Как найти рациональное число заключенное между числами

Контрольные задания > Найдите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами корень из 7 и корень из 8 (запишите ход своих рассуждений).

Ответ:

[sqrt{7} < x < sqrt{8}]

[7 < x^{2} < 8]

[x^{2} = 7,84]

[x = 2,8.]

[Ответ:2,8.]

Содержание

Найти промежуточный номер от руки
Найти промежуточный номер с калькулятором

Рациональное число может быть представлено как отношение или как дробь. Более формально, рациональное число — это число, которое можно поместить в форму p / q, где «p» и «q» являются целыми числами, а «q» не равно 0. Например, 1/2, 2/3, 5/2, 289292/11881902881, -2 / 3 и 0 — все рациональные числа.

Число рациональных чисел бесконечно. На самом деле между двумя рациональными числами существует бесконечное число рациональных чисел, независимо от того, насколько они близки.

Найти промежуточный номер от руки

Запишите каждое число пары в виде дроби. Например, рассмотрим 1/3 и 2/5.

Добавьте оба числа вместе. Чтобы сделать это, вы должны сначала сделать знаменатели равными. Один из способов сделать это — умножить два знаменателя и поместить это число в знаменатель нового числа, а затем умножить каждый числитель на знаменатель другой дроби. Затем добавьте два числителя.

Например, чтобы добавить 1/3 и 2/5, сначала умножьте знаменатели: 3 * 5 = 15. Это общий знаменатель для обеих дробей. Затем он вычисляет 1 * 5 = 5 для числителя первой дроби, которая теперь составляет 5/15. Затем он вычисляет 2 * 3 для числителя второй дроби, которая теперь составляет 6/15. Наконец, добавьте два числителя (5 + 6) и используйте один и тот же знаменатель, чтобы получить 11/15.

Разделите сумму на 2. Для этого просто удвойте знаменатель. В этом примере (11/15) / 2 = 11/30. Этот номер находится между исходной парой.

Найти промежуточный номер с калькулятором

Введите каждый номер, выполнив деление. В этом примере 1/3 = 0,3333333 … и 2/5 = 0,4.

Добавьте оба числа вместе. В этом примере 0,333333 … + 0,4 = 0,733333 …

Разделите результат на 2. В примере 0,733333 … / 2 = 0,3666666 …

Источник

I think the most helpful thing you can do here is to think about what decimal expansions really are.

What do we mean when we write $x=1.234999ldots$? As you probably know, finite decimal expansions are just sums of certain decimal fractions, for example: $1.234$ means is by definition $1+frac2{10}+frac3{100}+frac4{1000}$. So infinite decimal expansions are in fact just another way to write an infinite series, in your case: $$1.234999ldots = 1+frac2{10}+frac3{10^2}+frac4{10^3}+frac9{10^4}+frac9{10^5}+frac9{10^6}+cdots$$ which we may write more concisely as: $$pm a_0.a_1a_2a_3a_4ldots = pmsum_{n=0}^inftyfrac{a_n}{10^n},$$
where $a_0in{mathbb N_0}$ and $a_iinlbrace0,1,2,3,4,5,6,7,8,9rbrace$ for $iinmathbb N$.

In your case, $a_0=1,a_1=2,a_2=3,a_3=4$ and $a_i=9$ for all $i>3$. So we are going to solve the problem if we determine the value of this series: $$1.234999ldots =1+frac2{10}+frac3{10^2}+frac4{10^3}+frac9{10^4}+frac9{10^5}+frac9{10^6}+cdots =\=1.234+frac9{10^4}(1+frac1{10}+frac1{10^2}+frac1{10^3}+cdots).$$ Now the expression in parentheses is a geometric series, i.e. a series of the form $1+x+x^2+x^3+cdots$ (or if you prefer the more concise notation, $sumlimits_{n=0}^infty x^n)$. As you probably already know (otherwise you will most likely learn this soon), the geometric series converges to $frac1{1-x}$ for $-1<x<1$. So in our case where $x=frac1{10}$, we have: $$sum_{n=0}^infty(frac1{10})^n =1+frac1{10}+frac1{10^2}+frac1{10^3}+cdots = frac1{1-frac1{10}}=frac{10}9.$$ Now we just plug this into the expression above and we get $$1.234999ldots = 1.234 + frac9{10^4}frac{10}9 = 1.234+frac1{10^3} = 1.234+0.001=1.235$$ Thus the two numbers are equal.

