Как найти промежуток убывания функции по формуле

Что такое функция

Как обычно, начнем мы с самого начала: с определения слова «функция».

Под функцией понимают правило, формулу, уравнение, которое описывает зависимость одной переменной от другой (например, у от х). Если изучить функцию, мы поймем:

• как изменится одна переменная, если другая увеличится;

• что произойдет с аргументом, если мы уменьшим функцию;

• что будет, если мы отобразим эту зависимость графически.

Спойлер: если изобразить зависимость в координатной системе, мы получим график! Давайте рассмотрим некоторые виды функций и графики, которые им соответствуют.

Важное напоминание: функция — это зависимая переменная величина (чаще у), аргумент — независимая переменная (чаще х).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Возрастание и убывание функции

В исследовании функции особое значение уделяют ее поведению в системе координат — монотонности функции. Функции бывают монотонными, немонотонными и постоянными.

Теперь к теме раздела: приведем определение возрастающей и убывающей функции.

Проще говоря, здесь работает правило «чем больше, тем больше»: чем больше значение х, тем больше и значение у.

Теперь вы знаете, как понять, что функция возрастает или убывает. Давайте решим пару задач, чтобы разобраться во всем наглядно.

Задача 1

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 2x + 3.

1) Найдем область определения функции: х ∈ R.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

Мы видим, что функция убывает при любом значении х ≠ 0. Это можно записать так: функция убывает при х∈ (– ∞ ;0) ∪ (0; + ∞). Подытожим эту информацию небольшой схемой.

Возрастание и убывание функции на интервале

Мы еще не закончили с возрастающими и убывающими функциями — эх, если бы все было так просто! Дело в том, что нас, математиков, интересуют вот какие вопросы:

• Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?

• Что делать, если просят определить характер на числовом промежутке?

• Как определить поведение функции без построения?

Давайте разбираться! Сначала узнаем, как определить характер функции на промежутке:

• Подставим значение х из промежутка в функцию.

• Проанализируем полученные значения у.

• Если при увеличении х увеличивается и у — это промежуток возрастания функции.

• Если у уменьшается при увеличении х — это промежуток убывания функции.

Достаточно просто, правда?

Пример

Возьмем функцию y = 4x – 6 и определим ее характер на промежутке [0;2]. Подставим числа из промежутка вместо х в функцию:

у(0) = –6
у(1) = -2
у(2) = 2

Мы видим, что при возрастании х возрастает и значение у, т. е. на этом промежутке функция возрастает.

Точки экстремума, экстремумы функции

Не пугайтесь этих страшных слов! Сейчас разберем их подробнее — это проще, чем кажется.

На графике выше y min — минимальное значение функции, точка минимума.

На том же графике y мах — максимальное значение функции, точка максимума.

Иначе точки минимума и максимума в математике принято называть точками экстремума, а значения функции, которые соответствуют точкам экстремума — экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет свой характер. Обратите внимание на рисунок ниже: функция стремительно возрастала до точки максимума, но после нее начала также стремительно уменьшаться. И наоборот, после прохождения точки минимума функция снова начинает возрастать.

Здесь вам может стать интересно: наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке — это то же самое или нет. Отвечаем: к сожалению, нет. Эти значения иногда могут совпадать, но часто определяются разными точками.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

У нас есть две новости: хорошая и не очень. Начнем с первой: если использовать достаточные условия возрастания/убывания, можно определить промежутки монотонности функции. И для этого даже не придется строить график! Но здесь нам пригодится производная.

Иначе говоря, производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении х.

К сожалению, в рамках этой статьи мы не будем долго останавливаться на производных. Как это сделать с помощью таблицы и правил дифференцирования, мы уже разбирали в статье «Таблица производных функций». Советуем почитать!

Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

Составим алгоритм действий, который поможет найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции.

3. Решим неравенства ƒ`(x) > 0 и ƒ`(x) < 0 на области определения.

4. К полученным промежуткам добавим граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

5. Проверим достаточные признаки возрастания и убывания функции, подставив значения из промежутков.

Задача 3

Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = х² + 5х + 6

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R

2. Найдем производную функции: y’ = 2х + 5

3. Решим неравенство: 2х + 5 > 0

   2х+5 >0
   2x>-5
   x> –2,5

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой.

   

Ответ: Функция убывает при х∈ (– ∞; –2,5], возрастает при х∈ [–2,5; +∞)

Задача 4

Определите интервалы возрастания и убывания функции у = х³ – 18х.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Найдем производную функции: y’ = 3x² + (–18).

