Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей | |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
|
||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
||
|
||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой |
||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |  |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
 |
||
 |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям |
 |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |
|
| Внешнее касание двух окружностей |
|
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
|
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям | |||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей | |||||
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Как найти расстояние между центрами окружностейУ Вас недостаточно прав для добавления комментариев. Все права защищены 2019
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей |
|||||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |
||||
| Внешнее касание двух окружностей | |
||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |
||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |
|
|||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||
|
|||||
| Внешнее касание двух окружностей | |||||
|
|||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |||||
|
|||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |||||
|
|||||
|
|||||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
|||||
| Внешнее касание двух окружностей | |||||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
|||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |||||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой. |
|||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |
||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |
||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |
||||
|
|||||
|
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Внутренняя касательная к двум окружностям
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Внутреннее касание двух окружностей
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Окружности пересекаются в двух точках
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Внешнее касание двух окружностей
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям | |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей | |
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Внутренняя касательная к двум окружностям
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, ОтветПроверено экспертомУравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R центр окружности (-2;6) радиус 6 центр окружности (4;-5)радиус 5 по формуле расстояние между двумя точками : находим расстояние между центрами заданных окружностей Всё про окружность и кругОкружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R). Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R. Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2 Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками. Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу. Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее. Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности. Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы. Периметр сектора: P = s + 2R. Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°. Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой. источники: http://games-on-pc.ru/info/kak-najti-rasstojanie-mezhdu-centrami-okruzhnostej/ http://www.stranamam.ru/post/8974384/ |
Если знать формулу окружности, то все просто. Она имеет вид:
(x — центр_окр(x))^2 + (y — центр_окр(y))^2 = (радиус_окружности)^2
Из условия задачи центр первой окружности известен: (0;0).
Чтобы найти центр второй, поработаем над вторым уравнением, преобразуя его:
x^2+у^2-8*x+12=0
x^2-8*x+16+у^2=4
(x-4)^2+у^2=4
Соответственно координаты центра (4;0)
Значит, расстояние между центрами 4 — 0 = 4.
$begingroup$
I’m a senior year maths student and I stumbled upon a question from a maths competition from a previous year. I seem to be on the cusp of solving it but I am unable to solve for the radius (to give me the answer).
The question reads as follows:
A rectangle has sides of length 5 and 12 units. A diagonal is drawn and then the largest possible circle is drawn in each of the two triangles. What is the distance between the centres of these two circles?
Image below for reference:
What I have attempted so far is connecting the points of tangency for each circle for their respective centres and labelled them $r$. From this, I was able to label sides $5-r$ and $12-r$. I noticed that the diagonal and both widths of the rectangle were lines of tangency that met in the top left and bottom right corners, and therefore those parts of the diagonal from the corner to the point of tangency were also $5 — r$. From this, I could label the middle part of the diagonal $3 + 2r$. Drawing the line I had to solve for, I broke this middle part into equal sections of $3/2 + r$. From there I found out I could use Pythagoras’ theorem to calculate the hypotenuse which was half of the length of the line I was trying to find. I ended up calculating this to be $sqrt{8r^2+12r+9}$.
The only problem is I am unsure of how to solve for $r$. Help is much appreciated.
asked Aug 2, 2020 at 5:12
$endgroup$
4
$begingroup$
Hint
The inradius of a right-angled triangle is given by $frac{1}{2}(a+b-c)$, where $a,b$ are the legs and $c$ is the hypotenuse. A proof of this is here on the line after the word ‘Proof‘.
Alternatively, you can observe the following diagram:
The area of the triangle is $frac{1}{2} (5)(12)$. However, the area of the triangle is also $frac{1}{2} (5r + 12r + 13r)$ by adding the areas of $Delta CDA, Delta ADB, Delta BDC$ together. Therefore:
$$frac{1}{2} (5r + 12r + 13r) = frac{1}{2}(5)(
12) Rightarrow 30r=60 Rightarrow r=2$$
A generalisation of this for any triangle gives the fact that $A = rs Rightarrow r = A/s$, where $s$ is the semiperimeter $frac{a+b+c}{2}$.
answered Aug 2, 2020 at 5:19
Toby MakToby Mak
16.7k4 gold badges25 silver badges46 bronze badges
$endgroup$
7
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Задача 28099 4.3.10. Найти расстояние между центрами…
Условие
4.3.10. Найти расстояние между центрами окружностей x^2+y^2=9 и
x^2+y^2-8x+12=0.
математика 10-11 класс
7997
Решение
★
x^2+y^2=9
координаты центра O(0;0)
x^2+y^2–8x+12=0 ⇒ (x^2-8x+16)+y^2=4 ⇒(x-4)^2+y^2=4
координаты центра C(4;0)
[b] Применяем формулу расстояния между двумя точками [/b]
A(x_(1);y_(1)) и В(х_(2);y_(2))
то
АВ=sqrt((x_(2)-x_(1))^2+(y_(2)-y_(1))^2)
или ее частные случаи, в случае
y_(1)=y_(2)
AB=sqrt(sqrt((x_(2)-x_(1))^2)=|x_(2)-x_(1)|
x_(1)=x_(2)
AB=|y_(2)-y_(1)|
О т в е т.
ОС=|4-0|=4
Все решения
Написать комментарий
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним,
каким уравнением задается окружность с центром в точке и
радиусом r.
Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.
Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.
;
;
– угловой коэффициент прямой.
Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.
Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения.
Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать,
Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух
точках.
Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие
окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не
равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей
равны, то окружности совпадают.
Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не
совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией
центров данной пары окружностей.
В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от
соотношения между величиной d и величинами радиусов
окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус
одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй
окружности – за R. И будем считать, что .
Если ,
то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна
окружность лежит вне другой.
Если ,
то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.
Если ,
тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на
линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие
окружности называют внутренне касающимися.
Если ,
то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.
Если ,
то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них
расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним
касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания
внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.
Решим несколько задач.
Задача. Как располагаются окружности, если:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение.
а)
б)
в)
г)
д)
Рассмотрим еще одну задачу.
Задача. Наименьшее расстояние между точками двух
концентрических окружностей равно ,
а наибольшее равно .
Найдите радиусы этих окружностей.
Решение.
Ответ: .
Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как .
Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна см.
Решение.
(см)
Ответ: .
Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры
проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на
три части, равные .
Найти расстояние между центрами кругов.
Решение.
,
,
.
Найдем радиусы окружностей.
Ответ: .
Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения
двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между
центрами окружностей и их радиусами.