Как найти размерность суммы пространств

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть и — подпространства линейного пространства .

Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.

Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается

Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора no подпространствам и .

Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .

Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).

7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .

Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .

Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:

где — нулевой радиус-вектор .

Прямая сумма подпространств

Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора существует единственное представление в виде , где .

Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма является прямой суммой, если:

– существует вектор , который однозначно представляется в виде , где ;

– базис пространства является объединением базисов подпространств и ;

– справедливо равенство .

Замечания 8.9

1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства , то .

Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?

Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

— прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .

Алгебраические дополнения подпространств

Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства в пространстве , если . Говорят, что дополняет (алгебраически) подпространство до .

Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.

1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение .

Действительно, если , то . Если , то . В остальных случаях базис подпространства можно дополнить по теореме 8.2 до базиса пространства . Тогда . В примере 8.7 получено равенство , т.е. подпространства и дополняют друг друга до всего пространства.

2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения до базиса всего пространства.

3. Алгебраическое дополнение подпространства , кроме случаев или , определяется неоднозначно.

В примере 8.7 дополнением плоскости в пространстве служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость в точке , в частности, подпространство .

4. Для любого подпространства .

Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.

5. Если и — подпространства пространства , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:

Заметим, что равенства и в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.

Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов: . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами до базиса пространства . Так как базис , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что — базис . Аналогично получаем, что — базис . Следовательно, — базис пересечения . Таким образом, базис всего пространства получается объединением базиса суммы и базиса пересечения . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем . Равенство следует аналогично из структуры базиса пространства .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством

Говорят, что система векторов пространства линейно зависима над подпространством , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству , т.е. найдутся такие числа , неравные нулю одновременно, что

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы называют линейно независимы ми над подпространством .

Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое .

Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.

1. Если пространство представлено в виде прямой суммы подпространств , то любая линейно независимая система векторов подпространства будет линейно независимой над подпространством .

2. Базисом алгебраического дополнения подпространства является максимальная совокупность векторов пространства , линейно независимая над подпространством (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).

Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства относительно подпространства (или относительным дополнением до подпространства ). Базисом относительного дополнения служит максимальная система векторов , линейно независимая над .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть и —
подпространства линейного пространства .

Пересечением
подпространств и называется
множество векторов,
каждый из которых принадлежит и одновременно,
т.е. пересечение подпространств
определяется как обычное пересечение
двух множеств.

Алгебраической
суммой подпространств и называется
множество векторов вида ,
где .
Алгебраическая сумма (короче просто
сумма) подпространств обозначается 

Представление
вектора в
виде ,
где ,
называетсяразложением
вектора no
подпространствам и .

Замечания
8.8

1. Пересечение
подпространств является подпространством.
Поэтому понятия размерности, базиса и
т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма
подпространств является подпространством.
Поэтому понятия размерности, базиса и
т.п. применяются к суммам.

Действительно,
нужно показать замкнутость линейных
операций в множестве .
Пусть два вектора и принадлежат
сумме ,
т.е. каждый из них раскладывается по
подпространствам:

Найдем
сумму: .
Так как ,
а ,
то .
Следовательно, множество замкнуто
по отношению к операции сложения. Найдем
произведение: .
Так как ,
a ,
то .
Следовательно, множество замкнуто
по отношению к операции умножения на
число. Таким образом, —
линейное подпространство.

3. Операция
пересечения определена на множестве
всех подпространств линейного
пространства .
Она является коммутативной и ассоциативной.
Пересечение любого семейства подпространств
V является линейным подпространством,
причем скобки в выражении —
можно расставлять произвольно или
вообще не ставить.

4. Минимальным
линейным подпространством,
содержащим подмножество конечномерного
линейного пространства ,
называется пересечение всех
подпространств ,
содержащих ,
т.е. .
Если ,
то указанное пересечение совпадает с
нулевым подпространством ,
поскольку оно содержится в любом из
подпространств .
Если —
линейное подпространство ,
то указанное пересечение совпадает
с ,
поскольку содержится
в каждом из пересекаемых подпространств
(и является одним из них: ).

Минимальное
свойство линейной оболочки: линейная
оболочка любого
подмножества конечномерного
линейного пространства является
минимальным линейным подпространством,
содержащим ,
т.е. .

Действительно,
обозначим .
Надо доказать равенство двух множеств: .
Так как (см.
пункт 6 замечаний 8.7), то .
Докажем включение .
Произвольный элемент имеет
вид ,
где .
Пусть —
любое подпространство, содержащее .
Оно содержит все векторы и
любую их линейную комбинацию (см. пункт
7 замечаний 8.7), в частности, вектор .
Поэтому вектор принадлежит
любому подпространству ,
содержащему .
Значит, принадлежит
пересечению таких
подпространств. Таким образом, .
Из двух включений и следует
равенство .

