Как найти радиус окружности когда известны катеты

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a , b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Гипотенуза и радиус окружности

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

( small R=frac<large c> <large 2 sin C>)

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

( small R=frac<large c><large 2 sin 90°>=frac<large c><large 2>, )

Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac<9> <2>) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение ( small c=frac<9> <2>) в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

Подставляя (2) в (1), получим:

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

( small angle A+angle B=90°. )

Подставляя (5) в (4), получим:

( small R=frac<large a><large 2 sin A>=frac<large a><large 2 sin(90°-B)>) ( small =frac<large a> <large 2 cos B>)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

Ответ:

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

где

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

где c вычисляется из теоремы Пифагора:

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):

Ответ:

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Из теоремы синусов имеем:

Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:

Тогда из (8) получим:

Далее, из теоремы синусов:

Откуда:

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):

или

Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):

Ответ:

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

или

Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):

Ответ:

Смотрите также:

• Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
• Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
• Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
• Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн

Радиус описанной около треугольника окружности

Обозначают данную геометрическую фигуру символом △.

Точками A, B и C обычно обозначают вершины треугольника. Отрезки AB, BC и AC определяют стороны треугольника, которые, как правило, обозначают с помощью латинской буквы. К примеру, AB = a, BC = b, AC = c.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Внутренность треугольника представляет собой часть плоскости, которая ограничена сторонами треугольника. Стороны треугольника в вершинах формируют три угла, которые обычно обозначают, используя греческие буквы – (alpha, beta, gamma) и другие. По этой причине треугольник получил название многоугольника с тремя углами. Для обозначения углов также применяют символ ∠, к примеру:

• (alpha )∠BAC или ∠CAB;
• (beta) ∠ABC или ∠CBA;
• (gamma )∠ACB или ∠BCA.

Треугольники различают по величине углов или количеству равных сторон:

• остроугольный, в котором все три угла острые, то есть меньше (90^{0});
• тупоугольный, обладает один из углов больше (90^{0}), а два остальных угла являются острыми;
• прямоугольный с одним прямым углом в (90^{0}), двумя сторонами, образующими прямой угол, которые называют катетами, третьей стороной, расположенной напротив прямого угла в виде гипотенузы;
• разносторонний, со сторонами разной длины;
• равнобедренный, с двумя одинаковыми боковыми сторонами и третьей стороной в виде основания, углы при котором равны;
• равносторонний (правильный) обладает тремя сторонами с одинаковой длиной и углами, равными по (60^{0}).

Радиус окружности, описанной около треугольника, определяется с помощью специальных формул, подкрепленных соответствующими доказательствами. Первая закономерность позволяет рассчитать его согласно расширенной теореме синусов: 

• радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.

Формула для нахождения радиуса:

(R=frac{AB}{2sin angle C} =frac{AC}{2sin angle B} =frac{BC}{2sin angle A})

Вторую формулу для определения радиуса описанной около треугольника окружности записывают таким образом:

(R=frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}})

Общий вид:

(R=frac{abc}{4S})

Таким образом, для определения радиуса окружности, которая описана около треугольника, требуется произведение длины сторон этой геометрической фигуры разделить на четыре площади треугольника.

Площадь треугольника можно рассчитать, используя формулу Герона:

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})

В данном случае р обозначает полупериметр и определяется по формуле:

(p=frac{a+b+c}{2})

В результате преобразованная формула для определения радиуса описанной около треугольника окружности примет следующий вид:

(R=frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}})

Представленные закономерности справедливы в случае любого треугольника, независимо от его вида. При расчетах необходимо учитывать расположение центра описанной окружности.

Расположение центра окружности, описанной около треугольника:

• остроугольный треугольник – во внутренней области;
• прямоугольный треугольник – на середине гипотенузы;
• тупоугольный треугольник – вне геометрической фигуры, напротив тупого угла.

Вычисление радиуса через стороны

Выше были рассмотрены формулы, с помощью которых можно определить радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная его стороны. Кроме того, при решении задач можно использовать некоторые закономерности, предусмотренные для треугольников определенного типа.

Формула для равнобедренного треугольника

Обладая информацией о длине сторон равнобедренного треугольника, можно определить радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника.

(R=frac{a^{2}}{sqrt{4a^{2}-b^{2}}})

где a и b являются сторонами треугольника.  

