Как найти расстояние от точки до функции - Avtoru.top

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Октябрь 19, 2013 by Вячеслав Моргун

Нам нужно найти координаты точки принадлежащей графику функции расстояние от которой до т. M будет наименьшим. Расстояние между двумя точками на плоскости рассчитывается по следующей формуле: $$S= sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$$где ((x_0;y_0)) — это координаты точки M(-2;0), а ((x;y)) -координаты точки, которая принадлежит графику функции, которую нужно найти. Подставим известные координаты в уравнение $$S = sqrt{(x+2)^2+(y-0)^2}$$
В задании стоит слово наименьшее, это уже указывает на необходимость поиска экстремумов, т.е. нужно найти точку минимума функции (S(x;y)), т.е. нудно найти первую производную от расстояния S между точками и приравнять ее к нулю (S’=0). В уравнении x и y принадлежат графику функции, поэтому выразим y через x $$S = sqrt{(x+2)^2+(-sqrt{2-x})^2} = sqrt{(x+2)^2+2-x}$$теперь найдем производную и приравняем ее к нулю. $$S’ = (sqrt{(x+2)^2+2-x})’ = frac{2(x+2)-1}{2*sqrt{(x+2)^2+2-x}} =0$$Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю $$2(x+2)-1=0 =>2x+4-1=0=>x=-frac{3}{2}$$ Получили координату x, подставляем ее в уравнение графика функции и получаем (y = -sqrt{2-x} = -sqrt{2 +frac{3}{2}} = -sqrt{frac{7}{2}}). Получили координаты точки (N(-frac{3}{2};-sqrt{frac{7}{2}})) — это и будет искомая точка. Для полноты расчетов необходимо проверить, является ли эта точка точкой минимума, подставим значение x левее и правее точки минимума в производную и проверим знак производной:
S'(-3) < 0
S'(0) > 0, т.е. найденная нами точка (N(-frac{3}{2};-sqrt{frac{7}{2}})) — точка минимума.

Получим искомое расстояние, подставив координаты этой точки в формулу расстояния $$S_{min} = sqrt{(x+2)^2+y^2} = sqrt{(-frac{3}{2}+2)^2+frac{7}{2}}=sqrt{frac{1}{4}+frac{7}{2}} = frac{sqrt{15}}{2}$$ Наименьшее расстояние между точкой и кривой (S=frac{sqrt{15}}{2})

На рисунке график функции:
(y = -sqrt{2-x}) — черным
(S = sqrt{(x+2)^2+2-x}) — красным
(S_1 = -sqrt{(x+2)^2+2-x}) — зеленым — симметричное отображение графика расстояния относительно от Ox для наглядности (S=|S_1|).

Источник

геометрия — Расстояние от точки до функции

Необходимо написать функцию, которая вычисляет минимальное расстояние от точки p до функции $$f(x) = Asin(Bx + C) + D$$
Написал функцию определяющую расстояние
$$r^2 = (x−p.x)^2 + (f(x) — p.y)^2$$
Производная исходной функции $$f'(x) = ABcos(Bx + C)$$
Пытаюсь найти минимальное значение функции определяющей расстояние
$$(r^2)’ =2x — 2p.x + 2f'(x)f(x) — (2p.y)f'(x) = 0$$
Подставляю значения функций f(x) и f'(x)
$$(r^2)’ = 2x — 2p.x + 2ABcos(Bx+C)(Asin(Bx+C)+D) — (2p.y)ABcos(Bx+C) = 0 $$
$$(r^2)’ = x — p.x + ABcos(Bx+C)(Asin(Bx+C) +D — p.y) = 0 $$
$$x — p.x + ABcos(Bx+C)(Asin(Bx+C) +D — p.y) = 0 $$
Каким образом из данного равенства находится x ? Или возможно есть более действенный способ найти минимальное расстояние либо минимальное значение функции?

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

геометрия
×3,294

задан
21 Апр ’18 19:53

показан
808 раз

обновлен
21 Апр ’18 22:57

Связанные исследования

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Источник

Комментарии преподавателя

Задачи на расстояние от точки до кривой

1. Опорные факты

Что такое расстояние от точки докривой? Точку можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка . – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки и . – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками. Предположим, что на координатной плоскости даны две точки и (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

2. Задача 1

На параболе найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки: . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

или

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции . Найдем абсциссу вершины (см. рис.8).

Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.9):

Рис. 9. Схематический график функции .

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то , отсюда , . Если значения координат известны, вычислим значения . ; Получили ответ ; .

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка — , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка зависит только от , ее координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от . Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

3. Задача 2

На графике функции найти точку , ближайшую к данной точке . Решение.

Сделаем рисунок (см. рис.10).

Рис. 10. График функции .

Заданы координаты двух точек: и .

Найдем расстояние АМ:

или .

— квадратичная функция от . Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

4. Итог

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удается это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

Типовые задачи на производную с иррациональными функциями

5. Техника дифференцирования

Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.

Повторим ее на следующем примере.

Дана функция . Найти .

Напомним, что .

. — постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а . Отсюда, .

Следующее действие – найти производную в конкретной точке.

. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке , а потом подставляем нужное значение.

6. Исследование функции и построение графика (задача 1)

Построить график функции .

Сначала надо попытаться все сделать без производной и понять эскиз графика функции.

1. Интервалы знакопостоянства функции.

: .

Найдем корни (нули) функции: или .

Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью (см. рис.1).

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции .

2. Построить график в окрестности каждого корня.

Функция в точке равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна, значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке функция тоже рана нулю. Значит, функция ведет себя следующим образом (см. рис.2):

Рис. 2. Схематический график функции в окрестности каждого корня.

Точек разрыва нет, и когда , то . Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис.3):

Рис. 3. Схематический график функции при .

Построили эскиз графика функции.

3. Проведем исследование функции с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

отсюда .

Оба значения принадлежат области определения.

Найдем интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис.4):

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.

Итак, — точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-» (см. рис.4). Найдем значение функции в этой точке:

. Точка — точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». Вычислим .

Таким образом, можем построить график функции (см. рис. 5).

Рис. 5. График функции .

7. Решение задачи с параметром

Дано уравнение . Найти положительное значение параметра , при котором уравнение имеет ровно два различных решения.

Решение.

Воспользуемся графиком функции (см. рис.5). При уравнение имеет два различных корня, но по условию поэтому .

Ответ: При .

Итак, мы рассмотрели функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удаленных точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.

8. Исследование функции и построение графика (задача 2)

Построить график функции .

Решение.

Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.

: .

Найдем нули функции.

или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис.6).

Рис. 6. Интервалы знакопостоянства функции.

Итак, знаем, что на промежутке график функции будет находиться над осью , а на промежутке — под осью .

Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис.7).

Рис. 7. Схематический график функции в окрестности каждого корня.

Если , то . График идет следующим образом (см. рис.8):

Рис. 8. Эскиз графика функции .

Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см.рис.8). На все вопросы даст ответ производная.

Проведем исследование функции с помощью производной.

Приравняем производную к нулю, получим:

, отсюда — единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдем интервалы знакопостоянства производной (см. рис.9):

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства производной.

Осталось вычислить значение функции в точке .

. Итак, координаты точки экстремума таковы:

Рис. 10. График функции .

Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.

Например, найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет решений.

Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).

Рис. 10. Множество значений функции.

Ответ: уравнение не имеет решений при всех .