3. Решим неравенство:

   3x² + (–18) > 0
   3 (x²–9) > 0
   3(x – 3)(x + 3) > 0

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой. Чтобы определить знак на каждом промежутке, подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

   

Ответ: Функция убывает при х∈ [–3;3], возрастает при х∈ (–∞;—3] ∪ [3; +∞).

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции у = f(x) определены следующие условия:

1. Функция непрерывна в окрестности точки x0 (нет разрыва).

2. ƒ′(x0) = 0 или ƒ′(x0) не существует;

3. Производная ƒ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.

Тогда в точке x = x0 функция y = f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная в точке x0 не меняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, точки 1 и 4 — точки максимума, точка 3 — точка минимума. В точке 2 экстремума нет.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь разберемся, как найти точки экстремума функции. Для этого пройдем по этим шагам:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции на этой области.

3. Определим нули и точки, где функция не существует.

4. Определим знак производной на интервалах.

5. Выберем точки, где функция меняет знак.

6. Найдем точки минимума/максимума и экстремумы функции.

Задача 5

Найдите экстремумы функции у = –x² + 8x – 7.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = –2x + 8

3. Решим неравенство:

   –2x + 8 > 0
   –2x > –8
   x < 4

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

   

В точке х = 4 функция меняет свой знак с «+» на «–», значит, точка х = 4 — это точка максимума.

Ответ: у(4) = 9 — экстремум функции.

Задача 6

Найдите экстремумы функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = x² + 4x – 12.

3. Решим неравенство:

   x² + 4x – 12 > 0
   (x – 2)(x + 6) > 0

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

   

Так на интервале (–∞; –6) и (2; +∞) производная положительна — на них функция возрастает. На интервале (–6;2) производная отрицательна — функция убывает.

Ответ: x = 2 — точка минимума, у(2) = –7 ⅓ — экстремум функции; х = –6 — точка максимума, у(–6) = 78 — экстремум функции.

Как можно запомнить переход знаков для точек максимум или минимум:

• Когда функция возрастает, а потом убывает, мы будто поднимались на вершину горы — значит, посетили точку максимума.

• Когда функция убывает, а потом возрастает, мы будто спускались в овраг и выбрались из него — а значит, были в точке минимума.

Второе достаточное условие экстремума

x₀ — это точка экстремума функции f(x), если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f »(x) ≠ 0). Причем, если вторая производная больше нуля (f »(x) > 0), то точкой минимума, а если вторая производная меньше нуля (f »(x) < 0), то точкой максимума.

Рассмотрим это условие экстремума на примере из задачи 6 — функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6:

1. Ее первая производная равна y’= x² + 4x – 12.

2. Определим нули производной — значение х, при котором производная обращается в ноль: x^{2 + 4x – 12 = 0 при х = 2 и х = –6.}

3. Возьмем вторую производную функции y’’= 2х + 4.

4. Подставим значения х = 2 и х = –6 во вторую производную и определим, являются ли эти точки максимумом или минимумом:

   y’’(2) = 8, y’’ > 0, значит, х = 2 является точкой минимума,
   y’’(–6) = –8, y’’ < 0, значит, х = –6 является точкой максимум.

В этом условии есть два важных замечания:

1. Если в точке x0 и первая, и вторая производные обращаются в ноль, то в этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции, по второму признаку нельзя судить о наличии или отсутствии экстремумов.

2. Второй достаточный признак нельзя применять, когда в стационарной точке (нуле производной) первая производная не существует. Ведь тогда не существует и вторая производная.

Третье достаточное условие экстремума

Это условие не используется в школьной программе, так как требует большого количества вычислений и логических размышлений. Мы все равно познакомим вас с ним — возможно, вам захочется изучить это усaловие самостоятельно и блеснуть знаниями перед учителем. Что ж, мы только за!

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε-окрестности точки x0 и производные до n+1-го порядка в самой точке x0. Пусть
ƒ′(x₀) = ƒⁿ(x₀) = ƒ^m(x₀) = … = ƒ⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 и ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≠ 0.

Тогда,

• если n – четное, то x₀ — точка перегиба;

• если n – нечетное, то x₀ — точка экстремума, причем

• если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0, то x₀ — точка минимума;

• если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0, то x₀ — точка максимума.

Думаем, вы убедились, что тема «Возрастание и убывание функции» достаточно интересна. В то же время, она требует умения исследовать графики, находить первую и вторую производную функции, определять знаки по числовым прямым. Получить практический опыт решения таких заданий можно на курсах по профильной математике в школе Skysmart! Там мы сможем закрепить полученные знания, подготовиться к контрольным работам и даже к ОГЭ! Заинтригованы? Тогда мы ждем вас на занятиях!

