Как найти радиус ромба описанного около окружности - Avtoru.top

, , c blue — стороны треугольника

— полупериметр

O black — центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

— сторона треугольника

— высота

— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

p — полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a — сторона квадрата

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b — стороны прямоугольника

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a — сторона шестиугольника

d — диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. При этом трапеция обладает всеми свойствами четырехугольника и параллелограмма. Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для ромба.

Свойства ромба:

Противоположные углы равны. На рисунке: ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA, ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам. На рисунке: точка E.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. На рисунке: AC⊥BD
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
Если диагонали четырёхугольника лежат на биссектрисах его углов, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: ∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
Если четырёхугольник — это параллелограмм и в него можно вписать окружность, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: AB||CD,BC||AD,ABCD – описанный.

Ромб и окружность

В ромб можно вписать окружность. Центром этой окружности является точка пересечения диагоналей ромба.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно найти по формуле: или где: a — длина стороны, d₁, d₂ –диагонали.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, ромб, вписанный в окружность – это квадрат. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Основные формулы для ромба:

Периметр: Площадь по стороне и высоте: Площадь по диагоналям: Радиус окружности, вписанной в ромб: или Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности:

Площадь по стороне и углу:

где a — длина стороны, d₁, d₂ –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами ромба.

Источник

Краткое содержание:

Что такое радиус
Радиус и диаметр
Примеры задач
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Радиус вписанной окружности в квадрат
Радиус вписанной окружности в ромб
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Примеры задач
Обсуждение

Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!

На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.

Что такое радиус

И действительно:

Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.

Вот так это выглядит графически.

**************************************

Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.

Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.

Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:

Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.

Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

А именно:

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Примеры задач

Задание 1

Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:

Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2

Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.

Решение:

Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

Радиус вписанной окружности в квадрат

Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Примеры задач

Задание 1

Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение

Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение

Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!

Источники:

https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/radius-chto-ehto-takoe-kak-najti-radius-okruzhnosti-formula.html
https://MicroExcel.ru/radius-kruga/
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-42-22
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
https://MicroExcel.ru/radius-vpisannogo-v-treugolnik-kruga/

Источник

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Например, на рисунке 8.106 .

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

Например, на рисунке 8.107 $LaTeX formula: angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ}$ .

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :

1) для равностороннего треугольника со стороной :

$LaTeX formula: R=frac{a}{sqrt{3}}$ , (8.34)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2sqrt{3}}$ ; (8.35)

2) для произвольного треугольника со сторонами и площадью :

$LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ , (8.36)

$LaTeX formula: r=frac{2S}{a+b+c}$ ; (8.37)

3) для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой :

$LaTeX formula: R=frac{c}{2}$ , (8.38)

$LaTeX formula: r=frac{a+b-c}{2}$ ; (8.39)

4) для квадрата со стороной и диагональю :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ , (8.40)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ ; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ ; (8.42)

6) для ромба с высотой :

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ ; (8.43)

7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ . (8.44)

Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами и площадью , по формуле $LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

для правильного шестиугольника со стороной :

, (8.45)

$LaTeX formula: r=frac{asqrt{3}}{2}$ . (8.46)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .

Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной находят по формуле $LaTeX formula: S=a^{2}$ , то согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: S_{square }-S_{bigcirc }=12$ , $LaTeX formula: pi r^{2}-a^{2}=2pi -8$ .

А так как $LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ , то $LaTeX formula: frac{pi a^{2}}{4}-a^{2}=2pi -8$ , $LaTeX formula: pi a^{2}-4a^{2}=4(2pi -8)$ , $LaTeX formula: a^{2}(pi -4)=8(pi -4)$ , $LaTeX formula: a^{2}=8$ , .

Ответ: .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и находят по формуле .

Пусть , тогда (рис. 8.118).

Получим: , $LaTeX formula: x^{2}+3x-4=0$ , откуда , следовательно, , .

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: $LaTeX formula: d^{2}=1+16=17$ , . Согласно формуле 8.42 .

Ответ: .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

$LaTeX formula: a^{2}=left (frac{d_{1}}{2} right )^{2}+left ( frac{d_{2}}{2} right )^{2}$ , $LaTeX formula: a^{2}=3^{2}+4^{2}$ , .

По формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}$ найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 6cdot 8=24$ .

Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .

Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна .

Решение. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле: $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^{2}}{4}$ .

