Как найти работу совершаемую газом при расширении

Работа расширения или сжатия газа

Одним
из основных термодинамических процессов,
совершающихся в большинстве тепловых
машин, является процесс расширения газа
с совершением работы. Легко определить
работу, совершаемую при изобарном
расширении газа.

   Если
при изобарном расширении газа от объема
V₁
до объема V₂
происходит перемещение поршня в цилиндре
на расстояние l
(рис. 7.3), то работа A’,
совершенная газом, равна

,
(7.27)

где
p
— давление газа,
—
изменение его объема.

3

Рис
7.3 Рис 7.4

Как
видно из рисунка 7.4, при изображении
изобарного процесса расширения газа в
координатных осях p
, V
площадь фигуры, ограниченной графиком
процесса, координатами V₁
и V₂,
осью абсцисс, пропорциональна работе
газа A’.

Работа
при произвольном процессе расширения
газа.
Произвольный процесс расширения газа
от объема V₁
до объема V₂
можно представить как совокупность
чередующихся изобарных и изохорных
процессов.

   При
изохорных процессах работа равна нулю,
так как поршень в цилиндре не перемещается.
Работа при изобарных процессах
пропорциональна площади фигуры на
диаграмме p,
V
под соответствующим участком изобары
(рис. 7.5).

Рис.
7.5
Рис. 7.6

Следовательно,
работа при произвольном процессе
расширения газа прямо пропорциональна
площади фигуры под соответствующим
участком графика процесса на диаграмме
p,
V.

Работа
при изотермическом расширении газа.
Сравнивая площади фигур под участками
изотермы и изобары (рис. 7.6), можно сделать
вывод, что расширение газа от объема V₁
до объема V₂
при одинаковом начальном значении
давления газа сопровождается в случае
изобарного расширения совершением
большей работы.

Работа
при сжатии газа.
При расширении газа направление вектора
силы давления газа совпадает с направлением
вектора перемещения, поэтому работа
A’,
совершенная газом, положительна (A’
> 0), а работа А
внешних сил отрицательна: A
= —A’
< 0.

   При
сжатии газа направление вектора внешней
силы совпадает с направлением перемещения,
поэтому работа А
внешних сил положительна (A
> 0), а работа A’,
совершенная газом, отрицательна (A’
< 0).

Адиабатный
процесс.
Кроме изобарного, изохорного и
изотермического процессов, в термодинамике
часто рассматриваются адиабатные
процессы.

   Адиабатным
процессом
называется процесс, происходящий в
термодинамической системе при отсутствии
теплообмена с окружающими телами, т. е.
при условии Q
= 0.

   Отсутствие
теплообмена с окружающей средой может
быть обеспечено хорошей теплоизоляцией
газа. Быстрые процессы расширения или
сжатия газа могут быть близкими к
адиабатному и при отсутствии теплоизоляции,
если время, за которое происходит
изменение объема газа, значительно
меньше времени, необходимого для
установления теплового равновесия газа
с окружающими телами.

 Примерами
адиабатных процессов могут служить
процессы сжатия воздуха в цилиндре
воздушного огнива, в цилиндре двигателя
внутреннего сгорания. В соответствии
с первым законом термодинамики, при
адиабатном сжатии изменение внутренней
энергии газа
равно
работе внешних сил А:

(7.28)

Так
как работа внешних сил при сжатии
положительна, внутренняя энергия газа
при адиабатном сжатии увеличивается,
его температура повышается.

   При
адиабатном расширении газ совершает
работу A’
за счет уменьшения своей внутренней
энергии:

,
(7.29)

поэтому
температура газа при адиабатном
расширении понижается. Это можно
обнаружить в следующем опыте. Если в
бутылку, содержащую насыщенный водяной
пар, накачивать с помощью насоса воздух,
то пробка вылетает (рис. 7.7).

Рис.
7.7

Работа
A’
по выталкиванию пробки совершается
воздухом за счет уменьшения его внутренней
энергии, так как расширение воздуха
происходит за очень короткое время и
теплообмен с окружающей средой не
успевает произойти. Образование капель
тумана доказывает, что при адиабатном
расширении воздуха его температура
понизилась и опустилась ниже точки
росы.

График
адиабатного процесса.
Поскольку при адиабатном сжатии
температура газа повышается, то давление
газа с уменьшением объема растет быстрее,
чем при изотермическом процессе.
Понижение температуры газа при адиабатном
расширении приводит к тому, что давление
газа убывает быстрее, чем при изотермическом
расширении.

   График
адиабатного процесса в координатных
осях p,
V
представлен на рисунке 1.8. На том же
рисунке для сравнения приведен график
изотермического процесса.

Рис.
7.8

Вну́тренняя
эне́ргия
тела (обозначается как E
или U) —
полная энергия этого тела за вычетом
кинетической
энергии
тела как целого и потенциальной
энергии
тела во внешнем поле сил. Следовательно,
внутренняя энергия складывается из
кинетической энергии хаотического
движения молекул,
потенциальной энергии взаимодействия
между ними и внутримолекулярной энергии.

Внутренняя
энергия является однозначной функцией
состояния системы. Это означает, что
всякий раз, когда система оказывается
в данном состоянии, её внутренняя энергия
принимает присущее этому состоянию
значение, независимо от предыстории
системы. Следовательно, изменение
внутренней энергии при переходе из
одного состояния в другое будет всегда
равно разности между ее значениями в
конечном и начальном состояниях,
независимо от пути, по которому совершался
переход.

Внутреннюю
энергию тела нельзя измерить напрямую.
Можно определить только изменение
внутренней энергии:

где

—подведённая
к телу теплота,
измеренная в джоулях

—работа,
совершаемая телом против внешних сил,
измеренная в джоулях

Эта
формула является математическим
выражением первого
начала термодинамики

Для
квазистатических
процессов
выполняется следующее соотношение:

где

—температура,
измеренная в кельвинах

—энтропия,
измеренная в джоулях/кельвин

—давление,
измеренное в паскалях

—химический
потенциал

—количество
частиц в системе

Идеальные
газы

Согласно
закону Джоуля, выведенному эмпирически,
внутренняя энергия идеального
газа
не зависит от давления или объёма. Исходя
из этого факта, можно получить выражение
для изменения внутренней энергии
идеального газа. По определению молярной
теплоёмкости
при постоянном объёме,
.
Так как внутренняя энергия идеального
газа является функцией только от
температуры, то

.
(7.30)

Эта
же формула верна и для вычисления
изменения внутренней энергии любого
тела, но только в процессах при постоянном
объёме (изохорных
процессах);
в общем случае C_V
(T,V)
является функцией и температуры, и
объёма.

Если
пренебречь изменением молярной
теплоёмкости при изменении температуры,
получим:

ΔU
= νC_VΔT,
(7.31)

где
ν — количеств о вещества, ΔT —
изменение температуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Первый закон термодинамики

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: работа в термодинамике, первый закон термодинамики, адиабатный процесс.

Начнём с обсуждения работы газа.

Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой , где — давление газа, — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.

При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).

к оглавлению ▴

Работа газа в изобарном процессе

Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении . Тогда сила , с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние (рис. 1).

Рис. 1.

Работа газа равна:

Но — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:

(1)

Если и — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: . Изобразив данный процесс на -диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2).

Рис. 2. Работа газа как площадь

Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма до объёма . С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:

Но , и снова получается формула (1).

Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на -диаграмме, но теперь со знаком минус.

Итак, формула выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.

к оглавлению ▴

Работа газа в произвольном процессе

Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на -диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.

Действительно, рассмотрим малое изменение объёма газа — настолько малое, что давление будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу . Тогда работа газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:

Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3):

Рис. 3. Работа газа как площадь

к оглавлению ▴

Работа, совершаемая над газом

Наряду с работой , которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу , которую поршень совершает над газом.

Если газ действует на поршень с силой , то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой , равной силе по модулю и противоположной по направлению: (рис. 4).

Рис. 4. Внешняя сила , действующая на газ

Следовательно, работа поршня равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу ; при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна . Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна , а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 0 right )’ class=’tex’ alt=’left ( {A}’ > 0 right )’ />.

Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа .

Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.

Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты , и если в то же время над телом совершена работа , то изменение внутренней энергии тела будет равно:

(2)

Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда (где , как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: , или

(3)

Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.

Напомним, что величина может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.

к оглавлению ▴

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.

1. Изотермический процесс, .
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: . Тогда формула (3) даёт:

Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.

2. Изохорный процесс, .
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: . Тогда первый закон термодинамики даёт:

Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.

3. Изобарный процесс, .
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1)). Имеем:

к оглавлению ▴

Адиабатный процесс

Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.

Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.

Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.

При адиабатном процессе . Из первого закона термодинамики получаем: , или .

В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.

Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет , поэтому : газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.

Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на -диаграмме (рис. 5).

Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты

В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?

При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.

А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.

При изучении физики в восьмом классе мы говорили о том, что
изменить состояние термодинамической системы, то есть её внутреннюю энергию, можно
двумя способами: используя теплопередачу или совершая механическую работу.
Поговорим о последней более подробно.

Итак, когда мы изучали механику, мы с вами говорили о том,
что работа силы (то есть механическая работа) связана с превращением одного
вида энергии в другой, например, механической энергии во внутреннюю. При этом работу
силы мы рассматривали как меру изменения энергии физической системы.

А вот как определить работу в термодинамике, ведь при
рассмотрении термодинамических процессов механическое перемещение макротел в
целом не рассматривается?

Забавно, но работа в термодинамике определяется так же, как и
в механике, но она равна изменению не механической энергии тела, а изменению
его внутренней энергии.

Итак, давайте рассмотрим газ, находящийся в цилиндрическом
сосуде с площадью основания S, и закрытый
подвижным поршнем. Взаимодействие газа с поршнем, а также со стенками сосуда
можно характеризовать давлением, которое газ оказывает на них.

Начнём медленно нагревать газ так, чтобы его давление не
изменялось. Очевидно, что в этом случае газ будет изобарически расширяться, а
поршень начнёт перемещаться за счёт работы силы давления газа над внешними
телами.

Предположим, что поршень переместился на расстояние ∆l.
Так как в процессе расширения давление газа не изменялось, то и сила давления
газа на поршень оставалась неизменной:

F
= pS.

Поэтому работу этой силы мы можем найти как произведение
модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между направлением вектора
силы и вектора перемещения (в нашем примере правда, этот угол равен нулю):

Подставим в записанное уравнение выражение для силы давления:

А теперь давайте подумаем, что определяет произведение площади
основания сосуда (она же площадь основания поршня) и модуля перемещения поршня?..
Да, оно определяет приращение объёма:

Тогда работа газа при его изобарном расширении будет
определяться произведением давления газа на изменение его объёма:

Из этой формулы следует, что сила давления газа совершает
работу только в процессе изменения объёма газа.

А так как давление газа всегда величина положительная, то из
формулы также следует, что при расширении газ совершает положительную работу. При
сжатии же газа сила давления будет совершать отрицательную работу.

Процесс медленного изобарного сжатия газа можно
характеризовать и работой внешних сил над газом, которая отличается от работы
самого газа только знаком:

А теперь давайте запишем уравнение Клайперона — Менделеева
для двух состояний газа в цилиндре:

И вычтем из второго уравнение первое:

В левой части полученного равенства у нас стоит произведение
давления газа на изменение его объёма. А это, как мы с вами нашли ранее, есть не
что иное, как работа газа при изобарном процессе:

Теперь предположим, что в сосуде под поршнем находится один
моль идеального газа и в результате изобарного расширения его температура
изменилась на один кельвин. Тогда получим, что «А равно Эр»:

Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой
постоянной: она численно равна работе, совершаемой одним молем идеального
газа при его изобарном нагревании на один кельвин.

Работе газа при его изобарном расширении или сжатии можно
дать простое геометрическое токование. Для этого давайте построим график
зависимости давления газа от занимаемого им объёма. Очевидно, что графиком
является прямая линия, параллельная оси абсцисс.

А площадь прямоугольника, ограниченного графиком процесса,
осью V и прямыми, соответствующими значениям объёмов в начальном и
конечном состояниях газа, — это есть ничто иное, как работа газа.

Если процесс перехода газа из начального состояния в конечное
не является изобарным, то кривую зависимости давления газа от занимаемого им
объёма можно представить как ломаную, состоящую из большого числа изохор и
изобар. Работа на изохорных участках равна нулю, а суммарная работа на всех
изобарных участках будет равна площади заштрихованной фигуры.

А теперь для закрепления материала решим с вами несколько
классических задач. В первой задаче нам необходимо будет определить работу, совершаемую
силой давления идеального газа определённой массы при его изобарном нагревании от
290 К до 355 К, если давление газа и его начальный объём соответственно 200 кПа
и 0,1 м³.

Задача 2. Идеальный газ в количестве 3 молей находится
при температуре 350 К. После изохорного охлаждения, в результате которого
давление уменьшилось в два раза, газ испытывает изобарное расширение, причём в
конечном состоянии температура равна первоначальной. Изобразите графически эти
процессы в осях p, V и вычислите совершённую газом работу.