Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).
Рисунок 1
Определение
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.
Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.
У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.
Рисунок 2
Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Длина, ширина, высота
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 3
Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.
Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.
Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).
Рисунок 4
Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a2. Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a2
Объем прямоугольного параллелепипеда
Рисунок 5
С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.
Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.
Рисунок 6
За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.
Рисунок 7
Объем куба
Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:
V=a3
Рисунок 8
Пирамида
Рисунок 9
Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).
Рисунок 10
Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.
Рисунок 11
Даниил Романович | Просмотров: 1.1k
Измерения прямоугольного параллелепипеда и его свойства
Содержание:
- Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
- Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
- Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда
Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
Определение
Параллелепипед — это призма с шестью гранями, в основании которой лежит параллелограмм.
Согласно другому определению, это многогранник, состоящий из шести сторон-параллелограммов.
В математике в целом, и в геометрии в частности, выделяют несколько основных видов параллелепипеда:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- прямоугольный;
- прямой — параллелепипед, у которого 4 боковые грани являются прямоугольниками;
- наклонный — боковые грани объемной фигуры не перпендикулярны основаниям;
- ромбоэдр — шестигранная призма, грани которой — это ромбы;
- куб — состоит из квадратных граней.
Определение
Прямоугольный параллелепипед — это шестигранная призма, каждая из сторон которой в общем случае является прямоугольником. Также это — многогранник, в основании которого лежит прямоугольник, а боковые грани перпендикулярны основанию.
Прямоугольных параллелепипедов в окружающем человека мире множество: комната, закрытая книга, системный блок компьютера, закрытая коробка для подарка, спичечный коробок и т. д.
Прямоугольный параллелепипед, как и любой другой, состоит из:
- основания;
- граней — противоположных, т. е. не имеющих общего ребра, и смежных — тех, которые имеют общее ребро;
- ребер — отрезков, соединяющих соседние вершины объемной шестигранной фигуры;
- диагоналей — отрезков, соединяющих противоположные вершины;
- диагоналей граней;
- высоты — отрезка, соединяющего верхнее и нижнее основания шестигранной призмы.
В некоторых базовых задачах просят найти количество составляющих элементов шестигранной призмы. Эти числа можно запомнить: объемная фигура состоит из 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
Определение
Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют его длину, ширину и высоту.
Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
Вне зависимости от вида параллелепипеда, все они обладают 4 свойствами:
- Противолежащие грани равны друг другу и попарно параллельны.
- Все 4 диагонали шестигранника пересекаются в одной точке, которой делятся пополам. Любой отрезок, проходящий через середину диагонали, и концы которого принадлежат поверхности, также делится пополам.
- Фигура симметрична относительно середины диагонали.
- Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений.
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми этими свойствами и несколькими специфичными, свойственными только ему.
- Все стороны — прямоугольники.
- Все углы, состоящие из двух граней, равны 90°.
- Любую сторону можно принять за основание.
- Если все ребра равны и перпендикулярны, то такой шестигранник считается кубом.
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Определение
Объем прямоугольного параллелепипеда равен длине, умноженной на ширину и высоту.
(V=acdot bcdot h,)
где V — объем, a — длина, b — ширина, h — высота.
Примечание
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней.
(S_{бп}=2(ab+ac))
Примечание
Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковых граней и оснований.
(S_{пп}=2(ab+bc+ac))
Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда
В соответствии с одним из основных свойств параллелепипеда, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Запишем в виде формулы:
(d^2=a^2+b^2+c^2)
Следовательно, длина диагонали равна квадратному корню из суммы трех измерений фигуры:
(sqrt{a^2+b^2+c^2})
Длина, ширина и высота, как правило, вычисляются через формулу объема:
(a=frac V{bh},;b=frac V{ah},;h=frac V{ab})
Существует и второй вариант, как возможно найти одно из измерений. Если известно смежное ему измерение и диагональ общей стороны шестигранника, то можно вычислить вторую сторону через теорему Пифагора или по свойствам диагонали.
Пространственная фигура под названием параллелепипед имеет несколько числовых характеристик, в том числе поверхности. Чтобы ее определить, нужно найти площадь каждой грани параллелепипеда и сложить получившиеся величины.
Начертите параллелепипед с помощью карандаша и линейки, расположив основания горизонтально. Это классическая форма представления фигуры, с помощью которой можно наглядно показать все условия задачи. Тогда решить ее будет гораздо легче.