To see that for two distinct real numbers $a,b$ we indeed have a rational between them, we note that $c=frac{a+b}2$ is a number strictly between them. But as every rational number has a decimal expansion, we get a sequence of truncated decimal expansions, $sumlimits_{n=0}^Nfrac{c_n}{10^n} = c_0+frac{c_1}{10}+frac{c_2}{10^2}+cdots+frac{c_N}{10^N}$, that converges (gets arbitrarily close) to this number. These are rational numbers. Now, as $a$ and $b$ are both a positive distance away from $c$, this means there will be a number in this sequence that is closer to $c$ than $a$ and $b$ are. This means we have found a rational number strictly between $a$ and $b$, so we are done.

Added: The thing to remember here is that some real numbers have two distinct decimal expansions. If you think about it a bit, you will see that these are precisely the numbers that have a terminating decimal expansion, i.e. the numbers which have $0$ from some place on. (These are the rational numbers which can be written in the form $frac{m}{10^k}$ for some $minmathbb Z$ and $kinmathbb N_0$.) These numbers can be written in two ways because we can always replace the last digit before the zeroes with a digit that is one smaller and add nines after it. Note that a funny thing happens with $0$. It may still be regarded as having two decimal expansions in a sense: $0=+0.000ldots=-0.000ldots$ This is because we have defined the decimal expansion using the formula $$pm a_0.a_1a_2a_3a_4ldots = pmsum_{n=0}^inftyfrac{a_n}{10^n},$$
for $a_0in{mathbb N_0}$ and $a_iinlbrace0,1,2,3,4,5,6,7,8,9rbrace$ for $iinmathbb N$. The strange behaviour of $0$ arises because this way we treat positive and negative numbers differently. It goes away if we use a different formula: $$a_0.a_1a_2a_3a_4ldots = sum_{n=0}^inftyfrac{a_n}{10^n}$$ where $a_0in{mathbb Z}$ and $a_iinlbrace0,1,2,3,4,5,6,7,8,9rbrace$ for $iinmathbb N$. I don’t believe this is completely standard, however, probably because in this case the other decimal expansion looks a bit funny: $(-1).999ldots=0.000ldots=0$. Note, though, that using this (possibly impractical) notation every number that can be written as $frac{m}{10^k}$ behaves the same. In both cases every number that is not of this form has a unique decimal expansion.

Источник

Вообразим, что мы не знаем никаких других чисел, кроме натуральных, т. е. кроме целых положительных. Тогда действия сложение и умножение окажутся выполнимыми всегда, а действие, скажем, деление — не всегда.

Например, деление числа 20 на 4 будет выполнимым, так как результат этого деления — число 5 — содержится во множестве натуральных чисел.

Деление же числа 20 на 7 уже будет невыполнимым, так как во множестве натуральных чисел нет числа .

Если же мы расширим множество натуральных чисел введением дробных положительных чисел, то придем к тому, что в этой расширенной области станут выполнимыми не только сложение и умножение, но и деление.

Однако в этой расширенной области, так же как и в области натуральных чисел, не всегда будет выполнимым действие вычитание. Например, вычитание из числа 5 числа будет выполнимым, а вычитание из числа числа 5 уже будет невыполнимым, так как во множестве положительных чисел нет числа — .

Если же мы расширим множество целых и дробных положительных чисел введением еще и отрицательных чисел, то в этой дважды расширенной числовой области уже станут выполнимыми все первые четыре действия.

Обратим внимание на то, что для выполнения прямых действий (сложения и умножения) не требовалось расширения понятия натурального числа, между тем как для выполнения обратных действий (деления и вычитания) такое расширение оказалось уже необходимым.

Понятие натурального числа и дальнейшие расширения понятия числа происходили и происходят под влиянием и для удовлетворения практических потребностей людей (включая и потребности математической практики).