9. Итог

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность. Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/zadachi-na-rasstoyanie-ot-tochki-do-krivoy

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/tipovye-zadachi-na-proizvodnuyu-s-irratsionalnymi-funktsiyami

http://www.youtube.com/watch?v=iOz-YH_48GU

http://www.youtube.com/watch?v=t2tyJqTSn8U

http://znanija.com/task/2437276

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/779ef72b0b73617de61c4dc2c21838459e86176ed8f801b37481d34346768467/56a16f54/KmTYbqVG3TgKGL9iUHPR0em0RlLtpxhP_BVgRtkosSgfwonkMOj8PI__aMfad3WZY71hHToni_M3mTC7aMwq3A%3D%3D?uid=0&filename=666.PDF&disposition=attachment&hash=RaLDsjqwggBTdSmademPwU40mOjt%2BFWdduHVDt9R80E%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=8352787&hid=021760e85b03ef221c6c4091fc10c607&media_type=document&tknv=v2

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	Расстояние от точки до кривой. 05.05.2007, 21:05
06/01/07 23	Пусть на плоскости точка и кривая вида . Так вот, необходимо найти только расстояние от точки до кривой, т.е. вообще говоря, координаты ближайшей точки кривой не нужны. Можно ли эту задачу решить аналитически для любой кривой?

Someone

05.05.2007, 21:19

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

Задача эквивалентна поиску наименьшего значение функции $d(x)=sqrt{(x-x_0)^2+(f(x)-y_0)^2}$ (или её квадрата). «Можно ли эту задачу решить аналитически для любой кривой?» Я ничего о таком не слышал.

Bug	05.05.2007, 22:18
06/01/07 23	Про это я уже думал… Поэтому и написал, что надо найти только расстояние. Т.к. этим методом мы в начале находим , а потом расстояние Но ничего хорошего не получилось. Поэтому я подкмал, а нельзя ли сразу найти расстояние.

PAV

05.05.2007, 23:02

Супермодератор

29/07/05
8248
Москва

Если и можно, то в очень частных случаях, используя очень специальные знания о кривой. На самом деле, едиснтвенный пример, который пришел в голову — это расстояние до прямой, которое можно найти скалярным произведением на единичный вектор, ортогональный этой прямой. Другого примера, чтобы расстояние было бы найти хоть чуточку проще, чем точку, даже и не придумывается.

Someone

05.05.2007, 23:08

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

Ну, может быть, ещё окружность.

Bug	05.05.2007, 23:14
06/01/07 23	Про расстояние до прямой я знаю… Хотелось бы что-нибудь по сложнее. А если вид функции извесетен, то какой может быть ход решения, кроме как искать точку минимума функции расстояния? Например, если рассмотреть функцию вида

Gordmit

05.05.2007, 23:42

Заслуженный участник

19/06/05
486
МГУ

Думаю, в этом случае вряд ли можно придумать что-то проще…

Bug	06.05.2007, 09:14
06/01/07 23	А если необходимо узнать, проходит ли кривая вблизи данной точки. Т.е. для заданной точки и заданного радиуса окрестности , определить проходит ли кривая эту окрестность.

ГАЗ-67	07.05.2007, 06:30
09/06/06 367	Тогда необходимо решить систему нелинейных уравнений .

Hypokeimenon	07.05.2007, 08:00
09/11/06 20	Можно еще попытаться найти точку , до которой расстояние минимально, из условия (естественно не достаточного, но необходимого для большого класса кривых)

ГАЗ-67	08.05.2007, 06:28
09/06/06 367	Честно говоря , я не понял условие . Пожалуйста , сформулируйте более чётко . Быть может удасться входные данные свести к задаче вариационного исчисления с подвижными границами и тогда будем решать .

Zai

08.05.2007, 11:34

Заслуженный участник

11/04/07
1352
Москва

Аналитически можно решить для полинома второго порядка с помощью формул Кардано.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

15 мая 2014

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

[v={S}’={x}’left( t right)]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

[v={S}’={x}’left( 2 right)]

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]

[=-16+32-12+5=9]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]

[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

[{{t}^{2}}-8t+19=3]

[{{t}^{2}}-8t+16=0]

[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]

[t-4=0]

[t=4]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
Схема Бернулли. Примеры решения задач
Комбинаторика в задаче B6: средний тест
Как решать задачи про летающие камни?
B4: счетчики на электричество