Как найти рациональное число между корнями

Во первых, какого корня? квадратного? тогда докажите рациональность квадратного корня из 2, 3, 5, 7 и т. д.

Как по мне, нужно доказывать, что корень любого порядка из простого числа кроме 0 и 1 есть число иррациональное.

По сути.

Поскольку рациональное число (причём m =/= n, хотя если равны, то можно сократить и будет +/-1) подразумевает под собой несокращаемость числителя и знаменателя на общий натуральный делитель отличный от единицы, то, в таком случае, если один из них парный, то другой — всегда непарный, поскольку в другом случае их можно сократить на 2. То-есть, из Вашего комментария, если m — парный, m и n не имеют общих делителей, то n — всегда будет непарный.

Контрольные задания > Найдите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами корень из 7 и корень из 8 (запишите ход своих рассуждений).

Похожие

• Найдите значение х, если -х=-16.
• Найдите значение х, если -х=25.
• Найдите какое-нибудь иррациональное число, заключённое между числами 2 и 2,5 (запишите ход своих рассуждений).
• Найдите какое-нибудь иррациональное число, заключённое между числами 3 и 3,5 (запишите ход своих рассуждений).
• Найдите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами корень из 5 и корень из 6 (запишите ход своих рассуждений).
• Найдите какое-нибудь число, большее 100, которое при делении на 2, на 3 и на 5 даёт в остатке 1.
• Найдите какое-нибудь число, большее 100, которое при делении на 3 и на 5 даёт в остатке 2.
• Найдите какое-нибудь число, большее 100, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 1.
• Найдите какое-нибудь число, большее 100, которое при делении на 4 и на 5 даёт в остатке 3.
• Найдите координату середины отрезка с концами в точках А(-3; 3) и В(9; 7).

Содержание:

1. Теорема о рациональных корнях
2. Задача пример №8
3. Задача пример №9
4. Задача пример №10

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство:

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на :

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель , то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Задача пример №8

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение:

свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Задача пример №9

Найдите корни многочлена .

Решение:

по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как , то, решив квадратное уравнение , получим другие корни: . Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —.

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.

Например, для нахождения корней многочлена надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное уравнение .

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен , на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: ; . Значит, многочленах не имеет рациональных корней.

Исследование:

1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.

a) Многочлен первой степени имеет один корень:

b) Многочлен второй степени имеет два корня: , ;

c) Многочлен третьей степени имеет три корня:

d) Многочлен четвертой степени имеет четыре корня:

e) Принимая во внимание, что уравнение имеет кратные корни, получим 5 корней:

2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид .

3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?

Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.

Задача пример №10

Найдите все корни многочлена .

Решение:

рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

.

Значит, является корнем данного многочлена . Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда ; . Решим уравнение ; ; (корень кратности 2); ;

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику: