Как найти производную со степенью в степени

Содержание:

• 1-ый способ
• 2-ой способ
• 3-ий способ

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)+u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)$$

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)+v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)$$

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

$$begin{array}{c}
y(x)=u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=ln u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=v(x) cdot ln u(x) \
(ln y(x))^{prime}=(v(x) cdot ln u(x))^{prime} \
frac{y^{prime}(x)}{y(x)}=v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime} Rightarrow \
Rightarrow y^{prime}(x)=y(x)left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)}left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

3-ий способ

Представим функцию $y(x)=u(x)^{v(x)}$ в следующем виде
(используются свойства логарифмов):

$$y(x)=u(x)^{v(x)}=e^{ln u(x)^{w(x)}}=e^{v(x) ln u(x)}$$

Тогда

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(e^{v(x) ln u(x)}right)^{prime}=e^{v(x) ln u(x)} cdot(v(x) ln u(x))^{prime}= \
=e^{v(x) ln u(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

Читать дальше: основные теоремы дифференциального исчисления.

Как считать производную степенной функции

3 февраля 2015

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=fleft( x right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $fleft( {{x}_{1}} right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $alpha $,
3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $alpha $.

Что мы можем сказать об $text{ }!!alpha!!text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

[tg=frac{BC}{AC}]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}]

Точно также и $BC$:

[BC=fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)]

Другими словами, мы можем записать следующее:

[operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }=frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $text{ }!!alpha!!text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $text{ }!!alpha!!text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

[{f}’left( {{x}_{1}} right)=operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $beta $.

[{f}’left( {{x}_{2}} right)=tgtext{ }!!beta!!text{ }]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}’=ncdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

[begin{align}& y={{x}^{2}} \& {y}’=2cdot {{x}^{2-1}}=2x \end{align}]

А вот другой вариант:

[begin{align}& y={{x}^{1}} \& {y}’={{left( x right)}^{prime }}=1cdot {{x}^{0}}=1cdot 1=1 \& {{left( x right)}^{prime }}=1 \end{align}]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

[fleft( x right)={{x}^{6}}]

Итак, мы получаем:

[{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}]

Теперь решим второе выражение:

[begin{align}& fleft( x right)={{x}^{100}} \& {{left( {{x}^{100}} right)}^{prime }}=100cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \end{align}]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

[{{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

[{{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’]

Пример:

[{{left( {{x}^{2}}+x right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( x right)}^{prime }}=2x+1]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

[{{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’]

Пример:

[{{left( 3{{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

[{{left( c right)}^{prime }}=0]

Пример решения:

[{{left( 1001 right)}^{prime }}={{left( frac{1}{1000} right)}^{prime }}=0]

Еще раз ключевые моменты:

1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’$;
2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’$;
3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’$;
4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{left( c right)}^{prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

[y={{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7]

Записываем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{7}’= \& =5{{x}^{4}}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \end{align}]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

[fleft( x right)=3{{x}^{2}}-2x+2]

Записываем решение:

[begin{align}& {{left( 3{{x}^{2}}-2x+2 right)}^{prime }}={{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}-{{left( 2x right)}^{prime }}+{2}’= \& =3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}-2{x}’+0=3cdot 2x-2cdot 1=6x-2 \end{align}]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5]

Решаем:

[begin{align}& {{left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5 right)}^{prime }}={{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( frac{1}{2}x right)}^{prime }}-{5}’= \& =2{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+frac{1}{2}cdot {x}’=2cdot 3{{x}^{2}}-3cdot 2x+frac{1}{2}cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+frac{1}{2} \end{align}]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

[y=6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5,{{x}_{0}}=-1]

Итак, считаем:

[begin{align}& {{left( 6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 right)}^{prime }}={{left( 6{{x}^{7}} right)}^{prime }}-{{left( 14{{x}^{3}} right)}^{prime }}+{{left( 4x right)}^{prime }}+{5}’= \& =6cdot 7cdot {{x}^{6}}-14cdot 3{{x}^{2}}+4cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \end{align}]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

[{y}’left( -1 right)=42cdot 1-42cdot 1+4=4]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

[begin{align}& sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2}cdot {{x}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{x}}=frac{1}{2sqrt{x}} \end{align}]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

[y=sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x}]

Записываем решение:

[begin{align}& left( sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x} right)={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot {{x}^{-frac{2}{3}}}=frac{1}{3}cdot frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}{{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

[{y}’=frac{1}{2sqrt{x}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

[y={{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x}]

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot {{x}^{frac{2}{3}}} right)}^{prime }}= \& ={{left( {{x}^{3+frac{2}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{11}{3}}} right)}^{prime }}=frac{11}{3}cdot {{x}^{frac{8}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2frac{2}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} \& {{left( {{x}^{7}}cdot sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7}}cdot {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=7frac{1}{3}cdot {{x}^{6frac{1}{3}}}=frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x} \end{align}]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

[{y}’=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}}+frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x}]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

[left( frac{1}{{{x}^{n}}} right)’={{left( {{x}^{-n}} right)}^{prime }}=-ncdot {{x}^{-n-1}}=-frac{n}{{{x}^{n+1}}}]

Пример:

[{{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=left( {{x}^{-1}} right)=-1cdot {{x}^{-2}}=-frac{1}{{{x}^{2}}}]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

[fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{2}}}]

Считаем:

[{{left( frac{1}{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-2}} right)}^{prime }}=-2cdot {{x}^{-3}}=-frac{2}{{{x}^{3}}}]

Первый пример решен, переходим ко второму:

[y=frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}]

Решаем:

[begin{align}& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} right)}^{prime }}= \& ={{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}-{{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+{{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }} \& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}{{left( frac{1}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{-7}{{{x}^{5}}} \& {{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot left( -3 right)cdot {{x}^{-4}}=frac{-2}{{{x}^{4}}} \& {{left( frac{5}{2}{{x}^{2}} right)}^{prime }}=frac{5}{2}cdot 2x=5x \& {{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}=2cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \& {{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }}=3cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \end{align}]…

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

[{y}’=-frac{7}{{{x}^{5}}}+frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft( x right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft( x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft( x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

[y={{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x}]

Считаем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+left( sqrt[3]{x} right) \& {{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{x}^{2}} \& {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=-3cdot {{x}^{-4}}=-frac{3}{{{x}^{4}}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot frac{1}{{{x}^{frac{2}{3}}}}=frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \end{align}]

Производная функции равна:

[{y}’=3{{x}^{2}}-frac{3}{{{x}^{4}}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

[y=-frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Во втором примере действуем аналогично:

[{{left( -frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}+{{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

[begin{align}& {{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=-2cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=-2cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{8}{{{x}^{5}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}cdot {{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \& {{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{xcdot {{x}^{frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{{{x}^{1frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}=4cdot {{left( {{x}^{-1frac{3}{4}}} right)}^{prime }}= \& =4cdot left( -1frac{3}{4} right)cdot {{x}^{-2frac{3}{4}}}=4cdot left( -frac{7}{4} right)cdot frac{1}{{{x}^{2frac{3}{4}}}}=frac{-7}{{{x}^{2}}cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

[{y}’=frac{8}{{{x}^{5}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

Смотрите также:

1. Производная произведения и частного
2. Правила вычисления производных
3. Теорема Виета
4. Преобразование уравнений
5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

Найдем производную функции f(x)=ax,a>0,a≠0f(x)=a^x, a>0, a ne 0 и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная функции f(x)=a в степени x

Как известно, производной функции f(x)f(x), определенной в точке x0x_0 и в некотором интервале, содержащем x0x_0, называют предел следующего вида:

f′(x0)=dfdx∣x=x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{‘}(x_0)=dfrac{df}{dx}Bigr|_{x=x_0}=limlimits_{Delta x to 0}dfrac{ f(x_0+ Delta x)-f(x_0 )}{ Delta x}

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции f(x)f(x) необходимо последовательно:

1. Записать выражение для приращения функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Delta f(x_0 )=f(x_0+Delta x)-f(x_0 )

1. Упростить, по возможности, дробь

Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}=dfrac {f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}

1. Вычислить предел дроби при Δx→0Delta x to 0 и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной показательной функции:

