Как найти производную пользуясь правилами дифференцирования

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

Ответ:

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

Ответ:

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

Ответ:

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х₀ и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х₀ + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х₀. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х₀ и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х₀ и (х₀ + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х₀ + ∆х будет стремится к х₀, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хⁿ, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х⁶ в точке х₀ = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t³. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х₀, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х₀ = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х₀ = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х₀ = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е^х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е^х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2^х при х₀ = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х² + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х³ + х² получается сложением функций у = х³ и у = х², а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х³ + 7х² – 25х + 7 в точке х₀ = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х²•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х²•(3х + х³). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e^x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)¹⁰⁰⁰.

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
2. Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
4. Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
5. Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная — одно из главных понятий
высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно
познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

— понимать суть несложных заданий с
производной;

— успешно решать эти самые несложные
задания;

— подготовиться к более серьёзным урокам
по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано
на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое
применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких
знаний!

Для успешного выполнения большинства
заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов —
чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его
решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких
математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень,
логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная
математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение
и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что
дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём
любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате
получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование —
действие над функцией.

Производная —
результат этого действия.

Так же, как, например, сумма —
результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать
задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять
производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п.
Это всё одно и то же.Разумеется, бывают и более сложные задания, где
нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов
решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка
вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и
так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от
икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную
конкретной функции, например: (2х+3)’, (x³)’, (sinx)’ и
т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое
обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы
научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз:
нахождение производной — это преобразование функции по определённым
правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо
знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они
эти три кита:

1. Таблица производных (формулы
дифференцирования).

2.
Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим
таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций.
Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического
применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из
кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций
называется элементарные функции. Именно эти функции и
изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций
«с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов —
штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили
себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас.
Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных
функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью
группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна
из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк
понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так
трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама
и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как
вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях
встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной
функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x³

Такой функции в таблице нет. Но есть
производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3.
Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x³)‘ = 3·x^3-1 = 3x²

Вот и все дела.

Ответ: y’ = 3x²

2. Найти значение производной функции y =
sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала
найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в
эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает,
сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение
исходной функции, а значение её производной. Производная,
напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и
соответствующую производную:

y’ = (sin x)’ = cosx

Подставляем ноль в производную:

y'(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает? ) Такой функции в таблице
производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию —
это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную
тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не
помогает…

Но если увидеть, что наша функция —
это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование
исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И,
случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное,
как y = cosx. А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y’ = — sin x.

Пример для продвинутых выпускников и
студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет,
разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями…
То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже
табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Как найти производную?

Правила дифференцирования.

Чтобы найти производную от любой функции,
надо освоить всего три понятия:

1.
Таблица производных.

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Дифференцирование — это операция
нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е.
выражения «найти производную функции» и «продифференцировать
функцию» — это одно и то же.

Выражение «правила
дифференцирования» относится к нахождению производной от
арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в
голове.

Сосредоточимся и вспомним все-все-все
арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность),
умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила
дифференцирования:

В табличке приведено пять правил
на четыре арифметических действия.  Просто правило 4 — это
элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет
смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.

Под обозначениями U и V подразумеваются
какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала —
самые простые.

Найти производную функции y=sinx — x²

Здесь мы имеем разность двух
элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx — это
функция U, а x² — функция V. Имеем
полное право написать:

y’ = (sinx — x²)’ = (sinx)’- (x²)’

Уже лучше, правда?) Осталось найти
производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица
производных. Просто ищем в таблице нужные
нам функции (sinx и x²), смотрим, какие у
них производные и записываем ответ:

y’ = (sinx)’ — (x²)’ = cosx —
2x

Вот и все дела. Правило 1
дифференцирования суммы работает точно так же.

А если у нас несколько слагаемых? Ничего
страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого
слагаемого независимо от остальных. Например:

Найти производную функции y=sinx — x²+cosx
— x +3

Смело пишем:

y’ = (sinx)’ — (x²)’ + (cosx)’
— (x)’ + (3)’

Опять лезем в таблицу, находим
там производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Что,
тройки нет в таблице!? Ну да.) Тройка — постоянная величина, в таблице
обозначена буквой «С». Производная любой постоянной
величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:

y’ = cosx — 2x — sinx — 1

Как видим, первые два правила
дифференцирования просты и безотказны.)

Переходим к примерам на правило 3.
Производная произведения чуть посложнее, да…) Главное здесь — увидеть в
исходной функции, что взять за U, а что — за V. Например:

Найти производную функции y=sinx · cosx.

Здесь всё очевидно. sinx —
это U, cosx — это V. Пишем прямо по
правилу:

y’ = (sinx)’ ·cosx + sinx · (cosx)’ =
cosx·cosx — sinx·sinx = cos²x — sin²x

Вот здесь, частенько, возникает вопрос:
оставить результат, как есть, или преобразовывать и упрощать дальше? Ответ
зависит исключительно от задания и пожеланий преподавателя.) Производную
мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его
нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно
написать ответ:

y’ = cos²x — sin²x =
cos2x

Рассмотрим следствие из правила 3, т.е.
правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций.
Если y=CU, где С — какое-то постоянное число, а U —
любая функция, то:

y’ =(C·U)’ = C’·U + C·U’ = 0·U + C·U’ =
C·U’

Словами говорят, что постоянную
можно вынести из под знака производной.

