уменьшается на столько единиц, сколько их содержится в меньшем.

Вычесть одно число из другого значит убавить одно число другим, поэтому вычитание есть действие обратное сложению.

Вычитание

В вычитании два данных числа называются уменьшаемым и вычитаемым, а искомое — разностью.

Уменьшаемым называют большее число, от которого отнимают другое. Оно уменьшается от вычитания.

Вычитаемым называют меньшее число, которое отнимают от большего.

Разностью называют вывод, полученный от вычитания. Разность определяет, чем одно число больше другого или показывает разницу между двумя числами.

Знак вычитания. Действие вычитания обозначается знаком — (минус).

Вычитание однозначных чисел

Чтобы обозначить, что из 9 нужно вычесть 6, пишут эти числа рядом, отделяя их знаком — (минус):

• 9 — 6.

Разность между этими числами будет 3, и ход вычисления выражают словесно:

девять без шести равно трем.

Письменно:

• 9 — 6 = 3.

Большее число 9 будет уменьшаемым, меньшее 6 вычитаемым, число 3 остатком.

Способы вычитания

Можно двумя способами вычесть одно число из другого:

1. или можно отнять от большего числа столько единиц, сколько их содержится в меньшем. Так, из 9 вычесть 6 значит от 9 отнять 6. Число 3 будет искомый остаток;
2. или можно к меньшему числу прибавлять по единице до тех пор, пока не получим большее число. Так, вычитая 6 из 9, мы к 6 прибавляем 3 единицы.

Число единиц, которое нужно прибавить к меньшему числу, чтобы уравнять его с большим, определяет разность.

Меньшее число с разностью должно равняться большему числу, следовательно, меньшее число и разность суть слагаемые, а большее — их сумма. На этом основано другое определение вычитания:

В этом случае данная сумма есть уменьшаемое, данное слагаемое — вычитаемое, а искомаяразность — другое слагаемое.

Вычитание многозначных чисел

Вычитание многозначных чисел основывается на том свойстве чисел, по которому вычесть число все-равно, что вычесть все его части. Из этого свойства видно, что вычесть какое-нибудь число все-равно, что вычесть последовательно все его единицы, десятки, сотни и т. д. Чтобы обозначить, что из числа 7228 нужно вычесть 3517, пишут:

• 7228 — 3517 и вычитают отдельно единицы из единиц, десятки из десятков и т. д.

Чтобы облегчить вычитание, подписывают меньшее число под большим так, чтобы единицы одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, проводят черту, слева ставят знак вычитания — и под чертою подписывают разность.

Ход вычисления выражают словесно:

1. Начинаем вычитание с простых единиц: 8 без 7 составляют 1; подписывают под единицами 1.
2. Вычитаем десятки: 2 без 1 дают 1, подписываем под десятками 1.
3. Вычитаем сотни. Пять нельзя вычесть из 2, поэтому занимаем у следующего высшего порядка (тысяч) единицу, что и обозначаем тем, что над 7 ставим точку. Единица каждого порядка содержит 10 единиц следующего меньшего порядка. Присоединяя эти 10 единиц к 2, получим 12; 12 без 5 составляют 7, подписываем под сотнями 7. Когда занимают единицу у высшего порядка, обозначают это тем, что ставят точку над порядком, у которого занимают.
4. Вычитаем тысячи. Тысяч осталось вместо 7 только 6, ибо одна была взята. 6 без 3 составляют 3; подписываем под тысячами 3.

Ход вычисления выражают письменно:

Пример. Из 17004 вычесть 6025.

Из 4 нельзя вычесть 5. Занимаем единицу у десятков, следующего высшего порядка, но в этом порядке единиц нет; занимаем у сотен, — и сотен нет; занимаем у тысяч и обозначаем это точкой над цифрой 7.

Единица четвертого имеет 10 единиц третьего порядка. Взяв из них одну для десятков, оставляем их в сотнях только 9. Присоединив 10 к 4, имеем 14.

Производя вычитание, получим:

• для единиц 14 — 5 = 9
• для десятков 9 — 2 = 7
• для сотен 9 — 0 = 9
• для тысяч 6 — 6 = 0

Для десятков тысяч имеем 1, ибо эту цифру уменьшаемого переносим в разность без изменения.