• Записываем приращение функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)=ax0+Δx−ax0=ax0(aΔx−1)Delta f(x_0)= f(x_0+Delta x)-f(x_0)= a^{x_0+Delta x}-a^{x_0}=a^{x_0} (a^{Delta x}-1)

• Получаем дробь:

Δf(x0)Δx=ax0aΔx−1Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}= a^{x_0} dfrac {a^{Delta x}-1}{Delta x}

• Вычисляем производную:

f′(x0)=lim⁡Δx→0ax0aΔx−1Δx=ax0lim⁡Δx→0aΔx−1Δxf'(x_0 )= limlimits_{Delta x to 0} {a^{x_0} dfrac {a^{Delta x}-1}{Delta x}}= a^{x_0}limlimits_{Delta x to 0} {dfrac {a^{Delta x}-1}{Delta x}}

Используем далее представление показательной функции с помощью экспоненты:

ax=eln⁡a⋅xa^x=e^{ln {a} cdot x}

Тогда:

f′(x0)=ax0lim⁡Δx→0eln⁡a⋅Δx−1Δx=ln⁡a⋅ax0lim⁡t→0et−1tf'(x_0 )= a^{x_0}limlimits_{Delta x to 0} {dfrac {e^{ln {a} cdot Delta x}-1}{Delta x}}= ln {a} cdot a^{x_0}limlimits_{t to 0} {dfrac {e^{t}-1} {t}}

где t=ln⁡a⋅Δxt = ln {a} cdot Delta {x}

Для преобразования ete^{t} используем представление числа e≈2,71828e approx 2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+dfrac {1}{n}} Bigr) ^n

Следовательно:

et=lim⁡n→∞(1+tn)ne^{t} =limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+dfrac {t}{n}} Bigr) ^n

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

(1+tn)n=1+Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)nBigl( {1+dfrac {t}{n}} Bigr) ^n=1+C_n^1 dfrac{t}{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^n

Тогда:

f′(x0)=ln⁡a⋅ax0lim⁡t→0lim⁡n→∞(1+Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)n)−1t=ln⁡a⋅ax0lim⁡t→0(lim⁡n→∞Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)nt)=ln⁡a⋅ax0lim⁡t→0lim⁡n→∞(Cn11n+Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=ln⁡a⋅ax0lim⁡n→∞lim⁡t→0(n1n+Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=ln⁡a⋅ax0(1+lim⁡n→∞lim⁡t→0(Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn))f'(x_0 )= ln {a} cdot a^{x_0}limlimits_{t to 0}dfrac {limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+C_n^1 dfrac{t}{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^n }Bigr)-1}{t} = ln {a} cdot a^{x_0}limlimits_{t to 0}Bigl( limlimits_{ntoinfty} dfrac {C_n^1 dfrac{t}{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{t}{n}}Bigr)^n }{t}Bigr)= ln {a} cdot a^{x_0}limlimits_{t to 0} limlimits_{ntoinfty} Bigl( {C_n^1 dfrac{1}{n}+ C_n^2 dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{t^{n-1} }{n^n}}Bigr)= ln {a} cdot a^{x_0}limlimits_{ ntoinfty } limlimits_{t to 0} Bigl( {n dfrac{1}{n}+ C_n^2 dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{t^{n-1} }{n^n}}Bigr)=ln {a} cdot a^{x_0} Bigl( 1+ limlimits_{ ntoinfty } limlimits_{t to 0} Bigl( { C_n^2 dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{t^{n-1} }{n^n}}Bigr) Bigr)

Учитывая, что:

lim⁡t→0(Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=0limlimits_{t to 0} Bigl( { C_n^2 dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{t^{n-1} }{n^n}}Bigr)=0

получаем:

f′(x0)=ln⁡a⋅ax0(1+0)f'(x_0 )= ln {a} cdot a^{x_0}(1+0)

Таким образом:

f′(x)=(ax)′=axln⁡af'(x)= (a^{x})^{‘}= a^{x} ln {a}

Как и следовало ожидать, при a=ea=e производная экспоненциальной функции f(x)=exf(x)=e^x равна этой же функции:

(ex)′=exln⁡e=ex(e^x )’=e^x ln {e}=e^x

Некоторые свойства и практические примеры

• Угол наклона αalpha касательной к графику функции y=axy=a^x в точке x=x0x=x_0 определяется соотношением:

tg⁡α=y′(x0)=axln⁡atg alpha =y^{‘} (x_0 )= a^{x} ln {a}

Здесь угол αalpha это угол между касательной и осью OxOx отсчитываемый от положительного направления OxOx против часовой стрелки.

