Как найти радиус высоту ромба по углу

Информация по назначению калькулятора

Ромб — это четырехугольник (плоская фигура, замкнутая форма, четыре стороны) с четырьмя сторонами равной длины и противоположными сторонами, параллельными друг другу. Все ромбы являются параллелограммами, но не все параллелограммы являются ромбами. Все квадраты являются ромбами, но не все ромбы являются квадратами. Противоположные внутренние углы ромбов совпадают. Диагонали ромба всегда делят пополам друг друга под прямым углом.

Четыре внутренних угла ромба всегда составляют в сумме 360°, а его диагонали всегда перпендикулярны друг другу

Одной из двух характеристик, которые делают ромб уникальным, является то, что его четыре стороны равны по длине или конгруэнтны. Другое идентифицирующее свойство состоит в том, что противоположные стороны параллельны.

Онлайн калькулятор предназначен для нахождения параметров ромба, таких как:

• Длины сторон

— равны между собой (AB=BC=CD=DA)

• Высота

— что бы найти высоту ромба, необходимо его площадь поделить на сторону (h=S/AB)

• Периметр

— равен сумме всех сторон, или стороне ромба умноженной на 4 (P=AB+BC+CD+DA=AB*4)

• Площадь

— равна произведению стороны и высоты (S=AB*h)

• Диагонали

— всегда перпендикулярны

• Углы

— всегда составляют в сумме 360°

• Радиус Вписанной окружности
• Диаметр Вписанной окружности
• Длина Вписанной окружности
• Площадь Вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

a — сторона ромба

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

• d₁ и d₂ – диагонали ромба;
• a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Через сторону и угол

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Через высоту

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Вписанная в ромб окружность

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

С учётом формул для нахождения площади ромба:

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

Высота ромба онлайн

1. Высота ромба через сторону и площадь

Пусть задан ромб (Рис.1).

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:

2. Высота ромба через сторону и угол

Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.

Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Высота ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):

а через сторону и высоту, формулой

Из формул (3) и (4) следует:

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

Откуда:

Подставим (7) в (5) и найдем h:

4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

Откуда получим:

С другой стороны (см. параграф 2):

Подставим (9) в (10):

Применяя формулу двойного угла для (small sin alpha, ) имеем: (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} . ) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:

5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что ( small BO=frac{large d}{large 2}) и ( small angle ABO=frac{large alpha}{large 2}), формулу (13) можно записать так:

или

Подставим (14) в (2):

или, учитывая что (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} , ) получим:

6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности

Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой

а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:

Тогда из формул (16) и (17) следует:

или:

Зная сторону ромба, можно сразу найти его высоту, периметр и площадь, без переменных второго порядка. Высота ромба равна его стороне, умноженной на синус угла α, периметр ромба, зная сторону, можно найти, умножив ее на четыре (количество сторон), а площадь представляет собой произведение стороны ромба на высоту, то есть, преобразуя через формулу высоты, — сторона ромба в квадрате, умноженная на синус угла α. (рис.115.1)
h=a sin⁡α
P=4a
S=ah=a^2 sin⁡α

Второй угол ромба вычисляется как разность 180 градусов и известного угла, исходя из того, что противоположные углы ромба равны по значению, а сумма всех углов равна 360 градусам.
β=180°-α

Диагонали ромба можно найти из равнобедренных треугольников, которые они образуют поочередно со сторонами ромба. Используя теорему косинусов для равнобедренных треугольников, диагонали через сторону и угол будут равны квадратному корню из двух разностей стороны ромба в квадрате и косинуса противоположного диагонали угла. (рис.115.4)
d_1=√(2(a^2-cos⁡α))
d_2=√(2(a^2-cos⁡β))=√(2(a^2+cos⁡α))

Найти радиус окружности, вписанной в ромб, через сторону ромба и угол α можно, заменив в формуле высоту на произведение стороны и синуса угла. (рис.115.3)
r=h/2=(a sin⁡α)/2