Посмотрите на рисунок. У параллелепипеда – шесть попарно параллельных граней. Каждая пара представляет собой равные двухмерные фигуры, которые в общем случае являются параллелограммами. Соответственно, их площади также равны. Таким образом, полная поверхность складывается из суммы трех удвоенных величин: площади верхнего или нижнего основания, фронтальной или задней грани, правой или левой грани.
Чтобы найти площадь грани параллелепипеда, нужно рассмотреть ее как отдельную фигуру с двумя измерениями, длиной и шириной. По общеизвестной формуле площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
У прямого параллелепипеда только основания являются параллелограммами, все его боковые грани имеют форму прямоугольника. Площадь этой фигуры получается путем умножения длины на ширину, поскольку она совпадает с высотой. Кроме того, существует прямоугольный параллелепипед, все грани которого – прямоугольники.
Куб – тоже параллелепипед, который обладает уникальным свойством – равенством всех измерений и числовых характеристик граней. Площадь каждой его стороны равна квадрату длины любого ребра, а полная поверхность получается умножением этой величины на 6.
Форму параллелепипеда с прямыми углами часто можно встретить в повседневной жизни, например, при строительстве домов, создании предметов мебели, бытовой техники, детских игрушек, канцелярских принадлежностей и т.д.
Пример: найдите площадь каждой боковой грани прямого параллелепипеда, если известно, что высота равна 3 см, периметр основания – 24 см, а длина основания больше ширины на 2 см.Решение.Запишите формулу периметра параллелограмма P = 2•а + 2•b. По условию задачи b = а + 2, следовательно, P = 4•а + 4 = 24, откуда а = 5, b = 7.
Найдите площадь боковой грани фигуры со сторонами 5 и 3 см. Это прямоугольник:Sб1 = 5•3 = 15 (см²).Площадь параллельной боковой грани, по определению параллелепипеда, также равна 15 см². Осталось определить площадь другой пары граней со сторонами 7 и 3:Sб2 = 3•7 = 21 (см²).
На прошлых занятиях мы рассматривали плоские фигуры.
В реальности же каждый предмет, какой бы он формы не был, занимает некоторую часть пространства.
Даже у самого тонкого листа бумаги имеется толщина.
Если взять стопку таких листов, то объем стопки бумаги будет хорошо заметен.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и их свойства в пространстве, называется стереометрией.
Слово стереометрия происходит от древнегреческого «стериос»- объемный, пространственный и «метрио»- измерять.
Базовыми фигурами в пространстве, как и на плоскости, является точка, прямая и плоскость, из которых образуются объемные геометрические фигуры, тела, пространства.
Геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольников, называют многогранником.
Существует огромное множество многогранников: выпуклые, невыпуклые, правильные и т.д.
На данном уроке познакомимся с выпуклым прямоугольным многоугольником, который называется параллелепипед.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выясним, как прямоугольный параллелепипед выглядит и из каких элементов он состоит.
Рассмотрим его свойства.
Научимся изображать данный многоугольник на плоскости и вычислять площадь его поверхности.
Разберем несколько примеров решения задач.
Каждый может себе представить и знает, как выглядят детские кубики.
С кубиками и конструктором из брусочков прямоугольной формы многие знакомы с раннего детства: строили домики, башенки, дороги, затем все это радостно рушили.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Всем известно, как выглядит коробка конфет или долька шоколада. Многие получали подарки в красивой красочной коробке с ярким бантом, читали книги с увлекательными рассказами и сказками.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Все эти знакомые вам предметы — это объемные тела, которые в реальности можно посмотреть, потрогать со всех сторон.
Если обратим внимание на форму, то заметим, что все изображенные объекты имеют некоторое сходство, они представляют собой прямоугольный параллелепипед.
Слово «параллелепипед» происходит от двух греческих слов: «параллелос» — идущие рядом и «опипедон» — плоскость.
Прямоугольный параллелепипед-это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести прямоугольников.
Прямоугольный параллелепипед — это пространственная фигура.
Плоские фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, треугольник изобразить на плоскости легко, они являются её частью.
Любую объемную фигуру изобразить на плоскости затруднительно.
Многогранник необходимо изобразить так, чтобы была заметна объемность фигуры.
Для этого все линии многогранника, невидимые глазу, принято изображать на рисунке пунктирными линиями, а видимые — сплошными линиями.
Пунктирная линия дает возможность понять наблюдателю, как расположен многогранник и определить, откуда необходимо смотреть на него.
Если мы изобразим параллелепипед только сплошной линией, то на рисунке будут изображены различные четырехугольники, соединенные между собой, а объемного представления многоугольника данный рисунок не даст.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Даже если нам известно, что изображен прямоугольный параллелепипед, то все равно непонятно какой стороной расположен многогранник к наблюдателю.
Если невидимые линии на рисунке изобразить пунктирными линиями, то у фигуры сразу будет заметен объем.
Прямоугольный параллелепипед изображают так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Прямоугольники, из которых состоит прямоугольный параллелепипед, называют гранями, причем противоположные грани его попарно равны.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Верхняя грань равна нижней, правая равна левой, передняя грань равна задней.
Грань, на которой стоит прямоугольный параллелепипед, называют нижним основанием, противоположную грань называют верхним основанием параллелепипеда.
Остальные четыре грани называют боковыми гранями.
Стороны граней называют ребрами параллелепипеда.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Концы ребер, т.е. вершины граней, называют вершинами параллелепипеда.
На рисунке вершины изображены точками.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Прямоугольный параллелепипед имеет три линейные величины (три измерения): ширину, длину и высоту.
Величину прямоугольного параллелепипеда определяют длинами трех ребер, исходящих из одной вершины.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если все три величины прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называют кубом.
Другими словами, куб — это частный случай параллелепипеда.
Куб — это правильный многоугольник, состоящий из шести одинаковых квадратов.
Куб по-другому называют правильный гексаэдр (от греческого «hex»- шесть и «hedra»- грань).
Куб выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Он имеет все те же элементы, что и прямоугольный параллелепипед.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Все шесть граней куба равны, следовательно, и все 12 ребер между собой равны.
Куб так же имеет 2 основания: нижнее, на котором он стоит, и противоположное ему — верхнее.
Остальные четыре его грани — это боковые грани.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Платоновские тела
|
Тетраэдр |
Гексаэдр |
Октаэдр |
Додекаэдр |
Икосаэдр |
|
|
Внешний вид |
 |
 |
 |
 |
 |
|
Число и вид граней |
4 правильных треугольника |
6 квадратов |
8 правильных треугольников |
12 правильных пятиугольников |
20 правильных треугольников |
|
Число ребер |
6 |
12 |
12 |
30 |
30 |
|
Число вершин |
4 |
8 |
6 |
20 |
12 |
|
Число ребер, сходящихся в вершине |
3 |
3 |
4 |
3 |
5 |
|
Символьное значение |
Огонь |
Земля |
Воздух |
Все сущее (все мироздание) |
Вода |
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если посмотреть вокруг, то мы можем заметить огромное множество объектов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда или напоминающих его форму.
Так, например, большинство зданий и помещений, шкаф (тумбочка), столешница, аквариум, коробка, кирпичи и многое другое представляют собой прямоугольный параллелепипед.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Такой многогранник имеет широкое применение в различных областях нашей жизни, и это неспроста:
1) прямоугольная форма параллелепипеда удобна для деления целого на части
2) объекты прямоугольной формы легко надстраивать и совмещать
3) прямоугольный параллелепипед является одним из самых устойчивых многогранников
Часто приходится определять площадь поверхности объекта, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
Давайте разберемся, как и с помощью каких формул можно вычислить площадь его поверхности.
Допустим, у нас есть коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда.
Попробуем изобразить развертку данного геометрического тела.
Развертка параллелепипеда — это изображение его поверхности в виде плоской фигуры, составленной из двух равных оснований: прямоугольников и четырех боковых граней (прямоугольников, попарно равных друг другу).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Площадь этой развертки- это и есть площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Так как прямоугольный параллелепипед состоит из шести граней, имеющих форму прямоугольников, причем противоположные грани равны по величине, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда будет равна сумме площадей всех его шести граней.
Пусть для нашего прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, имеют значения а, b, h.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
а— ширина прямоугольного параллелепипеда
b— длина прямоугольного параллелепипеда
h— высота прямоугольного параллелепипеда
Найдем площадь всех граней.
Воспользуемся формулой для расчета площади прямоугольника: площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину.
Ребра, лежащие напротив ребер а, b, h, будут иметь такие же значения длины, так как противолежащие ребра прямоугольного параллелепипеда равны.
В таком случае получаем:
1) Площадь нижнего основания равна произведению (a ∙ b)
2) Площадь верхнего основания также равна произведению (a ∙ b)
3) Площадь левой боковой и правой боковой граней равны, как противолежащие, площадь каждой из них определяется произведением (b ∙ h)
4) Передняя и задняя боковые грани равны, а значение площади каждой из них будет определяться произведением (а ∙ h)
Сложим площади всех граней прямоугольного параллелепипеда, получим общую площадь его поверхности.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Упростим выражение, вынесем 2 за скобку.