Производная функции f(x)=axf(x)=a^x в точке x0=0x_0=0 равна:

f′(x0)=(ax)x0=0′=a0ln⁡a=ln⁡af’ (x_0 )=(a^x )_{x_0=0}’=a^0 ln {a}=ln {a}

• Производная сложной функции

y=ag(x)y=a^{g(x)}

согласно правил дифференцирования, равна:

y′=g′(x)ag(x)ln⁡ay’=g'(x) a^{g(x)} ln {a}

• Производная сложной функции

y=u(v),y=u(v), где v=axv=a^x

равна:

y′=uv′⋅v′=uv′⋅axln⁡ay’=u’_v cdot v’=u’_v cdot a^x ln {a}

Производная
степенно-показательной функции

:

Т.е. для того чтобы
найти производную степенно-показательной
функции, нужно сначала продифференцировать
её как степенную (формула (3)), затем как
показательную (формула (7)) и полученные
результаты сложить.

Пример 2.
Вычислить производную функции

.

Решение.

.

П
роизводная
неявной функции F(x,y)=0
получается дифференцированием обеих
частей уравнения, рассматривая y
как функцию от x , а
затем из полученного уравнения находится
y`.

Пример 3.
Найти производную от неявной функции
x² +3xy
+ y² +
1 =0 и вычислить y`
в точке (2; -1).

Решение.
Дифференцируя по x,
получаем:
отсюда

.
Подставим x
=2 , y = -1,
получим
.

В.7. Производные высших порядков

Производная

называется
производной 1-го порядка. Однако
производная сама является функцией,
которая также может иметь производную.

Производная n-го
порядка называется производная от
производной (n-1)-го
порядка:

.

Обозначается :

и т.д.

Механический смысл
2-й производной: 2-ая производная пути
по времени

равна ускорению точки в момент t₀.

В.9. Приложения производной

9.1. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя.
Предел
отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу
отношения их производных (конечному
или бесконечному), если последний
существует в указанном смысле.

Другими
словами, если имеется неопределенность

или

,
то

Пример 4. Найти
предел, используя правило Лопиталя:

.

Решение. Имеем
неопределенность вида

.
Применяя правило Лопиталя, получим:

=

.
Неопределенность вида

по-прежнему сохраняется. Применим
правило еще раз:
=
.

Ответ: 1.

9.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Теорема (достаточное
условие возрастания функции). Если
производная дифференцируемой функции
положительна внутри некоторого промежутка
X,то функция
возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное
условие убывание функции). Если
производная дифференцируемой функции
отрицательна внутри некоторого промежутка
X, то функция
убывает на этом промежутке.

Необходимое
условие монотонности более слабое:
если функция возрастает (убывает) на
некотором промежутке X,
то можно лишь утверждать, что производная
неотрицательна (неположительна) на этом
промежутке:

,
т.е. в отдельных точках производная
монотонной функции может равняться
нулю.

Например, функция
y=x³
монотонно возрастает на всей числовой
оси, но при x=0

Точка x₀
называется точкой максимума
функции ƒ(x),если
в некоторой окрестности точки x₀
выполняется неравенство ƒ(x₀)
≥ ƒ(x).

Точка x₁называется
точкой минимума функции ƒ(x),
если в некоторой окрестности точки x₁
выполняется неравенство ƒ(x₁)
≤ ƒ(x).

Значения функции
в точках x₀
и x₁
называются соответственно максимумом
и минимумом функции. Их объединяют
общим термином – экстремум
функции. Его также называют локальным
экстремумом , поскольку понятие
экстремума связано лишь с достаточно
малой окрестностью точки x₀
На одном промежутке функция может
иметь несколько экстремумов, причем
минимум в одной точке может оказаться
больше максимума в другой точке.