Зная площадь треугольника, найдем его сторону: $LaTeX formula: frac{sqrt{3}a^{2}}{4}=4sqrt{3}$ , $LaTeX formula: a^{2}=16$ , .

По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: $LaTeX formula: r=frac{4}{2sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}}$ .

По формуле 8.30 найдем длину окружности: $LaTeX formula: C=frac{4pi }{sqrt{3}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{4sqrt{3}pi }{3}$ .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой находят по формуле 8.38. Тогда .

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора $LaTeX formula: c^{2}=2a^{2}$ , откуда $LaTeX formula: a=frac{C}{sqrt{2}}$ , $LaTeX formula: a=frac{4}{sqrt{2}}=2sqrt{2}$ .

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае $LaTeX formula: r=frac{2a-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{4sqrt{2}-4}{2}=2sqrt{2}-2$ .

Ответ: .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .

Пусть отрезок . По свойству касательных и .

Тогда по теореме Пифагора $LaTeX formula: BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$ или $LaTeX formula: 25+10x+x^{2}=64+9+6x+x^{2}$ , откуда , .

Найдем катет : .

Найдем площадь треугольника: $LaTeX formula: S_{Delta ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot AB$ , $LaTeX formula: S_{Delta ABC}=frac{1}{2}cdot 8cdot 15=60$ .

Ответ: 60.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: $LaTeX formula: frac{6}{4}=frac{x}{8}$ , откуда .

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона найдем площадь треугольника. Так как , то .

Тогда $LaTeX formula: r=frac{18sqrt{15}}{30}=frac{3sqrt{15}}{5}=0,6sqrt{15}$ .

Ответ: .

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .

По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .

Согласно формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}(a+b)h$ найдем площадь трапеции: $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 15cdot 6=45$ .

Ответ: 45.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .

Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36:

$LaTeX formula: R=frac{ABcdot BDcdot AD}{4cdot S_{triangle ABD}}=frac{ABcdot BDcdot AD}{4cdot frac{1}{2}cdot ADcdot BN}$ , $LaTeX formula: R=frac{ABcdot BD}{2cdot BN}$ .

Зная, что и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .

Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то $LaTeX formula: frac{1}{2}(5k +12k)=17$ , откуда . Тогда , .

Поскольку четырехугольник является прямоугольником, то , тогда $LaTeX formula: AN=KD=frac{1}{2}(24-10)=7$ .

Согласно теореме Пифагора запишем:

$LaTeX formula: AB=sqrt{AN^{2}+BN^{2}}$ , $LaTeX formula: AB=sqrt{17^{2}+7^{2}}=sqrt{338}$ ;

$LaTeX formula: BD=sqrt{BN^{2}+ND^{2}}$ , $LaTeX formula: BD=sqrt{17^{2}+17^{2}}=17sqrt{2}$ .

По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :

$LaTeX formula: R=frac{sqrt{338}cdot 17sqrt{2}}{2cdot 17}=frac{2cdot 13}{2}=13$ .

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .

Ответ: .

Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна .

Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: .

По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как , то $LaTeX formula: r=frac{3}{2}$ .

Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда $LaTeX formula: S_{1}=3pi$ , а $LaTeX formula: S_{2}=frac{9pi}{4}$ .

Найдем площадь кольца: $LaTeX formula: S_{K}=S_{1}-S_{2}$ , $LaTeX formula: S_{K}=3pi -frac{9pi }{4}=frac{3pi }{4}$ .

Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса находят по формуле:

. (8.30)

Площадь круга радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S=pi R^{2}$ . (8.32)

Источник

В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника. (рис.115.1)
sin⁡α=2r/a

Высота в таком случае получается равна двум радиусам, а площадь- двум радиусам, умноженным на сторону ромба.
h=2r
S=2ar

Периметр ромба остается неизменно равным четырем его сторонам.
P=4a

Угол β можно найти через полученный синус, который дает два значения – острого угла α, и тупого угла α+90˚. Диагонали ромба рассчитываются по теореме косинусов из равнобедренных треугольников, как квадратный корень из удвоенной суммы или разности (в зависимости от угла, противолежащего диагонали) квадрата стороны и его произведения на косинус угла.
d_1=√(2(a^2-cos⁡α ) )
d_1=√(2(a^2+cos⁡α))

Источник

Свойства ромба:

Признаки ромба:

Ромб и окружность

Основные формулы для ромба:

Что такое радиус

Радиус и диаметр

Примеры задач

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности в ромб

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Примеры задач

Не пропустите также: