Как найти равенство прямоугольных треугольников - Avtoru.top

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

1) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AB = A₁B₁иAC = A₁C₁.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AC = A₁C₁, C = C₁

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, B = B₁

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰, то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказательство

Дано: ABC, A₁B₁C₁, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Так как A = A₁, то ABC можно наложить на A₁B₁C₁так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A₁C₁ и A₁B₁. При этом вершина B совместится с вершиной B₁, потому что AB = A₁B₁. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C₁. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C₂лучаA₁C₁, то получим равнобедренный треугольник C₁B₁C₂.

В C₁B₁C₂ углы при основании не равны (C₂ — острый, а C₁ — тупой, так как он смежный с угломB₁C₁A₁, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C₁. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A₁B₁C₁, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 261,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 275,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 357,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 379,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 433,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 482,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 816,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1034,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1175,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства по двум катетам

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AC = A₁C₁, C = C₁

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Теорема

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, B = B₁

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказательство

Дано: ABC, A₁B₁C₁, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Так как A = A₁, то ABC можно наложить на A₁B₁C₁ так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A₁C₁ и A₁B₁. При этом вершина B совместится с вершиной B₁, потому что AB = A₁B₁. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C₁. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C₂ луча A₁C₁, то получим равнобедренный треугольник C₁B₁C₂.

В C₁B₁C₂ углы при основании не равны (C₂ — острый, а C₁ — тупой, так как он смежный с углом B₁C₁A₁, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C₁. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A₁B₁C₁, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения

Содержание:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Вы уже знаете три признака равенства треугольников. Поскольку часто приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками, то выделяют пять признаков равенства прямоугольных треугольников. Сформулируем и докажем их.

Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)

Дано:

Доказать:

Доказательство:

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: (рис. 264).

Доказать:

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что следует, что Тогда по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)

Дано: (рис. 265).

Доказать:

Доказательство:

Пятый признак (по катету и гипотенузе).

Дано: (рис. 266).

Доказать:

Доказательство:

Приложим треугольников А₁В₁С₁ к треугольнику АВС так, чтобы совместились равные катеты А₁С₁ и АС, а вершины В₁ и В лежали по разные стороны от прямой АС. Треугольник А₁В₁С₁ займет положение треугольника АВ₂С. Так как B2CB — развернутый и АВ₂ = АВ, то треугольник В₂АВ — равнобедренный, катет АС — его высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, будет и медианой. Тогда В₂С=СВ и треугольники ABC и АВ₂С равны по двум катетам.

Отсюда

Пример:

На рисунке 267

Доказать равенство треугольников: а) АВС и ADC б) АОВ и COD.

Доказательство:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. У них гипотенуза АС — общая, катеты AD и ВС равны по условию. Тогда АВС =ADC по катету и гипотенузе.

б) Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство сторон АВ и CD (доказано в пункте а). Тогда АОВ =COD. по катету (АВ = CD) и противолежащему острому углу (AOB =COD как вертикальные).

Пример:

Дан треугольник ABC, АК и СМ — его высоты, проведенные к боковым сторонам, О — точка их пересечения (рис. 268). Доказать, что если треугольники АОМ и СОК равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

Доказательство:

Так как AOM =COK как вертикальные, то MAO =KCO (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОК следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС — равнобедренный,OAC =OCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда BAC =BCA как составленные из равных углов. Треугольник ABC равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Соотношения в прямоугольном треугольнике
Сумма углов треугольника
Внешний угол треугольника
Свойство точек биссектрисы угла
Задачи на построение по геометрии
Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
Перпендикулярные прямые в геометрии
Признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Доказательства первых трех признаков равенства прямоугольных треугольников

Первый признак равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака

Поскольку угол между катетами прямой , то два рассматриваемых треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.

Доказательство первых трёх признаков равенства прямоугольных треугольников

Второй признак равенства прямоугольных треугольников

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство второго признака

Поскольку угол, прилежащий к катету, прямой — то рассматриваемые треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Третий признак равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство третьего признака

Поскольку второй угол в треугольнике прямой, то третий угол равен разности 90° минус первый угол. Также и в другом треугольнике: третий острый угол равен разности 90° минус первый острый угол. И следовательно рассматриваемые треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

источники:

http://www.evkova.org/priznaki-ravenstva-pryamougolnyih-treugolnikov

http://blitztest.ru/geometriya/priznaki-ravenstva-treugolnikov/dokazatelstva-treh-priznakov-ravenstva-pryamougolnyh-treugolnikov

Источник

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна

90°

Сумма углов треугольника равна

180°

, а прямой угол равен

90°

, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника

∠

(1) (+)

∠

(2 =)

90°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в

30°

, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в ()

30°

()).

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC), в котором

∠

(A) — прямой,

∠

(B =)

30°

, и значит, что

∠

(C =)

60°

Докажем, что (BC = 2 AC).
Приложим к треугольнику (ABC) равный ему треугольник (ABD), как показано на рисунке.

Получим треугольник (BCD), в котором

∠

(B =)

∠

(D =)

60°

, поэтому (DC = BC). Но (DC = 2 AC). Следовательно, (BC = 2 AC).

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен

30°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 314.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 314.

Прямоугольные треугольники, наравне с равнобедренными и равносторонними, занимают свое место среди треугольников, обладая особым набором специфичных свойств, характерных только для этого вида треугольников. Рассмотрим несколько теорем о равенстве прямоугольных треугольников, которые существенно упростят решение некоторых задач.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников вытекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их,скорее расширяет, при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.

Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.

Рис. 1. Равенство по двум катетам

Доказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и величина углов у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак

Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.

Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).

Третий признак

Два прямоугольных треугольника равны, если равны катет и противолежащий острый угол одного треугольника катету и противолежащему углу другого треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству

Сумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.

$$a+b=c+d$$

Углы a и d равны между собой по условию задачи.

$$a=d$$

$$a+b=c+a$$

Вычтем из обеих сторон выражения угол a

$$b=c$$

То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых угла равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.

Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.

Четвертый признак

Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.

Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а, значит, такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

Пятый признак

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников будут равны между собой. Это вытекает из теоремы Пифагора.

Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузе

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен катету другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой. А это соответствует третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что мы узнали?

Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.