Е

сли
в точке x₀
дифференцируемая функция имеет
экстремум, то в некоторой окрестности
этой точки выполнены условия теоремы
Ферма. Следовательно,

.
Но функция может иметь экстремум
и в точках, в которых она не дифференцируема.

О

тсюда
необходимое условие экстремума:
для того, чтобы функция y=
f(x)
имела экстремум в точке x₀
, необходимо, чтобы её производная в
этой точки равнялась нулю или не
существовала.

(Экстремум в точке
x =0, но
функция здесь не дифференцируемая)

(Производная равна
нулю при x=0,
но экстремума нет)

Точки в которых
выполнено необходимое условие экстремума,
называются критическими (стационарными).
Их также называют точками, подозрительными
на экстремум. Одна критическая точка
вовсе не обязательно является точкой
экстремума.

Таким
образом, для нахождения экстремумов
функции требуется дополнительное
исследование критических точек, т.е.
нужно достаточное условие экстремума.

Теорема (первое
достаточное условие экстремума). Если
при переходе через точку x₀
производная дифференцируемой функции
меняет свой знак с плюса на минус, то
точка x₀
есть точка максимума функции y=ƒ(x),
а если с минуса на плюс, то точка минимума
.

Схема исследование
функции y=ƒ(x)
на экстремум:

1. Найти
   .

2. Найти критические
   точки функции, в которых

   =0
   или не существует.

3. Исследовать знак
   производной слева и справа от каждой
   критической точки и сделать вывод о
   наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы
   функции (экстремальные значение
   функции).

Пример 5. Исследовать
функцию

на экстремум.

Теорема (второе
достаточное условие экстремума). Если
функция у=ƒ(x)
дважды дифференцируема и в некоторой
точке x₀


=0,

>0,
то x₀
есть точка минимума функции y=ƒ(x),если
=0,

<0,
то точка максимума.

Д

ля
отыскания наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке
надо найти значения функции в
критических точках и на концах отрезка
и выбрать из них наименьшее ƒ_min
и наибольшее значение ƒ_max.

Е

сли
функция непрерывна на интервале
(а,b),
то она может не принимать на нем
наибольшего и наименьшего значений. В
частности, если дифференцируемая функция
на интервале (а,b)
имеет лишь одну точку максимума, то
наибольшее значение функции совпадает
с максимумом этой функции.

Пример
6. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
у
= х³
– 12х
на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала
найдем производную функции: у’ =
3х² – 12.

Затем найдем
критические точки, т.е. точки, в которых
у’ = 0 или не существует: 3х²
– 12 = 0, откуда критические точки х₁
= –2, х₂ = 2. Точка х₁ =
–2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому
мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения
функции в критической точке х₂
= 2 и на концах интервала и выберем из
них наибольшее и наименьшее: у(2) = –
16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Т.о. наибольшее
значение функции на отрезке [0, 5] равно
65, наименьшее равно –16.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2

2.7. Производная показательно-степенной функции

Функция
называется показательной, если независимая
переменная входит в показатель степени,
и степенной, если переменная является
основанием. Если же и основание и
показатель степени зависят от переменной,
то такая функция будет показательно –
степенной.

Пусть u = f(x)
и v = g(x)
– функции, имеющие производные в точке
х, f(x)>0.

Найдем
производную функции y =
u^v.
Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Пример.
Найти производную функции
.

По полученной
выше формуле получаем:

Производные
этих функций:

Окончательно:

2.8. Производная обратных функций

Пусть требуется
найти производную функции у = f(x

)
при условии, что обратная ей функция
x = g(y)
имеет производную, отличную от нуля в
соответствующей точке.

Для решения
этой задачи дифференцируем функцию x
= g(y) по х:

т.к. g(y)

0

т.е. производная
обратной функции обратна по величине
производной данной функции.

Пример.
Найти формулу для производной функции
arctg.

Функция arctg
является функцией, обратной функции
tg, т.е. ее производная
может быть найдена следующим образом:

Известно,
что

По приведенной
выше формуле получаем:

Т.к.
то можно записать окончательную формулу
для производной арктангенса:

Таким
образом получены все формулы для
производных арксинуса, арккосинуса и
других обратных функций, приведенных
в таблице производных.

