Как найти равенство в уравнении

Понятие равенства, знак равенства, связанные определения

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Что такое равенство

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты   и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например:  и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как =.Такое обозначение является общепринятым.

Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5=5. Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: PАВС=6 м.

Определение 1

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠, т.е. по сути зачеркнутый знак равно.

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Составим равенство 7=7. Числа 7 и 7, конечно, являются равными, а потому 7=7 – верное равенство. Равенство 7=2, в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Определение 2

• свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
• свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
• свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

• a=a;
• если a=b, то b=a;
• если a=b и b=c, то a=c.

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 

2+2+2=4+2=6 — двойное равенство, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| — пример четвертного равенства.

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Например, записанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 обозначает равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, а в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.

Реферат
от 1 дня / от 700 р.

Числовые равенства, свойства числовых равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу bтолько в тех случаях, когда разность a−b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a=a;
• свойство симметричности: если a=b, то b=a;
• свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3,  437=437 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства

a−a=0для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=0. Докажем, что b−a=0.

Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, 

b−a=0, следовательно: b=a.

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то  81=32.

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b=0 и b−c=0.

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a−c=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c  запишем в виде a+0−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма 

(a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b=0 и b−c=0, верно равенство a−c=0, откуда a=c.

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c  при любом c.

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность (a+c)−(b+c).
Это выражение легко преобразуется в вид (a−b)+(c−c).
Из a=b по условию следует, что a−b=0 и c−c=0, тогда (a−b)+(c−c)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, 

a+c=b+c;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c≠0, тогда и a:c=b:c.

Доказательство 5

Равенство верно: a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;

Определение 7

При  a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны. 
Запишем: когда a≠0, b≠0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a=bприбавим число c, а к равенству c=d — число b, итогом станут  верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и  три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство:  почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

a=a.

Если a=b, то b=a.

Если a=bи b=c, то a=c.

Если a=b, то a+c=b+c.

Если a=b, то a·c=b·c.

Если a=bи с≠0, то a:c=b:c.

Если a=b, a=b, a≠0 и b≠0, то 1a=1b.

Если a=b и c=d, то a·c=b·d.

Если a=b, то an=bn.

Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.

035. Равенства. Тождества. Уравнения

Равенство – это два выражения, между которыми стоит знак «=» (равно). Например, – это равенство, где – это левая часть равенства, – это правая часть равенства.

Свойства равенств:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Равенства бывают: Числовые или С переменными.

Числовое равенство может быть Верным или Неверным.

Например, 1) ; – это верные числовые равенства; ; – это неверные числовые равенства.

2)  – это равенство с переменными. Переменные и в этом равенстве могут принимать различные числовые значения. Если а , то – это верное числовое равенство. Если а , то – это неверное числовое равенство.

Тождество – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при любых значениях переменных.

Например, ; ; , если ; , если – это тождества.

Уравнение – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при определенных значениях переменных.

Так, – это уравнение с одной переменной ,
Где и – это алгебраические выражения; – это переменная или неизвестная.

Например, – это уравнение с одной перемен-ной ; – это уравнение с двумя переменными и .

Корень (решение) уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение будет верным числовым равенством.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Выполним тождественные преобразования: . Это уравнение имеет один единственный корень . Только если уравнение будет верным числовым равенством: , или .

Ответ. .

Пример 2. Найдите корни уравнения .

Решение. .

– это множество корней уравнения.

Ответ. .

Пример 3. Найдите корни уравнения .

Решение. , следовательно, это уравнение не имеет действительных корней (не имеет решений в области действительных чисел).

Ответ. Æ.

Пример 4. Найдите решение уравнения .

Решение. Уравнение имеет бесчисленное множество корней (решений). Любое неотрицательное число – это решение данного уравнения.

Ответ. .

Область определения Уравнения (или область допустимых значений уравнения (ОДЗ или )) – это множество значений переменной , при которых имеют смысл (определены) левая и правая части уравнения.

Чтобы найти ОДЗ уравнения , нужно найти пересечение множеств, на которых определены заданные алгебраические выражения и .