Формула для равностороннего треугольника

Такое выражение подходит для расчета радиуса окружности, описанной около любого правильного многоугольника. Формула имеет вид:

(R=frac{a}{2sin frac{180^{0}}{n}})

Здесь а является длиной стороны многоугольника, n – определяет количество его сторон.

Частным случаем правильного многоугольника является правильный треугольник. Тогда данную формулу можно применить для расчета радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника:

(R=frac{a}{sqrt{3}})

Исключая иррациональность в знаменателе, получим:

(R=frac{asqrt{3}}{3})

Следует заметить, что в случае правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза превышает радиус вписанной окружности:

R=2r

Формула для произвольного треугольника

Как правило, при решении задач по геометрии необходимо вычислить радиус окружности, описанной около произвольного треугольника. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой:

(R=frac{abc}{4S})

Справедливо следующее равенство:

(R=frac{a}{2sin alpha }=frac{b}{2sin beta }= frac{c}{2sin gamma })

где a, b, c являются длинами сторон треугольника, (alpha, beta, gamma) определяются, как противолежащие этим сторонам углы, S представляет собой площадь треугольника.

Формула для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности можно определить по формуле:

(R=frac{AB}{2})

Таким образом, в случае прямоугольного треугольника радиус окружности, которая описана около него, равен половине гипотенузы. Как правило, ее обозначают с помощью «с», то есть АВ = с. Поэтому формула принимает следующий вид:

(R=frac{c}{2})

Примеры решения задач

Задача 1

Стороны треугольника равны 4, 6 и 9 см. Необходимо определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

В первую очередь нужно рассчитать площадь рассматриваемого треугольника. Зная длины его сторон, ее можно определить с помощью формулы Герона:

(S=sqrt{9.5(9.5-4)*(9.5-6)*(9.5-9)}approx 9.56)

Затем достаточно просто найти радиус окружности:

(R=frac{4*6*9}{4*9.56}approx 5.65)

Ответ: радиус окружности равен 5.65 см

Задача 2

Известно, что катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Требуется рассчитать радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Определим гипотенузу рассматриваемого треугольника с помощью теоремы Пифагора:

(c=sqrt{6^{2}+8^{2}}=10)

Известно, что радиус окружности, которая описана около прямоугольного треугольника, соответствует половине его гипотенузы. Таким образом:

(R = 10/2 = 5)

Ответ: радиус окружности равен 5 см.

Задача 3

Необходимо определить радиус описанной окружности около треугольника АВС, стороны которого равны (AB=4sqrt{2}) см,( AC=7 см) и (angle A=45^{circ}.)

Решение

Определить радиус окружности, которая описана около треугольника, можно, как отношение произведения сторон треугольника к его площади, умноженной на 4:

(R=frac{ABcdot BCcdot AC}{4S} )

По теореме косинусов следует рассчитать сторону ВС:

(BC=sqrt{AC^2 +AB^2 -2ACcdot ABcdot cos angle A} =)

(=sqrt{49+32-2cdot 7cdot 4sqrt{2} cdot frac{sqrt{2} }2 } =sqrt{25} =5 cm)

Затем можно определить площадь треугольника АВС:

(S_{ABC} =frac{1}{2} cdot ABcdot ACcdot sin angle A=14 cm^2 )

Зная площадь, легко рассчитать радиус окружности:

(R=frac{ABcdot BCcdot AC}{4S} =frac{4sqrt{2} cdot 5cdot 7}{4cdot 14} =frac{5sqrt{2} }{2} cm)

Ответ: радиус окружности равен (frac{5sqrt{2} }2 см.)

Задача 4

Дан треугольник АВС со сторонами AB=3 см,( AC=sqrt{6} см). Необходимо определить углы этой геометрической фигуры. При этом радиус описанной окружности равен (R=sqrt{3}) см.

Решение

Согласно формуле, радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

(R=frac{AB}{2sin angle C} =frac{AC}{2sin angle B} =frac{BC}{2sin angle A} )

Таким образом, можно вычислить синусы углов треугольника:

(sin angle C=frac{AB}{2R} =frac{3}{2sqrt{3} } =frac{sqrt{3} }{2}, откуда angle C=60^{circ},)

(sin angle B=frac{AC}{2R} =frac{sqrt{6} }{2sqrt{3} } =frac{sqrt{2} }{2}, откуда angle B=45^{circ}.)

Далее следует определить угол А:

(angle A=180^{circ} -60^{circ} -45^{circ} =75^{circ} )

Ответ: (angle A=75^{circ} , angle B=45^{circ} , angle C=60^{circ})