2.9. Дифференциал функции

Пусть функция
y = f(x)
имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:
,
где 0, при х0.

Следовательно:
.

Величина x-
бесконечно малая более высокого порядка,
чем f(x)x,
т.е. f(x)x
— главная часть приращения у.

Определение.
Дифференциалом функции f(x)
в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.

Обозначается
dy или df(x).

Из определения
следует, что dy = f(x)x
или

dy
= f(x)dx

.

Можно также
записать:

2.10. Геометрический смысл дифференциала

y

f(x)

K

dy

M
y

L



x x + x
x

Из треугольника
MKL:
KL = dy
= tgx
= yx

Таким образом,
дифференциал функции f(x)
в точке х равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в
рассматриваемой точке.

2.11. Свойства дифференциала

Если u
= f(x)
и v = g(x)-
функции, дифференцируемые в точке х, то
непосредственно из определения
дифференциала следуют следующие
свойства:

1. d(u
   
   v) = (u 
   v)dx
   = udx
   
   vdx
   = du 
   dv

1. d(uv)
   = (uv)dx
   = (uv
   + vu)dx
   = vdu + udv

1. d(Cu) = Cdu

2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала

Пусть y
= f(x),
x = g(t),
т.е у- сложная функция.

Тогда
dy =
f(x)g(t)dt
= f(x)dx.

Видно, что форма записи
дифференциала dy не зависит
от того, будет ли х независимой переменной
или функцией какой- то другой переменной,
в связи с чем эта форма записи называется
инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х-
независимая переменная, то

dx
= x,
но

если х зависит от t,
то х
 dx.

Таким
образом форма записи dy =
f(x)x
не является инвариантной.

Пример.
Найти производную функции
.

Сначала
преобразуем данную функцию:

Пример.
Найти производную функции
.

Пример.
Найти производную функции

Пример.
Найти производную функции

Пример.
Найти производную функции

Производная констант в переменных степенях

ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННЫХ В ПЕРЕМЕННЫХ СТЕПЕНЯХ

В этом разделе две формы константы к переменной
власть будет представлена. Две экспоненциальные функции будут
и
, где х
— переменная, a — любая константа, а e равно
2,71828….

Вспоминая наше изучение логарифмов в математике,
Том 2-А, так как В и е являются обратными функциями, то

и

Если

, затем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Поскольку y = In x дифференцируемо, то и его
обратный, у =
. К
получить производную от y =
, мы
продифференцируем обе части уравнения (5.10) по x, что дает

Умножая обе части уравнения (5.12) на
дает

Дифференциация по цепному правилу и уравнение (5.11) дают

РЕШЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ.

Если

, затем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применение логарифмических правил,

Дифференцирование обеих частей уравнения (5.14) дает

ПРИМЕЧАНИЕ. In a является константой.

РЕШЕНИЕ:

Дифференциация по цепному правилу и уравнение (5.13) дают

РЕШЕНИЕ:

ПРАКТИКА
ЗАДАЧИ: Найдите d из следующего:

ОТВЕТА:

ОБЗОР

Ниже приведены основные темы, затронутые в этом
глава: 1. Производная константы:

Теорема 1. Производная константы равна нулю.

2. Производная переменной в степени:

Теорема 2. Производная функции
дан кем-то
, если n равно
любое действительное число.

3. Производная суммы двух или более функций:

Теорема 3. Производная суммы двух или более
дифференцируемых функций от x равна сумме их производных.

Если даны две функции от x, такие что u = g(x) и v = h(x), а также y = u + v = g(x) + h(x), то

4. Производная произведения двух или более функций:

Теорема 4. Производная произведения двух дифференцируемых
функций от x равно первой функции, умноженной на производную от
вторая функция плюс вторая функция, умноженная на производную от
первая функция.

Эту теорему можно распространить на три или более функций.

5. Производная частного двух функций:

Теорема 5. В точке, где знаменатель
не равна нулю, производная от отношения двух дифференцируемых
функции x равен знаменателю, умноженному на производную
числитель минус числитель, умноженный на производную от знаменателя, все
разделить на квадрат знаменателя.