Ход вычисления выразится письменно:

Из предыдущих примеров выводим правила вычитания:

1. Чтобы сделать вычитание целых чисел, нужно вычитаемое подписать под уменьшаемым так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, провести черту, под которою и подписать разность.
2. Вычитание нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя к следующим столбцам от правой руки к левой, вычитают десятки из десятков, сотни из сотен и т. д.
3. Если цифра вычитаемого меньше цифры уменьшаемого, разность подписывают в том же столбце; если цифры равны, разность будет нуль.
4. Если же цифра вычитаемого больше соответствующей цифры уменьшаемого, занимают единицу у следующего порядка уменьшаемого, отмечая это точкой, поставленной над цифрой, у которой занимают, прикладывают 10 к цифре уменьшаемого и производят вычитание. Цифру же с точкой считают на единицу меньше.
5. Если при вычитании цифра уменьшаемого, у которого занимают, будет 0, за которым в уменьшаемом следуют тоже нули, то занимают у первой значащей цифры, ставя над нею и всеми промежуточными нулями точки. Цифру с точкой считают на единицу меньше, а нули с точкой считают за 9.
6. Вычитание продолжают до тех пор, пока не получат полной разности.
7. Лишние цифры уменьшаемого переносят в разность.

Зависимость между данными и искомыми вычитания

Из примера 9 — 6 = 3 видно, что

1. Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью: 9 = 6 + 3.
2. Вычитаемое равно уменьшаемому без разности: 6 = 9 — 3.
3. Разность равна уменьшаемому без вычитаемого: 3 = 9 — 6.

Арифметическое дополнение. Разность между числом и ближайшей большей единицей называется арифметическим дополнением. Так, арифметическими дополнениями чисел 7, 79, 983 будут числа:

• 10 — 7 = 3
• 100 — 79 = 21
• 1000 — 983 = 17

Арифметическим дополнением иногда пользуются для облегчения арифметических вычислений.

Источник: https://maths-public.ru/arithmetic/subtraction

Вычитание чисел

Вычитание – это арифметическое действие обратное сложению, посредством которого из одного числа вычитают (отнимают) столько единиц, сколько их содержится в другом числе.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое указывает сколько единиц будет вычтено из первого числа, называется вычитаемым. Число, получаемое в результате вычитания, называется разностью (или остатком).

Рассмотрим вычитание на примере. На столе лежит 9 конфет, если съесть 5 конфет, то их останется 4. Число 9 является уменьшаемым, 5 – вычитаемым, а 4 – остатком (разностью):

Для записи вычитания используется знак — (минус). Он ставится между уменьшаемым и вычитаемым, при этом уменьшаемое записывается слева от знака минус, а вычитаемое – справа. Например, запись 9 — 5 означает, что из числа 9 вычитается число 5. Справа от записи вычитания ставят знак = (равно), после которого записывают результат вычитания. Таким образом, полная запись вычитания выглядит так:

Эта запись читается так: разность девяти и пяти равняется четырём или девять минус пять равно четыре.

Чтобы в результате вычитания получить натуральное число или 0, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равно ему.

Рассмотрим, как, используя натуральный ряд, можно выполнить вычитание и найти разность двух натуральных чисел. Например, нам необходимо вычислить разность чисел 9 и 6, отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получим число 3:

9 — 6 = 3

Вычитание также можно использовать для сравнения двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаёмся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 10 меньше 25 (или на сколько 25 больше 10), надо из 25 вычесть 10.

Тогда найдём, что 10 меньше 25 (или 25 больше 10) на 15 единиц.

Проверка вычитания

Рассмотрим выражение

15 — 7 = 8

где 15 – это уменьшаемое, 7 – это вычитаемое, а 8 – разность. Чтобы узнать правильно ли было выполнено вычитание, можно:

1. вычитаемое сложить с разностью, если получится уменьшаемое, то вычитание было выполнено верно:7 + 8 = 15
2. от уменьшаемого отнять разность, если получится вычитаемое, то вычитание было выполнено верно:15 — 8 = 7

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/vychitanie.php

Что такое разность чисел в математике?