Пример 5. Найдите область допустимых значений уравнения .

Решение. Найдем ОДЗ левой и правой части уравнения.

ОДЗ левой части уравнения – это все действительные числа, кроме :

.

ОДЗ правой части уравнения – это все положительные числа :

.

ОДЗ уравнения – это пересечение множеств и :

Ответ. .

Два уравнения и называются Равносильными (эквивалентными), если множества их корней (решений) совпадают: ( – это знак эквивалентности (равносильности)).

Например, 1) уравнения и – эквивалент-ны, т. к. эти уравнения имеют корень: ;

2) уравнения и не равносильны, т. к. уравнение имеет только один корень: , а уравнение имеет два корня: ; .

Рассмотрим некоторые эквивалентные преобразования, которые удобно использовать при решении уравнений.

Таблица 4. 1 – Эквивалентные преобразования уравнений

В процессе решения уравнений при помощи эквивалентных преобразований, необходимо:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения;

2) проверить, принадлежат ли полученные значения ОДЗ исходного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения: . Преобразуем уравнение, для этого перенесем все члены уравнения в левую часть. Получим уравнение . Корни этого уравнения: ; . Но корень не принадлежит области допустимых значений (ОДЗ). Поэтому – это посторонний корень, который не нужно рассматривать. Решением уравнения будет .

Ответ. .

Уравнения бывают различных видов. Приведем примеры некоторых уравнений:

ü линейные: ;

ü квадратные: ;

ü рациональные (высших степеней):

;

ü иррациональные: ;

ü с модулем: ;

ü логарифмические: ;

ü показательные: ;

ü тригонометрические: и другие.

Предварительное исчисление по алгебре

. Как решить неравенства, в которых обе стороны не равны нулю и в которых используются абсолютные значения и дроби?

Ответ Особо Лайма показывает более простой способ, который работает в вашем конкретном случае, но общий метод, который работает всегда (но в некоторых конкретных случаях, в том числе и в этом, этот метод будет дольше выполнять) — решить отдельно в интервалы, где выражения абсолютного значения могут быть записаны без использования абсолютных значений.

Обратите внимание, что $|x-2|$ равно $-(x-2)$, когда $x-2 leq 0$, и $|x-2|$ равно $(x-2)$, когда $ x-2 geq 0.$ Это просто определение абсолютного значения (т. е. $|u|$ равно $-u$, когда $u leq 0$, и $|u|$ равно $u$, когда $u geq 0$; теперь перепишем это, заменив $u$ на $x-2).$ Таким образом, немного упрощая, мы имеем $|x-2|$, равный $-x+2$, когда $x leq 2$ и равный в $x-2$, когда $x geq 2.$ То есть версия $|x-2|$ с неабсолютным значением изменяет свою форму при $x=2.$

Таким же образом не -абсолютная версия $|2x + 8|$ изменяет свою форму, где $2x + 8 = 0,$ или $x = -4.$ Для $x leq -4$ мы имеем $|2x + 8| = -2x — 8$ и для $x geq -4$ имеем $|2x + 8| = 2x + 8. $

Объединяя результаты двух последних абзацев, мы видим, что все дробное выражение, с которым вы имеете дело, имеет три различных формы выражения в трех интервалах, которые определяются точками $x = 2$ и $x = -4 ,$ места, где внутренности хотя бы одного из выражений абсолютного значения равны нулю.

Заменить $|x-2|$ на $(-x+2)$ и заменить $|2x + 8|$ на $(-2x — 8). $

$$frac{(-x + 2) ) + 3}{4 — (-2x — 8)} ; geq; -5$$

$$frac{-x + 5}{2x + 12} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те полученные значения, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $x leq -4.$

Замените $|x-2|$ на $(-x+2)$ и замените $| 2x + 8|$ с $(2x + 8).$

$$frac{(-x + 2) +3}{4 — (2x+8)} ; geq; -5$$

$$frac{-x + 5}{-2x — 4} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те значения, которые вы получили, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $-4 leq x leq 2.$

Замените $|x-2|$ на $(x-2 )$ и замените $|2x + 8|$ на $(2x + 8).$

$$frac{(x — 2) + 3}{4 — (2x + 8)} ; geq; -5$$

$$frac{x + 1}{-2x — 4} ; geq; -5$$

Решите это обычным способом, а затем включите ТОЛЬКО те полученные значения, которые ТАКЖЕ удовлетворяют $x geq 2.$

три интервала.

Хотя это кажется довольно длинным, один и тот же метод работает как для уравнений, так и для неравенств, а также когда используются экспоненциальные и/или логарифмические и/или тригонометрические функции (и другие возможности). Просто разделите числовую строку на интервалы таким образом, чтобы в каждом интервале вы могли заменить ВСЕ выражения абсолютного значения внутренней частью выражения абсолютного значения или отрицательным значением внутренней части выражения абсолютного значения, в зависимости от ситуации. 92 leq frac{1}{4}$$

$$-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$$

В случае A мы можем использовать только те значения, указанные выше, которые также удовлетворяют $-frac{1}{sqrt 2} < x < frac{1}{sqrt 2}.$ Поскольку $frac{1}{sqrt 2}$ составляет приблизительно 0,707$ (все, что нам нужно знать, это то, что это больше $frac{1}{2}$, чтобы сделать следующий вывод, и это можно увидеть, сравнив квадраты $frac{1}{ sqrt 2}$ и $frac{1}{2},$ или наблюдая, какой из знаменателей $2$ и $sqrt 2$ больше), это означает, что все эти значения подходят для включения в подслучай A. , Следовательно, значения $x$, которые мы получаем из подслучая A, удовлетворяют $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}. $ 92 geq frac{3}{4}$$

$$x leq -frac{sqrt 3}{2} ;; text{ИЛИ} ;; x geq frac{sqrt 3}{2}$$

Поскольку мы находимся в подслучай B, мы можем использовать только те значения выше, которые также удовлетворяют $x leq -frac{1}{sqrt 2}$ ИЛИ $x geq frac{1}{sqrt 2}.$ Так как $frac{1}{sqrt 2} < frac{sqrt 3}{2}$ (это можно увидеть, возведение в квадрат каждой из этих положительных дробей), и, следовательно, $-frac{sqrt 3}{2} < -frac{1}{sqrt 2},$ следует, что все значения $x$, которые мы получили из Подслучай B подходит для включения в подслучай B. Чтобы убедиться в этом, поможет провести числовую прямую, пометив следующие точки в порядке слева направо: $-frac{sqrt 3}{2}, ;$ $-frac{1}{sqrt 2},;$ $0,;$ $frac{1}{sqrt 2},;$ $frac{sqrt 3}{2} .$

Следовательно, значения $x$, которые мы получаем при объединении подслучая A и подслучая B, равны $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$ вместе с $x leq -frac{sqrt 3}{2}$ вместе с $x geq frac{sqrt 3}{2}. $

Таким образом, значения $x$, которые мы получаем в случае 1, равны объединенные значения $x$ (только что перечисленные), которые ТАКЖЕ удовлетворяют $-1 leq x leq 1$ (исходное условие, с которого мы начали для случая 1). Это дает $-frac{1}{2}leq x leq frac{1}{2}$ вместе с $-1 leq x leq -frac{sqrt 3}{2}$ вместе с $frac{sqrt 3}{2} leq x leq 1.$ 92 — 1), право| ;; экв;; 1$$

$$слева | 1 , право| ; экв;; 1$$

Так как это верно для всех значений $x,$, мы не получаем никаких ограничений на $x$ в Случае 2, и, таким образом, значения $x$ из Случая 2 являются просто ограничением Случая 2, а именно $x leq -1$ OR $x geq 1.$

Объединение всех значений $x$, полученных в случае 1, со значениями, полученными в случае 2, дает $x leq -frac{sqrt 3}{2} $ OR $-frac{1}{2} leq x leq frac{1}{2}$ OR $x geq frac{sqrt 3}{2}.$ См. этот график для визуализации в чем дело. 92 — 1| geq frac{1}{2}$ после определения координат некоторых подходящих точек на вашем графике.