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на

координатной плоскости
и проведем через них прямую.

Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У первой точки « (·)A »
координаты:
x₁ = 0 ;   y₁ = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ;   y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ )»
растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »

достаточно подставить « x₁ » и
« x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) >
y( x₁ ) » полученные формулы

« y( x₁ ) = 9x₁ − 4» и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4

Упростим полученное
неравенство.

9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0

Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.

9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x₂ > x₁».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

Вместо « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.

Подставим « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.

−x₂ < −x₁ | · (−1)

x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

• функция убывает при
     x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
      −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.

Ответ:

• функция убывает на промежутках    
  x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция

« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁
+ m
+ 3
− 2x₁
< 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁
− m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁

< 0

mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁

< 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x₂ − x₁) + 2(x₂ − x₁)

< 0

Теперь
вынесем общий множитель

« ( x₂ − x₁ ) ».

( x₂ − x₁) (m + 2)

< 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ».
Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁

x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x₂ − x₁) (m + 2)

» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Определение
возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых и выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.

Определение
убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает
на интервале X,
если для любых и выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.

ЗАМЕЧАНИЕ:
если функция определена и непрерывна
в концах интервала возрастания или
убывания (a;b),
то есть при x=a и x=b,
то эти точки включаются в промежуток
возрастания или убывания. Это не
противоречит определениям возрастающей
и убывающей функции на промежутке X.

К
примеру, из свойств основных элементарных
функций мы знаем, что y=sinx определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Поэтому, из возрастания
функции синуса на интервале мы
можем утверждать о возрастании на
отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой
максимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке максимума
называютмаксимумом
функции и
обозначают .

Точку называют точкой
минимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке минимума
называютминимумом
функции и
обозначают .

Под
окрестностью точки понимают
интервал ,
где —
достаточно малое положительное число.

Точки
минимума и максимума называют точками
экстремума,
а значения функции, соответствующие
точкам экстремума, называют экстремумами
функции.

Не
путайте экстремумы функции с наибольшим
и наименьшим значением функции.

На
первом рисунке наибольшее значение
функции на отрезке [a;b] достигается
в точке максимума и равно максимуму
функции, а на втором рисунке – наибольшее
значение функции достигается в точке x=b,
которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На
основании достаточных условий (признаков)
возрастания и убывания функции находятся
промежутки возрастания и убывания
функции.

Вот
формулировки признаков возрастания и
убывания функции на интервале:

• если
  производная функции y=f(x) положительна
  для любого x из
  интервала X,
  то функция возрастает на X;

• если
  производная функции y=f(x) отрицательна
  для любого x из
  интервала X,
  то функция убывает на X.

Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции необходимо:

• найти
  область определения функции;

• найти
  производную функции;

• решить
  неравенства и на
  области определения;

• к
  полученным промежуткам добавить
  граничные точки, в которых функция
  определена и непрерывна.

Рассмотрим
пример нахождения промежутков возрастания
и убывания функции для разъяснения
алгоритма.

Пример.

Найти
промежутки возрастания и убывания
функции .

Решение.

Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции. В нашем
примере выражение в знаменателе не
должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим
к нахождению производной функции:

Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2,
а знаменатель обращается в ноль при x=0.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.

Таким
образом, и .

В
точке x=2 функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x=0 функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.

Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.

Ответ:

функция
возрастает при ,
убывает на интервале (0;2].

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Правильными будут следующие утверждения.

• Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
• Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
• Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции  нужно решить неравенства  или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции 

Решение:

Уравнение  имеет корни  Это — критические точки. Область определения данной функции — множество  — они разбивают на три промежутка:  (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, данная функция на промежутках  возрастает, а на  убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция  в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках   на  — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции 

Решение:

Критические точки:  Они всю область определения функции разбивают на интервалы:  (рис. 73). Производная  на этих промежутках имеет соответственно такие знаки:  Следовательно, функция убывает на промежутках  Поскольку в точках  данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: 

Пример:

Найдите критические точки функции  

Решение:

 Найдем произвольную функции: 
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует:  — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда  и  Точка  не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: 

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция  возрастает на 

Решение:

  При любом значении  выражение  имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве 

Пример:

Установите, на каком промежутке функция  возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1.  Найдём производную функции:

Найдём критические точки функции:

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Следовательно, функция  возрастает на промежутке  а убывает на 