Для многих точные науки, вроде математики, воспринимаются как нечто более простое, чем сферы, требующие рассуждений, предполагающие большую вариативность. Однако все предметы имеют свои сложности, в том числе и технические.

Вычитание

Для того, чтобы понять, чем является разность, необходимо разобраться в ряде математической терминологии. В первую очередь, нужно выяснить, чем является вычитание.

По-другому это понятие называют убавлением, и по такому названию понять смысл процесса несколько проще. По своей сути вычитание является одной из математических операций.

Что же это за операции? Как правило, под ними понимают определенные арифметические или логические действия. Встает логичный вопрос – в чем же суть арифметических действий?

Понятие арифметики появилось достаточно давно. Оно зародилось в древнегреческом языке, где переводилось как «число». Сегодня это раздел математики, который изучает числа, их отношения друг к другу, а также свойства.

Итак, вычитание – это операции с числами, относящиеся к бинарным. Суть бинарных операций в том, что в них используются два аргумента (параметра), и получается один результат.

Стоит рассмотреть, как найти разность какого-то числа. В первую очередь, необходимы два аргумента, то есть два числа. Затем необходимо уменьшить значение первого числа на значение второго.

Когда данная операция выражается письменно, используется знак «минус». Это выглядит так: а – б = с, где а является первым числовым значением, б – вторым, а с – разностью чисел.

Как правило, у учеников возникает гораздо больше проблем именно с вычитанием, нежели со сложением. Отчасти это связано со свойствами данных математических операций.

Всем известно, что от перемены мест слагаемых значение суммы не меняется. В вычитании же всё гораздо сложней. Если поменять числа местами, получится совершенно другой результат.

Схожим свойством в прибавлении и убавлении является то, что нулевой элемент не меняет исходное число.

В вычитании всё относительно просто, если первое число больше второго, однако в школе будут рассматриваться и противоположные примеры. В этом случае возникает понятие отрицательного числа.

Например, если нужно вычесть из 5 число 2, то всё несложно. 5-2=3, таким образом разность числа составит 3. Однако, что делать, если необходимо посчитать, сколько будет два минус пять?

В выражении 2-5 разность уйдет в минус, то есть в отрицательное значение. Из двойки легко можно вычесть двойку, получив таким образом ноль, однако от пятерки остается ещё три. Таким образом, результатом данного выражения будет отрицательное число три. То есть, 2-5=-3.

Источник: https://topkin.ru/voprosy/nauka-voprosy/chto-takoe-raznost-chisel-v-matematike/

Что такое разность чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность — правило

Статья познакомит читателя с понятиями «разность чисел», «вычитаемое» и «уменьшаемое».

В арифметике существует всего четыре основных действия, которые мы называем сложением, умножением, вычитанием и делением.

Такие действия являются основой всей математики – они позволяют нам осуществлять все вычисления: как простые, так и самые сложные.

Самыми простыми действиями считаются сложение и вычитание, которые противоположны друг другу. Правда, слово «сложение» мы также используем и в обычной жизни.

Мы можем встретить фразу «сложить усилия, например, когда нам нужно сделать какую-нибудь работу всем вместе. Но вот с термином «вычитание» дело обстоит немного сложнее, и в разговоре оно встречается реже.

Мы редко услышим такие выражения, как «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность». Но в сегодняшней статье мы подробно поговорим о них с точки зрения математики.

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел?

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел? Как известно, многие научные термины и выражения взяты из других языков, чаще греческого и латинского. Но те слова, которые будут рассмотрены ниже, имеют русское происхождение, потому нам будет проще их разобрать.

Например, что можно сказать о разности чисел? Если мы обратим внимание на корень слова «разность», то нам представится, например, его однокоренное слово «разница».

А если речь идет о математике, то тут и думать нечего – слово «разность» означает разницу между какими-то цифрами, а точнее, двумя числами.

Разница нам показывает, насколько одна величина больше другой или, наоборот, вторая меньше первой. Строго в математике это выглядит как результат вычитания.

Сразу же приведем пример. Допустим, буфетчица несет на подносе восемь пирожков. Пять из них она раздала посетителям. Сколько пирожков останется у буфетчицы на подносе? Если из 8 вычесть 5, то получится — 3. Теперь запишем это математически:

То есть разница между восемью и пятью – это три. Теперь нам понятно, что такое термин «разница».

Внимание: Если два числа равны друг другу, то разницы между ними не существует, она равна нулю (8 – 8 = 0).

Теперь нам следует выяснить, что такое вычитаемое и уменьшаемое. Снова представим значение слов по их смыслу. Чем может являться число уменьшаемое? Уменьшаемое – это то число, которое уменьшается при вычитании. От этого числа отнимают другое число. А что такое вычитаемое? Вычитаемым как раз и является том числом, которые мы отнимаем от уменьшаемого.

Вернемся к примеру с буфетчицей. Мы помним, как от восьми отнимали пять, и у нас получилось три. Мы выяснили, что тройка является разницей между двумя этими числами. Теперь нам уже не сложно понять, что 8 – это число уменьшаемое, а 5 – это число вычитаемое.

Как найти уменьшаемое и вычитаемое число?

Как в математике найти разницу чисел мы уже разобрались. Это довольно просто. Но сможем ли мы найти уменьшаемое и вычитаемое число, если одно число неизвестно? Конечно можем, так как нам будут известны два других числа. Например, как мы можем найти уменьшаемое число? Если мы знаем значение разницы и вычитаемого, то сумма этих двух чисел равняется уменьшаемому:

• Y – 10 = 18, где Y – число уменьшаемое
• Значит, Y = 18 + 10
• 18 + 10 = 28
• Y = 28

Вычитаемое находится так же просто. Если мы знаем разницу и уменьшаемое, значит вычитаемое мы получим, отняв от уменьшаемого числа разность:

• 28 – B = 10, где B – число вычитаемое
• Значит, B = 28 – 10
• 28 – 10 = 18
• B = 18

Источник: https://heaclub.ru/chto-takoe-raznost-chisel-umenshaemoe-vychitaemoe-raznost-pravilo

Что такое разность чисел в математике и как найти разность чисел

В этой статье мы рассмотрим, что такое разность чисел в математике, и как человеку, интересующемуся этой наукой, найти разность чисел.

Что такое разность чисел в математике

Вычитание является одной из 4 арифметических операций. Для его обозначения служит математический знак «−» (минус). Вычитание противоположно по смыслу операции сложения.

Операция вычитания в общем случае записывается следующим образом:

A − B = C

Число Математическое название

A	Уменьшаемое
B	Вычитаемое
C	Разность чисел

Пример: 6 − 2 =4

Здесь разностью чисел будет являться число 4. Следовательно, разность между любыми числами A и B это такое число C, которое при прибавлении к B даст в сумме A (4 при прибавлении к 2 дает 6 — значит, 4 это разность 6 и 2).

Как найти разность чисел

Уже из самого определения следует, как вычислить разность между двумя числами. При небольших числах можно делать это в уме. Детей в начальной школе учат следующим образом. Представьте, что у Вас есть 5 яблок, и 3 из них забрали. Сколько у Вас осталось? Правильно — 2 яблока. Постепенно Вы доведете вычисления до автоматизма и будете сразу выдавать ответ.

Однако для чисел выше 50 такое наглядное представление перестает работать. Большое количество предметов тяжело представить в уме, поэтому здесь на помощь приходит другой способ:

Вычисление разности в столбик

Школьники изучают этот способ в рамках курса математики, обычно во втором или третьем классе. Взрослые люди, пользующиеся калькулятором, зачастую забывают, как считать в столбик. Однако калькулятор не всегда бывает под рукой. Освежите в памяти школьные знания, посмотрев это видео.

Вычисление разности в столбик – видео

Этот способ применим и тогда, когда Вам нужно вычесть большее число из меньшего. В реальной жизни такое обычно не требуется, но может пригодиться при решении математических задач.

Допустим, в примере «A − B = C» B больше, чем A. Тогда C будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, «разверните» пример: посчитайте значение B − A.

Когда Вы закончите считать эту разность, у вас получится число C, только с противоположным знаком: оно будет больше нуля. Чтобы завершить вычисления, припишите к нему спереди знак минус.

Источник: https://www.chto-kak-skolko.ru/index.php/nauki/matematika/chto-takoe-raznost-chisel-v-matematike-i-kak-najti-raznost-chisel

Пересечение, объединение и разность множеств