Восьмиугольник – это геометрическая фигура из мира многоугольников; восьмиугольник имеет 8 сторон и 8
углов или вершин. Правильный многоугольник представляет собой выпуклый многоугольник с равенством
всех сторон и всех углов при вершинах. Следовательно, правильный восьмиугольник – это выпуклый
восьмиугольник, с равенством 8 сторон и 8 углов при вершинах. Другое название фигуры – октагон, от
латинского octo», что означает «восемь». Иногда требуется узнать площадь геометрической фигуры по
некоторым ее известным размерам, например, с целью узнать расход материала на изготовление, заливку,
окраску; или же массу в отсутствие весов при известной толщине многоугольной плитки и плотности
материала.
Для вычисления площади октагона необходимо знать его периметр, который в данном случае равен сумме
длин его 8 сторон (восьмикратной длине одной стороны), и апофему. В планиметрии апофемой называется
длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон.
При известной апофеме площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на апофему,
деленному на 2 (в пределе эта формула справедлива даже для круга, где «апофема» равна радиусу).
Поскольку периметр в рассматриваемом случае равен длине стороны, умноженной на 8, искомый параметр
найдется как произведение длины стороны на апофему, умноженный на 4.
- Площадь правильного восьмиугольника через длину стороны
- Площадь правильного восьмиугольника через радиус описаной
окружности - Площадь правильного восьмиугольника через радиус вписаной
окружности
Через длину стороны
Если апофема неизвестна, ее можно узнать по длине стороны a, исходя из тригонометрических
соотношений, и тогда искомая площадь определится как
S = 2 * a² * (1 + √2)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример вычисления: при длине стороны a=8 м площадь равна 4,828 * 8² = 309 кв.м.
Через радиус вписанной окружности
Поскольку апофема является радиусом вписанной окружности r, появляется возможность вычислить площадь
через радиус вписанной окружности:
S = 8 * r² * (√2 — 1)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример: при радиусе вписанной окружности 15 м площадь равна 3,314 * 15² = 746 кв.м.
Через радиус описанной окружности
При знании лишь радиуса описанной окружности R возможно вычисление площади по формуле:
S = 2 * √2 * R²
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример: при радиусе описанной окружности 9 м площадь равна 2,828 92 = 229 кв.м.
Свойства правильного восьмиугольника
Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°, отсюда угол при его вершине
равен 1080°/8=135°. В правильном восьмиугольнике всего 20 диагоналей; длина четырех самых длинных из
них равна двум радиусам описанной окружности.
В природе восьмиугольники встречаются не так часто, как шестиугольники (поскольку восьмиугольники, в
отличие от шестиугольников, не могут заполнить плоскость), но примеры можно найти.
Распространение правильного восьмиугольника в быту и окружающей жизни
Восьмиугольная форма – распространенный архитектурный элемент дизайна. Купол мусульманского святилища
Скала в Иерусалиме в плане октагон. Подобная форма также распространена в архитектуре, например, в
соборе Святого Георгия (Аддис-Абеба), базилике Сан-Витале (Равенна, Италия), Кастель дель Монте
(Апулия, Италия), баптистерии во Флоренции, церкви Цум Фридефюрстен (Германия) и ряде норвежских
церквей. Центральное помещение Ахенского собора, Каролингская Палатинская капелла, также имеет форму
октагона.
Мистики считали, что октагон объединяет «ограниченность земного и бесконечность небесного круга»,
объединяет Бога и человека, жизнь и смерть.
Восьмиугольная планировка пола использовалась в зданиях для разделения офисов и служб здания;
например, в штаб-квартире Intelsat в Вашингтоне, офисах Callam в Канберре и офисах Octagon в
Парраматте, Австралия.
Запрещающий дорожный знак «Движение без остановки запрещено» имеет форму красного правильного
восьмиугольника с надписью STOP в России и ряде многих других стран.
Вычисление правильного восьмиугольника (многоугольник с восемью вершинами). Эта форма хорошо нам знакома, так как используется на некоторых дорожных знаках.
.
Поделиться расчетом:
Калькулятор восьмиугольника, введите одно известное значение
Длина стороны(a)
Меньшая диагональ(d1)
Средняя диагональ(e)
Большая диагональ(d3)
Периметр(p)
Площадь(S)
Радиус описанной окружности(R)
Радиус вписанной окружности(r)
Вычислить
Очистить
Формулы:
d = a * √4 + 2 * √2
e = a * ( 1 + √2 )
f = a * √2 + √2
Высота = e = 2 * r
Р = 8 * а
S = 2 * a2 * ( 1 + √2 )
R = a / 2 * √4 + 2 * √2
r = a / 2 * ( 1 + √2 )
Угол: 135°, 20 диагоналей.
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник
Правильный восьмиугольник (понятие и определение)
Свойства правильного восьмиугольника
Формулы правильного восьмиугольника
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре
Шестиугольник
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник
Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Свойства правильного восьмиугольника:
1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.
a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6 = a7 = a8.
2. Все углы равны между собой и составляют 135°.
α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = α7 = α8 = 135°.
Рис. 4. Правильный восьмиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.
Рис. 5. Правильный восьмиугольник
5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.
Рис. 6. Правильный восьмиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.
Формула константы правильного восьмиугольника:
Формула периметра правильного восьмиугольника:
Формулы площади правильного восьмиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:
Формулы стороны правильного восьмиугольника:
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.
Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
7 158
Как рассчитать периметр и площадь восьмиугольника
Геометрическая фигура восьми сторон, называемая восьмиугольником или восьмиугольником, обычно представляется в двух измерениях в виде чертежа или плоского объекта, распространенным примером которого является сигнал светофора. Площадь восьмиугольной фигуры легко рассчитывается с помощью базовой математики. Вычисление стороны, сторон или периметра восьмиугольника, это простой вопрос сложения длин сторон. Хотя это редко, трехмерные объекты также могут быть сформированы с восемью сторонами, и боковая площадь вычисляется по той же формуле, что и квадрат или прямоугольник. Мы хотим облегчить вам задачу и объясним, как рассчитать периметр и площадь восьмиугольника.
Вам понадобится:
- правило
- калькулятор
Шаги, чтобы следовать:
1
Первое, что вам нужно сделать, это измерить длину каждой стороны восьмиугольника ; Следует отметить, что этот многоугольник может быть регулярным, то есть все его стороны идентичны и иметь одинаковые размеры, или нерегулярными в случае, если стороны разные.
2
Чтобы узнать периметр правильного восьмиугольника, подобного тому, который вы видите на рисунке ниже, вы должны умножить длину одной стороны восьмиугольника на количество сторон в восьмиугольнике, равное 8. Таким образом, математическая формула говорит, что P = l · 8
Например, если восемь сторон восьмиугольника имеют одинаковую длину в пять сантиметров, периметр восьмиугольника рассчитывается:
5 см х 8 сторон = 40 см по периметру
3
В случае неправильных восьмиугольников вы должны определить периметр, рассчитав каждую сторону отдельно и сумму этих цифр .
Например: если первая сторона 5 сантиметров, вторая сторона 4 сантиметра, третья сторона 7 сантиметров, четвертая сторона 3 сантиметра, а стороны пять, шесть, семь и восемь равны 10 сантиметрам, периметр восьмиугольник будет равен 60 сантиметрам
Периметр = 5 + 4 + 7 + 3 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 см.
4
Если мы хотим вычислить поверхность или площадь правильного восьмиугольника, мы должны применить математическую формулу, которая гласит, что площадь равна умножению периметра на апотем, деленный на два.
Итак, мы уже знаем, как рассчитать периметр восьмиугольника, но что такое апофем ? Это расстояние, которое отделяет центр многоугольника от центральной точки каждой стороны восьмиугольника; Если вы посмотрите на изображение, мы указали его зеленым цветом.
Следуя примеру, если каждая сторона равна 5 см, а апотема равна 10 см, мы вычисляем поверхность восьмиугольника, умножая сторону на 8 и на апотему и деля результат на два:
S = (5 см · 8 см) · 10/2 = 40 · 10/2 = 200 см²
5
Другой не менее действительный вариант для вычисления поверхности правильного восьмиугольника — это разделить многоугольник на восемь равных треугольников, вычислить его площадь и затем умножить на восемь. Таким образом, апофема правильного восьмиугольника будет равна высоте каждого из этих треугольников и стороне, равной основанию, которые являются двумя элементами, которые нам нужны для вычисления площади треугольника.
Таким образом, поверхность треугольника получается путем применения формулы, которая говорит, что она равна умножению основания на высоту и делению его результата на два:
S = (5 · 10) / 2 = 50/2 = 25 см²
Как только это будет сделано, нам нужно будет только умножить поверхность или площадь треугольника на 8, то есть количество правильных треугольников, составляющих многоугольник с восемью сторонами:
S = 25 · 8 = = 200 см²
Как видим, результат один и тот же, несмотря на применение двух разных методов.
6
Эти другие статьи:
- Как найти периметр четырехугольника
- Как найти периметр квадрата
- Как определить площадь овала
- Как найти высоту косого треугольника с площадью
чаевые
- Помните, что всякий раз, когда вы вычисляете расстояния, поверхности, углы и т. Д., Вы должны указывать единицы измерения в результате.
Geometry is a mathematical branch that is about the study of shapes. The category of shapes is divided into two viz. flat shapes and solid shapes. Geometry deals with the study of the area, perimeter, volume, and other parameters of these shapes by giving standard formulas.
The article explains the octagon formula which gives the formula of area and perimeter of an octagon. It also comprises sample numerical problems for better understanding.
Octagon
Octagon is a plane shape having eight sides and eight angles. It is a regular polygon of eight sides. Each interior angle of the octagon measures 135° and the sum of all the interior angles of an octagon equals 108°. Similarly, the exterior angle of an octagon is 45 degrees and the sum of all the exterior angles equals 360°.
Octagon consists of 20 diagonals that meet at the center of the figure. All these diagonals have the same length.
Regular octagon
Octagon Formula
The geometry provides separately derived formulas for the calculation of perimeter, area, and diagonals of a regular octagon. The perimeter, area, and diagonal formula of an octagon is collectively known as the Octagon Formula.
To find the number of diagonals of an octagon we use the given formula.
Number of Diagonals = n(n – 3)/2
8(8 – 3)/2
20
Where s denotes side length
And, n denotes the number of sides
A regular polygon generally consists of 20 diagonals. So, the octagon formula is mostly used to calculate the area and perimeter of an octagon. These calculations are carried out by using the length of a side of the octagon.
The area formula of an octagon is given by
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
Where s is the length of a side
The perimeter formula of an octagon is given by,
The perimeter of the octagon(P) = 8s
Where s is the length of a side.
Sample Problems
Question 1: Find the area and perimeter of an octagon having a side 2cm using the octagon formula.
Solution:
Given:
length of a side of the octagon is 2cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(2)2(1 + √2)
A = 19.31cm2
By using the octagon formula for the perimeter,
Perimeter of the octagon (P) = 8s
P = 8 × 2
P = 16cm
Hence, the area and perimeter of the given octagon are 19.31cm2 and 16cm respectively.
Question 2: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 4cm using the octagon formula.
Solution:
Given:
length of a side of the octagon is 4cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(4)2(1 + √2)
A = 77.25cm2
By using the octagon formula for the perimeter
The perimeter of the octagon (P) = 8s
P = 8 × 4
P = 32cm
Hence, the area and perimeter of the given octagon are 77.25cm2 and 32cm respectively.
Question 3: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 2.5cm using the octagon formula.
Solution:
Given:
length of a side of the octagon is 2.5cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(2.5)2(1 + √2)
A = 30.17cm2
By using the octagon formula for the perimeter
The perimeter of the octagon (P)=8s
P = 8 × 2.5
P = 20cm
Hence, the area and perimeter of the given octagon are 30.17cm2 and 20cm respectively.
Question 4: A regular octagon is given which has a perimeter equal to 32cm. Find its area using the octagon formula.
Solution:
Given:
The perimeter of the octagon is 32cm.
The perimeter of the octagon(P) = 8s
32 = 8s
s = 4cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(4)2(1 + √2)
A = 77.25cm2
Question 5: A regular octagon is given which has a perimeter of 48cm. Find its area using the octagon formula.
Solution:
Given:
The perimeter of the octagon is 48cm.
The perimeter of the octagon(P) = 8s
48 = 8s
s = 6cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(6)2(1 + √2)
A = 173.82cm2
Question 6: If the perimeter of an octagon is given which is equal to 40cm. Calculate the area of the given octagon.
Solution:
Given:
The perimeter of the octagon is 40cm.
The perimeter of the octagon(P) = 8s
40 = 8s
s = 5cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(5)2(1 + √2)
A = 120.71cm2
Question 7: If an octagon is given having length of 3cm, its area and perimeter be, calculated using the octagon formula?
Solution:
Given:
The side of the octagon is 3cm
By using the octagon formula for the area
Area of octagon(A) = 2s2(1 + √2)
A = 2(3)2(1 + √2)
A = 43.45cm2
By using the octagon formula for the perimeter
The perimeter of the octagon (P) = 8s
P = 8 × 3
P = 24cm
Hence, the area and perimeter of the given octagon are 43.45cm2 and 24cm respectively.
Last Updated :
01 Feb, 2022
Like Article
Save Article