5. Операция
сложения подпространств определена на
множестве всех подпространств линейного
пространства .
Она является коммутативной и ассоциативной.
Поэтому в суммах конечного
числа подпространств скобки можно
расставлять произвольно или вообще не
ставить.

6. Можно
определить объединение подпространств и как
множество векторов, каждый из которых
принадлежит пространству или
пространству (или
обоим подпространствам). Однако,
объединение подпространств в общем
случае не является подпространством
(оно будет подпространством только при
дополнительном условии или ).

7. Сумма
подпространств совпадает
с линейной оболочкой их объединения .
Действительно, включение следует
из определения. Любой элемент
множества имеет
вид ,
т.е. представляет собой линейную
комбинацию двух векторов из множества .
Докажем противоположное включение .
Любой элемент имеет
вид ,
где .
Разобьем эту сумму на две, относя к
первой сумме все слагаемые ,
у которых .
Остальные слагаемые составят вторую
сумму:

Первая
сумма — это некоторый вектор ,
вторая сумма — это некоторый вектор .
Следовательно, .
Значит, .
Полученные два включения говорят о
равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема
8.4 о размерности суммы
подпространств. Если и подпространства
конечномерного линейного пространства ,
то размерность суммы подпространств
равна сумме их размерностей без
размерности их пересечения (формула
Грассмана):

В
самом деле, пусть —
базис пересечения .
Дополним его упорядоченным набором векторов
до базиса подпространства и
упорядоченным набором векторов
до базиса подпространства .
Такое дополнение возможно по теореме
8.2. Из указанных трех наборов векторов
составим упорядоченный набор векторов.
Покажем, что эти векторы являются
образующими пространства .
Действительно, любой вектор этого
пространства представляется в виде
линейной комбинации векторов из
упорядоченного набора 

Следовательно, .
Докажем, что образующие линейно
независимы и поэтому они являются
базисом пространства .
Действительно, составим линейную
комбинацию этих векторов и приравняем
ее нулевому вектору:

Первые
две суммы обозначим —
это некоторый вектор из ,
последнюю сумму обозначим —
это некоторый вектор из .
Равенство (8.14): означает,
что вектор принадлежит
также и пространству .
Значит, .
Раскладывая этот вектор по базису ,
находим .
Учитывая разложение этого вектора в
(8.14), получаем

Последнее
равенство можно рассматривать, как
разложение нулевого вектора по
базису подпространства .
Все коэффициенты такого разложения
нулевые: и .
Подставляя в
(8.14), получаем .
Это возможно только в тривиальном
случае и ,
так как система векторов линейно
независима (это базис подпространства ).
Таким образом, равенство (8.14) выполняется
только в тривиальном случае, когда все
коэффициенты равны нулю одновременно.
Следовательно, совокупность
векторов линейно
независима, т.е. является базисом
пространства .
Подсчитаем размерность суммы
подпространств:

что
и требовалось доказать.

Пример
8.6. В
пространстве радиус-векторов
с общим началом в точке заданы
подпространства: и —
три множества радиус-векторов,
принадлежащих пересекающимся в
точке прямым и соответственно; и —
два множества радиус-векторов,
принадлежащих пересекающимся
плоскостям и соответственно;
прямая ,
при надлежит плоскости ,
прямая принадлежит
плоскости ,
плоскости и пересекаются
по прямой (рис.
8.2). Найти суммы и пересечения каждых
двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем
сумму .
Складывая два вектора,
принадлежащих и соответственно,
получаем вектор, принадлежащий
плоскости .
На оборот, любой вектор (см.
рис.8.2), принадлежащий ,
можно представить в виде ,
построив проекции и вектора на
прямые и соответственно.
Значит, любой радиус-вектор
плоскости раскладывается
по подпространствам и ,
т.е. .
Аналогично получаем, что ,
а —
множество радиус-векторов, принадлежащих
плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем
сумму .
Любой вектор пространства можно
разложить по подпространствам и .
В самом деле, через конец
радиус-вектора проводим
прямую, параллельную прямой (см.
рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на
плоскость .
Затем на откладываем
вектор так,
чтобы .
Следовательно, .
Так как ,
то .
Аналогично получаем, что .
Остальные суммы находятся просто: .
Заметим, что .

Используя
теорему 8.4, проверим, например,
равенство по
размерности. Подставляя и в
формулу Грассмана, получаем ,
что и следовало ожидать, так как .

Пересечения
подпространств находим по рис. 8.2, как
пересечение геометрических фигур:

где —
нулевой радиус-вектор .

1. Пряма
   сума підпросторів. Критерії прямої
   суми.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λx∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Тогда

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

или

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

или

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M=0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.16) имеем:

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

или

Так как , и L∩M=0, то и . Следовательно и . ■