Как найти радиус кривизны брошенного камня

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

72,2% бесплатных материалов

967 руб. средняя цена курсовой работы

353 руб. средняя цена домашнего задания

116 руб. средняя цена решённой задачи

161 руб. средняя цена лабораторной работы

174 руб. средняя цена реферата

177 руб. средняя цена доклада

1626 руб. средняя цена ВКР

665 руб. средняя цена диссертации

596 руб. средняя цена НИР

358 руб. средняя цена отчёта по практике

276 руб. средняя цена ответов (шпаргалок)

202 руб. средняя цена лекций

232 руб. средняя цена семинаров

280 руб. средняя цена рабочей тетради

187 руб. средняя цена презентации

67 руб. средняя цена перевода

143 руб. средняя цена изложения

150 руб. средняя цена сочинения

308 руб. средняя цена статьи

Гарантия возврата средств

Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1.

Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

Откуда :

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:



Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :

Определим полную скорость тела в момент времени :

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

А можно было сразу и косинус найти:

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

Ответ: м, м, м.

Задача 2.

Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) , б).
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:
Определим теперь радиус кривизны в вершине:

По условию :





б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:



Приравниваем и :

Откуда .



Ответ: а) , б) .

2018-07-15   

Тело брошено горизонтально со скоростью 4 м/с с высоты 1 м. Определите радиусы кривизны траектории в ее начальной и конечной точках.

Решение:

Для определения радиуса кривизны следует воспользоваться формулой $a_{ц} = frac{v^{2} }{R}$, где $v$ — мгновенная скорость, $a_{ц}$ — центростремительное ускорение, направленное перпендикулярно скорости. $R = frac{v^{2} }{a_{ц} }$. В начальный момент скорость $v_{0}$ направлена горизонтально (рис.); $g = a_{ц}$, откуда

$R_{0} = frac{v_{0}^{2} }{g}, R_{0} = frac{4^{2} }{9,8} = 1,63 м$.

В конечный момент времени мгновенная скорость $v$ направлена под углом $alpha$ к ускорению свободного падения $vec{g}$. $v_{x} = v_{0}, v_{y} = — gt$, где $t = sqrt{ frac{2h}{g} }$. Следовательно,

$v_{к} = sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = sqrt{ v_{0}^{2} + 2gh }$.

Чтобы найти радиус кривизны в конечной точке, определим центростремительное ускорение в этой точке, для чего найдем проекцию ускорения свободного падения $vec{g}$ на перпендикуляр к направлению скорости $vec{v}_{к}: a_{ц.к} = g sin alpha$, где

$sin alpha = frac{v_{x} }{v_{кон} } = frac{v_{0} }{ sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } }, R_{к} = frac{v_{к}^{2} }{a_{ц.к} } = frac{ ( sqrt{v_{0}^{2} + 2gh } )^{3} }{gv_{0} }$

$R_{к} = frac{( sqrt{ 4^{2} + 2 cdot 9,8 cdot 1 } )^{3} }{9,8 cdot 4} = 5,4 м$.

С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.

Решение:

Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.

Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна v_y = gt:

Нормальное ускорение тела a_n:

откуда радиус окружности R равен:

Нормальное ускорение a_n связано соотношением:

где

тогда:

Подставляя (3) и (1) в (2), получим:

После вычислений R = 104,2 м.

[тема: задачи на криволинейное движение]