Способ 2. Решим неравенство  и 

Ответ. Возрастает, если  убывает если 

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция  является дифференцируемой,  её производная  — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную  Это производная второго порядка, или вторая производная функции 

Например, найти производную 2-го порядка функции означает найти производную этой функции  и полученную функцию продифференцировать: 

Кривая  называется выпуклой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая  называется вогнутой на интервале  если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции  отрицательна  на интервале  то кривая выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции положительная  то кривая вогнутая на 

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой  могут быть только точки, в которых вторая производная  равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть  — критическая точка второго рода функции  Если при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка является точкой перегиба кривой 

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. найти критические точки второго рода;
3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если  то кривая выпуклая; если  — кривая вогнутая;
4. если производная  меняет знак при переходе через точку  то точка  является точкой перегиба кривой 

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой 

Решение:

1) Область определения функции: 

2) Найдём вторую производную:  Критические точки второго рода:  Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы  и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если  поэтому кривая вогнутая.

Если  поэтому кривая выпуклая.

Если  — кривая вогнутая.

Следовательно, точки  — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Напомним, что прямая  будет вертикальной асимптотой кривой  если при  (справа или слева) значение функции  стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: 

Уравнение наклонной асимптоты: 

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен  то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если  поэтому  — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом  следует понимать и  При этом указанные пределы могут быть разными при

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Решение:

а)  Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:  Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: 

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: 

 Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках  и  то прямые  — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты 

Значит прямая  — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: 

 Будем искать наклонные асимптоты:

Следовательно,  — наклонная асимптота, если 

2) если  (проверьте самостоятельно), отсюда  — наклонная асимптота, если 

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты:

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Если для любых и из некоторого промежутка области определения при выполняется условие на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция возрастает.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция убывает.

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции положительна, т. е. Так как то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график «поднимается «, т. е. функция возрастает. Если тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график «спускается», т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

На интервалах и угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков и функция возрастает.

На интервале угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке функция убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Функция на промежутке удовлетворяющем неравенству т. е. возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Значит, при и Точки разбивают область определения функции на три интервала: и В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Из таблицы и непрерывности функции видно, что данная функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке Из графика так же видно, что задания решение верно.

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

График производной при и расположен выше оси значит, При график производной расположен ниже оси значит Так как функция в точках и непрерывна, то на промежутках и она возрастает, а на промежутке убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при при

b) при или при

Решение:

а) при знак производной положительный: значит,

функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 5.

b) При и знак производной положительный: значит, функция возрастает. При знак производной отрицательный: значит, функция убывает, при значение функции равно 0.

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума( и ) производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1. слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
2. слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
3. с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Пример №5

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

При имеем максимум

При имеем минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как то критические точки можно найти из уравнения и Критическая точка не принадлежит данному отрезку и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Пример №7

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная функции:

2. Критические точки:

и

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

и

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Для промежутка возьмем

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Пример №8

Найдите экстремумы функции

Решение: 1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем

Для возьмем

Пример №9

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Соответствующий график представлен на рисунке.

• Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция — многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
• Найдите максимумы и минимумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Точки пересечения с осями координат :

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю):

значит, точки и расположены на графике.

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

• Найдите область определения.
• Найдите асимптоты (если они есть).
• Определите точки пересечения с осями координат.
• Найдите критические точки.
• Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
• Постройте график.

Пример:

Постройте график функции

1) Область определения функции:

2) Асимптоты:

Прямая вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее:

условии имеем т. е. график функции бесконечно приближается к прямой В этом случае прямая является наклонной асимптотой функции Вообще, если степень многочлена на 1 единицу больше степени многочлена то рациональная функция имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат:

4) Критические точки:

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке функция не определена, точки и являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Обратите внимание! В области, близкой к точке график функции ведет себя как парабола

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума — наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Тогда выразим подставим в формулу Зависимость объема коробки от переменной можно выразить следующим образом:

Теперь найдем область определения функции согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е.

или Значит,

Найдем максимальное значение функции на интервале

Для этого используем производную первого порядка:

При и имеем, что

Однако. Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является

При имеем при имеем функция

в точке принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами

Построив при помощи графкалькулятора график функции также можно увидеть, что при объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

зависимость функции от переменной будет

Производная функции

Найдем критические точки функции

Сравнивая значения функции в точках (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр и выразите искомую величину функцией Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Эти данные дают нам возможность найти зависимость между и

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении где функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции

Критическая точка функции: При имеем при

Значит,

Подставим значение в формулу для высоты получим

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами и

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?