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда будет выглядеть так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Площадь двух оснований прямоугольного параллелепипеда (это два прямоугольника) найдем по формуле:
Sосн = 2 (a ∙ b).
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
Sбок = 2h ∙ (a + b).
В нашем случае а, b— это стороны основания, h— это высота прямоугольного параллелепипеда (боковое ребро).
Так как основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, то периметр основания прямоугольного параллелепипеда определяется равенством
Роснов = 2 ∙ (a + b).
Подставим Роснов в формулу Sбок = 2h ∙ (a + b) вместо выражения 2 ∙ (a + b).
Тогда площадь боковой поверхности можно найти так:
Sбок = Роснов ∙ h.
Определим площадь поверхности куба.
Известно, что куб — это прямоугольный параллелепипед, поверхность которого состоит из шести одинаковых граней, имеющих форму квадрата.
Чтобы найти площадь поверхности куба, необходимо сложить площади всех его граней.
Площадь одной грани куба найдем по формуле площади квадрата:
S = a2
а— это сторона квадрата (ребро куба).
Так как все 6 граней куба представляют собой равные по площади квадраты, следовательно, чтобы найти площадь всей поверхности куба, необходимо площадь одной грани умножить на их количество.
Формула площади поверхности куба выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим решение нескольких практических задач.
В процессе любого строительства или ремонта очень часто встает вопрос о том, сколько необходимо потратить строительного и отделочного материала или как рассчитать расход краски.
Задача №1.
Какое количество краски понадобится, чтобы полностью покрасить бак прямоугольной формы?
Ширина бака 2 метра, длина 3 метра, высота 1 метр.
Известно, что на 1 м2 расходуется 200 г краски.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы рассчитать количество краски, которое нужно затратить на покраску бака, необходимо определить площадь окрашиваемой поверхности, затем, зная норму расхода краски на единицу площади, можно рассчитать расход краски на всю окрашиваемую поверхность.
Пусть m1— масса краски, которая расходуется на 1 м2
m2— масса краски, которая необходима для покраски всего бака.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Задача №2
Сколько квадратных метров стекла понадобится на изготовление аквариума кубической формы длиной 100 см?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Для вычисления площади поверхности аквариума в квадратных метрах необходимо длину аквариума перевести из сантиметров в метры.
Вспомним, 1 м = 100 см.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если бы аквариум необходимо было изготовить только из боковых стенок и основания, то из стекла пришлось бы вырезать всего 5 квадратных граней.
В таком случае формула для вычисления площади поверхности аквариума приняла бы вид
S = 5 а2.
Задача №3
Хозяйка решила покрасить стены в комнате.
Вычислите площадь поверхности стен комнаты, в которой имеется дверной проем площадью 2 м2 и оконный проем площадью 1 м2.
Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Ширина комнаты 3 метра, длина комнаты 4 метра, высота комнаты 3 метра.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пусть Sc— общая площадь стен комнаты.
Sд— площадь дверного проема.
Sо— площадь оконного проема.
S— площадь стен комнаты за исключением площади дверного и оконного проемов.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Читайте также
На чтение 4 мин Просмотров 4.5к. Опубликовано 12 декабря, 2020
Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:
Виды параллелепипеда
Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.
Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.
При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.
В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:
- Прямой — фигура, у которой боковые грани являются прямоугольниками;
- Прямоугольный — все грани прямоугольники, не только боковые, но и основания. Объемный прямоугольник — это т есть такой параллелепипед.
- Наклонный — боковые грани находятся по отношению к основанию под углами, отличными от 900;
- Ромбоэдр — все грани представляют собой равные ромбы;
- Куб — все грани квадратны.
Свойства параллелепипеда
Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:
- Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам;
- Параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей;
- Любой отрезок, соединяющий две точки на гранях параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится пополам;
- Противоположные грани равны и параллельны (вытекает из определения);
- Сумма квадратов измерений равна квадрату диагонали.
Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.
Основные формулы параллелепипеда
Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.
Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. Sб=Ро∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:
H – высота параллелепипеда;
Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.
Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.
Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле Sп=Sб+2Sо.
Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь Sо рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.
Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=Sо∙h
Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:
Sб=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.
Площадь полной поверхности равна Sп=2(ab+bc+ac);
Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.
Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.