Это маленькая, но очень полезная формулка.
Позволяет делать кучу действий в уме. Например, по этому правилу все
производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее,
сразу же превращаются в постоянные числа:

(5х)’ = 5·(x)’ = 5·1 = 5

(-2х)’ =
-2·(x)’ = -2·1 = -2

Ну, вы поняли.) Пример посложнее:

Найти производную функции y=5sinx — 3x².

Если расписывать подробно, получится вот
так:

y’ = (5sinx — 3x²)’ = (5sinx)’-
(3x²)’

В скобках — произведения функций
(постоянное число — тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы
использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) — куда приятнее!
Просто выносим числа за знак производной:

y’ = (5sinx)’- (3x²)’ = 5(sinx)’-
3(x²)’

Далее находим в таблице значения
производных и результат просто умножаем на эти числа:

y’ = 5(sinx)’- 3(x²)’ = 5cosx —
3·2x = 5cosx
— 6x

Переходим к производной частного. Правило
5 — самое злое, да…) Расписывать да считать подольше приходится. Но… тут уж
ничего не поделаешь. Против законов математики протестовать глупо.) Хотя, в
качестве бонуса, помогу.) Расскажу, чуть ниже, о случаях, когда эту
формулу применять не надо. Так как есть более простые
варианты. А сейчас — пример:

Найти производную функции

Расписываю по правилу 5. Подробно, со
всеми скобочками и штрихами:

Берём производные (они табличные) в правой
части:

Приводим к приличному виду:

Если требуется дальнейшее упрощение, можно
в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим
ответ:

Вот мы и рассмотрели, как находить
производные функций с помощью правил дифференцирования.

Разумеется, сумма, разность, частное и
произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:

Продифференцировать функцию:

y=(x²+2) · (x³-4)

Здесь под функцией U скрывается
выражение (x²+2), а под функцией V —
выражение (x³-4). Расписываем прямо по правилу:

y’ = (x²+2)’ · (x³-4) + (x²+2)
· (x³-4)‘

Теперь нужно довести дело до конца, т.е.
вычислить производные от скобок. Штрих поставить — не означает «взять
производную»…) В первых скобках будет сумма функций:

(x²+2)’ = (x²)’ + 2′
= 2x

Во вторых — разность функций:

(x³-4)‘
= (x³)’ — 4′ = 2x

Можно записать ответ:

y’ = 2х · (x³-4) + (x²+2)
· 3x²

Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим
подобные:

y’ = 2x⁴-8х + 3x⁴+6x² = 5x⁴+6x²—8х

Вот и всё. Достаточно производную от злой
функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему
правилу. Затем последовательно брать производные от скобочек. Всё и получится.

Всё просто, но… могут случиться и
сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:

Найти производную функции y=x³·
sinx · cosx.

Здесь у нас умножаются три функции.
Нет подходящего правила. Ничего страшного. Нас спасут… скобочки!) Мы вправе
превратить умножение трёх функций в произведение двух,
чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то,
что нам нужно. Например, пусть

U=x³· sinx

Тогда

V = cosx

Выделим эти U и V скобочками
в исходной функции:

y=(x³· sinx) · (cosx).

Скобки никак не меняют исходную функцию,
можно брать производную по правилу 3:

y’=((x³· sinx) · (cosx))’= (x³·
sinx)‘· (cosx)+(x³· sinx) · (cosx)’

Теперь видно, что в скобках (x³·
sinx)‘ у нас опять произведение функций. Но уже двух,
что попроще.) Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у
нас пойдёт x³, а за V — sinx:

(x³· sinx)’ = (x³)’
· sinx +x³· (sinx)’= 3x²· sinx + x³· cosx

Вот практически и всё. Возвращаемся к
исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на
своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:

y’= (3x²·
sinx + x³· cosx) · cosx + (x³·
sinx) · (-sinx)

Производную нашли. Если требуется,
перемножаем скобки и записываем ответ:

y’= 3x²·
sinx · cosx + x³· cos²x — x³·
sin²x

Замечу, что в этом примере U и V можно
было выбрать по другому. За U взять x³,
а за V — sinx · cosx. Это без разницы. Результат
будет тот же самый.

Теперь — заслуженный бонус к правилу 5. В
примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Что огорчает.) Но, если в
знаменателе дроби — постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с
дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:

Это даёт возможность вместо правила 5
использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:

Найти производную функции:

В процессе дифференцирования слегка
преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:

Вот так. Арифметика из младших классов ещё
никому не мешала!)

Кстати, преобразование исходной
функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда,
очень помогает. Скажем, производная от функции:

берётся достаточно хлопотно. Таблицы
производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция.
Но если её преобразовать до дифференцирования, пример решается
в уме.

В конце урока дам советы по облегчению
жизни при дифференцировании.)

Практические советы:

1. Перед дифференцированием смотрим,
нельзя ли упростить исходную функцию.

2. В замороченных примерах расписываем
решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

3. При дифференцировании дробей с
постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся
правилом 4.