Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Расстояние от центра окружности до хорды
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.
Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,
1) Соединим центр окружности с концами хорд.
2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).
Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,
3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.
4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.
Расстояние между хордами окружности найдите
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
| Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
| Свойства хорд и дуг окружности |
| Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
| Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
| Теорема о бабочке |
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
| Фигура | Рисунок | Определение и свойства |
| Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
| Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
| Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
| Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги
У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
| Фигура | Рисунок | Теорема |
| Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
| Пересекающиеся хорды |
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки |
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Расстояние от центра окружности до хорды
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.
Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,
1) Соединим центр окружности с концами хорд.
2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).
Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,
3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.
4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.
http://b4.cooksy.ru/articles/rasstoyanie-mezhdu-hordami-okruzhnosti-naydite
�������
����� ���� ������������ ���� ���������� ����� 40 � 48, ���������� ����� ���� ����� 22. ������� ������ ����������.
���������
��������� ��������� ���������� �������� � ������� ������ ��������� ���������� ������ �� ������������ �������������.
�������
����� AB = 48 � CD = 40 – ������������ �����. ���ģ� ������� ������ R.
������ ������. ������� ������������� CM �� AB. ����� AM = 44, BM = 4, AC² = AM² + CM² = 44² + 22² = 5·22², BC² = CM² + BM² = 500, SABC = 11AB,
R = AC·BC·AB/4SABC = AC·BC/44 = 25.
������ ������. �� ������� ����� ��� ���������, ������� R = 25.
�����
25.
��������� � ���������� �������������
| web-���� | |
| �������� | ������� ����� �� ��������� �.�.������� |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| ������ | |
| ����� | 569 |
$begingroup$
The radius of a circle is 21.4 meter. Find the length of the chord subtended by a central angle of 110 degrees 40 minutes and the distance between two parallel chords on the same side of the center subtended by central angles 118 degrees 40 minutes and 52 degrees 20 minutes.
Progress: I know the radius is 21.4 meter, I set up a triangle but my final answer was wrong.
asked Jul 3, 2012 at 21:32
$endgroup$
3
$begingroup$
Here is a hint:
You have $dfrac{a}{r} = sin alpha$ and $dfrac{b}{r} = cos alpha$.
You may have to take into account that some of these are half what you are interested in.
answered Jul 3, 2012 at 21:47
$endgroup$
3
$begingroup$
the radius of circle is 21.4m find (a) the length of the chord subtended by a central angle of 110°40′ and (b) the distance between two parallel chords on the same side of the central subtended by central angles 118°40′ and 52°20′
answered Oct 29, 2020 at 18:09
$endgroup$
1
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Светило науки — 4901 ответ — 55437 раз оказано помощи
Проводим радиусы в концы хорд.
Рассмотрим треугольник OA₁A₂. Он равнобедренный, так как OA₁ = OA₂ = R = √65. Пусть OHₐ — высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, тогда она и медиана, HₐA₂ = A₁A₂ / 2 = 4.
Рассмотрим треугольник OHₐA₂. Он по построению прямоугольный, по теореме Пифагора OHₐ = √(R² — HₐA₂²) = √(65 — 16) = 7.
Пусть OHₐ пересекает вторую хорду в точке Hb. Так как A₁A₂ || B₁B₂, то OHb ⊥ B₁B₂.
Аналогично OHb =√(65 — 64) = 1.
Расстояние между перпендикулярными прямыми измеряется по перпендикуляру HₐHb. В зависимости от того, лежат хорды по одну сторону от диаметра или по разные, возможны два ответа: 7 + 1 = 8 или 7 — 1 = 6.
Ответ. 6 или 8.
) AB и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса R = 15 см.
Найти расстояние между хордами, если AB = 18 см, CD = 24 см.
Вы открыли страницу вопроса ) AB и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса R = 15 см?. Он относится к категории
Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.