Решение уравнений и неравенств | Техасский шлюз

Давайте начнемРешение уравнений с одной переменной: часть 1Решение уравнений с одной переменной: часть 2Преобразование линейных уравненийПреобразование линейных неравенствСловарный запас Занятие в журнале

Стандарты TEKS и ожидания учащихся , с техникой и без нее, линейные уравнения и оценить обоснованность их решений. Студент должен:

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Натуральные числа и действия над ними
5. Уравнения

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 522,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 593,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 676,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 878,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1236,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1254,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 457,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1130,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1212,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1220,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 890,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 914,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1038,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 205,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 828,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1155,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1224,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1299,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1411,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1514,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 80,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 95,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 110,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 199,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 319,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 350,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 662,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 794,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 870,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1189,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 59,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 142,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 207,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 213,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 369,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 373,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 477,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 521,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Математика, 2 класс

Урок №26. Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое уравнение, корень уравнения?

— Как решить уравнение?

Глоссарий по теме:

Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение, значит найти его корни.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.– 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – С. 80-81.

2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – С. 60.

3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – С. 60.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы умеете читать буквенные выражения. Например:

Вы уже знаете, что равенства бывают верные и неверные.

Рассмотрим верное равенство с окошком: + 4 = 12

Запишем вместо окошка маленькую латинскую букву , как в буквенное выражение. Какое число надо поместить вместо буквы х, чтобы равенство стало верным?

Это число 8. Получили верное равенство: сумма чисел 8 и 4 равна 12.

х + 4 = 12

х = 8

8 + 4 = 12

Равенство с буквой , которое мы записали – это уравнение.

Неизвестное число обозначается маленькими латинскими буквами, как и в буквенном выражении.

Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство, называется корень уравнения.

Решим уравнение 10 – d = 6 способом подбора.

Возьмём число 5. Сейчас проверим, верно ли подобрали число. Заменим d в уравнении числом 5. Получим равенство: 10 – 5 = 6. Оно неверно. Значит, число подобрали неверно.

Попробуем взять другое число. Например, 4. При подстановке его вместо d получили верное равенство: 10 – 4 = 6. Значит, число четыре – корень уравнения, его решение.

Сейчас мы с вами рассмотрим, как по схеме составить уравнение. Перед нами такая схема. Изучим, что обозначает каждое число в схеме. Число 27 обозначает «целое». Оно состоит из двух частей. Первая «часть» – это число 20, вторая «часть» – это число х.

20 х

27

Воспользуемся правилом,

ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ

Запишем равенства:

20 + x = 27

27 – x = 20

Рассмотрим другой пример. Перед вами другая схема. Изучим, где на схеме целое, а где части: х — это «целое», а 30 и 6 – это части.

30 6

х

Воспользуемся правилом,

Вывод: Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Когда решение уравнения находится легко, пользуются способом подбора. Нужно подобрать такое число, чтобы получилось верное равенство.

Тренировочные задания.

1. Соедините уравнение с его решением.

Правильные ответы:

2. Выберите и подчеркните среди математических записей уравнения.

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Правильные ответы:

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Равенство

• Свойства равенств

Два числовых или буквенных выражения, соединённых знаком  = (равно), составляют равенство. Выражение, стоящее слева от знака  =, называется левой или первой частью равенства, а стоящее справа от него — правой или второй частью равенства:

Части равенства можно менять местами. Например, если

10x — 7 = 15 + 3x,

то и

15 + 3x = 10x — 7.

Равенства делятся на два типа: тождества и уравнения.

Свойства равенств

Все равенства имеют два свойства, на которых основано преобразование и решение уравнений:

1) Обе части равенства можно увеличить или уменьшить на одно и то же число или алгебраическое выражение – равенство от этого не нарушится.

2) Обе части равенства можно умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение (не равное нулю) – равенство от этого не нарушится.