Цилиндр называется описанным около призмы, если многоугольники оснований призмы вписаны в окружности оснований цилиндра, а образующие цилиндра являются боковыми рёбрами призмы.
Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.
Например, цилиндр всегда можно описать около прямой треугольной призмы, около правильной призмы.
Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т. к. высота призмы равна высоте цилиндра.
Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.
Радиус цилиндра — это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр окружности, описанной около четырёхугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов равны
180°
.
Формулы вычисления радиуса (R) описанной окружности
(a, b, c) — стороны, (h) — высота, (d) — диагональ.
| Правильный треугольник | (R =) 23h; (R=) a33 |
| Прямоугольный треугольник | (R=) 12 гипотенузы |
| Произвольный треугольник | R=abc4S;R=a2sinα |
| Квадрат |
(R =) a22 |
|
Прямоугольник |
(R =) d2 |
|
Правильный шестиугольник |
(R = a) |
Цилиндр вписан в призму, если окружности оснований цилиндра вписаны в многоугольники оснований призмы.
Цилиндр можно вписать только в такую прямую призму, в многоугольник основания которой можно вписать окружность.
Например, цилиндр всегда можно вписать в прямую треугольную призму, в правильную призму.
Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинаций этих тел, т. к. высота цилиндра равна высоте призмы.
Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.
Радиус цилиндра — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, находится в точке пересечения биссектрис четырёхугольника. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы длин противоположных сторон.
Формулы вычисления радиуса (r) вписанной окружности
Где (h) — высота, (S) — площадь, (p) — полупериметр, (a) — сторона.
| Правильный треугольник | r=13h;r=a36 |
| Произвольный (и прямоугольный) треугольник | (r =) Sp |
| Квадрат | |
| Ромб |
или |
| Правильный шестиугольник | (r =) a32 |
Призма это фигура в основании которой лежит правильный многоугольник. Соответственно, радиус цилиндра описанного вокруг призмы, будет равен радиусу окружности описанной вокруг многоугольника. Более этого сказать что либо тяжело. Поскольку вывод формулы не затребован в вопросе, то далее только стандартная формула.
Хотя нужно уточнить, что призма может быть и не правильной формы и тогда расчет может быть только индивидуальный. Более того, не всякий неправильный многоугольник имеет описанную окружность.
Стандартная формула R=a/(2*sin(180°/n))
Для простоты расчета предоставлю графический макет.
ССЫЛКА НА МАКЕТ
А поскольку расчет автоматизированный, то почему бы не рассчитать и другие параметры правильных многоугольников.
В макете можно задать количество сторон многоугольника и размер его стороны.
ВИДЕОУРОК
Призма, вписанная в цилиндр.
Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания
вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.
При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно,
что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма,
вписанная в цилиндр, будет прямою.
Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её
свойства:
– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её
основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра R равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.
Формулы вычисления радиуса R описанной окружности.
Где a, b, с – стороны, h – высота, d – диагональ.
ПРИМЕР:
Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?
РЕШЕНИЕ:
Да, так как вокруг любого треугольника
можно описать окружность.
ПРИМЕР:
Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?
РЕШЕНИЕ:
Нет, так как вокруг ромба, который
не является квадратом, нельзя описать окружность.
Призма, описанная вокруг цилиндра.
Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая
проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения,
в котором находится касательная цилиндра.
Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её
основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям,
которые касаются цилиндра.
При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные
цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в
которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то
есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.
По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим
её свойства:
– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания
будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра r равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.
Формулы вычисления радиуса r описанной окружности.
Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.
ЗАДАЧА:
Вокруг цилиндра, высота которого равна 5 см, описали четырёхугольную
призму, три стороны которой в порядке следования равны
3 см, 4 см и 7 см.
Найти площадь
боковой поверхности призмы.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника
основания х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то
3 + 7 = 4 + х,
откуда х = 6 см.
Площадь боковой поверхности призмы
Sбок = P × l
где, Р – периметр
основания,
l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.
Имеем:
Р = 3 + 7 + 4 +
6 = 20 (см).
Sбок = 20 × 5 = 100 (см2).
ОТВЕТ: 100 см2.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Из условия задачи имеем:
В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы АО = АА1.
Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника,
вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра,
поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю
и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани – квадраты.
ЗАДАЧА:
Правильная
четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого
равен 0,5. Площадь боковой
поверхности призмы равна 8. Найдите высоту цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Так как четырёхугольная призма правильная, то в
основании лежит квадрат.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 0,5.
Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть
2 ∙ 0,5 = 1.
Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной
грани равна
8 : 4 = 2.
Каждая грань представляет собой прямоугольник,
следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону
основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:
2 : 1 = 2.
Высота цилиндра равна боковому ребру призмы,
следовательно, она равна 2.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите
площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра 10
см, а высота 20
см.
РЕШЕНИЕ:
Пусть О и О1 – центры основ данного цилиндра,
ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед
вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD и А1В1С1D1, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или
квадраты, причем точки О и О1 – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда
АА1 ∥ ВВ1 ∥ СС1 ∥ DD1 ∥ ОО1.
ОО1 ⊥ (АВС),
ОО1 ⊥ (А1В1С1),
следовательно, параллелепипед является
прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра,
боковые ребра – образующие цилиндра,
Поскольку параллелепипед
правильный, то АВСD – квадрат,
АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,
тоді АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.
Sп
= Sб
+ 2Sосн = P∙
H + 2SABCD
=
= 4
∙ 10√͞͞͞͞͞2 ∙
20 +
2(10√͞͞͞͞͞2)2 =
= 800√͞͞͞͞͞2 +
400 = 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1)
(см2).
ОТВЕТ: 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1) см2
ЗАДАЧА:
Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная
призма, площадь боковой поверхности которой равна Q. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Если правильная четырехугольная призма описана вокруг
цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, –
квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов,
боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и
цилиндра. Отметим сторону квадрата а, радиус цилиндра r, высоту призмы и цилиндра Н.
По условию
Sб.пр. = Q,
Sб.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,
Sб.ц. = 2πrH, а = 2r.
Маємо:
4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q,
2rН = Q/4,
тоді
Sб.ц. = π ∙ 2RH = π∙ Q/4
ОТВЕТ: π∙ Q/4
Решение задач с применением
тригонометрии.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой
является прямоугольный треугольник с катетом
а и прилежащим к нему острым углом α.
Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена
к плоскости основания под углом β.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,
О и О1 – центры оснований, ОО1 –
отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная
призма (прямая).
АВСА1В1С1, ∠ С = ∠ С1 = 90°.
Тогда ∆ АВС и ∆
А1В1С1 вписаны в круги оснований цилиндра, О и О1 –
середины гипотенуз АВ и А1В1, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,
∠ ВАС = α, АС = а,
АА1 ∥
ВВ1 ∥ СС1 ∥ DD1,
АА1 ⊥ (АВС),
А1С –
наклонная, АС – проекция,
поэтому ∠ АСА1 = β – угол между
А1С и (АВС).
ОТВЕТ:
Задания к уроку 12
Найдите радиус основания цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, если высота призмы равна h, а боковая поверхность S.
Перед вами страница с вопросом Найдите радиус основания цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, если высота призмы равна h, а боковая поверхность S?, который относится к
категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.