Если рассматривать указанные выше расширения как необходимость, вытекающую только из внутренних потребностей самой математики, то, как мы видели, «повод» к такому расширению давали обратные действия: деление и вычитание.

Однако следует заметить, что причиной введения дробных чисел служила не только невыполнимость деления, но, пожалуй, в большей степени, задача измерения величины в случае, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз.

Рациональная числовая область

В результате указанных выше двух расширений понятия числа мы пришли к такой числовой области, в которой содержатся все целые и дробные (положительные и отрицательные) числа. Такую числовую область с присоединенным к ней нулем называют рациональной числовой областью.

Определение:

Все целые и дробные числа (положительные и отрицательные), включая нуль, называются числами рациональными.

В рациональной числовой области все четыре действия, за исключением деления на нуль, всегда выполнимы.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Всякая десятичная дробь, которая изображается конечным числом цифр, называется конечной десятичной дробью. Например, 5,23; 0,4711; 2,14159 суть конечные десятичные дроби.

Всякая десятичная дробь, в которой после запятой следует бесконечное множество цифр, называется бесконечной десятичной дробью. Например, 5,12112111211112… есть бесконечная десятичная дробь. Здесь цифры после запятой идут без конца по следующему закону: единица, два; два раза единица, два; три раза единица,1 два и т. д. без конца.

Если в бесконечной десятичной дроби, начиная с некоторого места после запятой, одна и та же группа цифр повторяется без конца, непосредственно следуя одна за другой, то такая дробь называется бесконечной периодической десятичной дробью.

Примеры:

суть бесконечные периодические десятичные дроби. Из них первые три — чистые периодические, а две последние — смешанные периодические.

Всякая конечная десятичная дробь есть число рациональное. Например, 2,69 есть рациональное число .

Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь есть также рациональное число. Например, как известно из арифметики,

2,444 … есть рациональное число — ,

2,2555 … есть рациональное число

О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби

Как известно из арифметики, всякое рациональное число можно изобразить в виде бесконечной десятичной дроби. Действительно,

Итак, всякое рациональное число может быть изображено в форме, бесконечной десятичной дроби, которая обязательно будет периодической.

§ 5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ

Теорема:

Между любыми двумя различными рациональными числами заключено бесконечно много (бесконечное множество) других рациональных чисел.

Доказательство. Пусть и любые рациональные числа и пусть, например, Тогда

Число обозначим для краткости через . Очевидно, что есть рациональное число, заключенное между и .

Теперь рассмотрим числа и . По доказанному выше найдется рациональное число , заключенное между и , а следовательно, заключенное между и .

Такие рассуждения можно повторять сколько угодно раз и получить еще сколько угодно рациональных чисел , лежащих между числами и . Теорема доказана.

Пример:

Между числами 1 и 1,1 заключено бесконечное множество таких чисел, как, например, 1,01; 1,011; 1,0111; 1,01111; 1,011111;… Кроме этого множества чисел, можно указать сколько угодно других бесконечных множеств рациональных чисел, также заключенных между 1 и 1,1. Например, 1,07; 1,007; 1,0007;…

Рациональные точки числовой оси

Множеству рациональных чисел соответствует определенное множество точек числовой оси (см. стр. 44). Для нескольких произвольно взятых рациональных чисел это соответствие указано на рисунке 65.

Точки числовой оси, соответствующее рациональным числам, называются рациональными точками числовой оси. Рациональные точки числовой оси для образности будем называть «черными».

Было доказано, что между двумя любыми различными рациональными числами заключено бесконечное множество других рациональных чисел. Образно это мы можем сформулировать так: между двумя любыми «черными» точками числовой оси заключено бесконечное множество других «черных» точек.

В следующей главе мы обнаружим, что рациональные т. е. «черные») точки далеко не заполняют собой всю числовую ось, т. е. что на числовой оси, кроме этих рациональных («черных») точек, имеется бесконечное множество еще и других точек, которые все мы будем образно называть «красными».

Термины «черные» и «красные» точки здесь введены условно и временно лишь с тем, чтобы в изложение темы ввести элемент наглядности. Эти термины не следует понимать в буквальном смысле слова, так как точка не имеет измерений, а поэтому бессмысленно говорить и о ее цвете.

Решение заданий и задач по предметам: