Как найти производную параллельную прямой

Как найти производную параллельную прямой

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала анализа, 11 класса.

Урок №14. Геометрический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Геометрический смысл производной;

2) Алгоритм нахождения касательной к графику функции в точке;

3) Сравнение производных заданной функции по ее графику в различных точках.

Глоссарий по теме

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что графиком линейной функции у=кх + b является прямая.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Если k>0, то 0 -2x , параллельной прямой y=-x

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x₀. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1. Таким образом, f'(x₀) = -1.

Уравнение касательной: y=1-1(x-0) = 1-x

№2. На параболе у=х 2 -2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х 2 -2х-8:

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х 2 -2х-8, т.е.

Задания из №7 ЕГЭ, в которых известно, что касательная к графику функции параллельна данной прямой, могут быть связаны как с графиком функции, так и с графиком производной. Поэтому очень важно внимательно читать условие.

1) На рисунке изображен график функции y=f(x), определённой на интервале(-4;8). Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=12 или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, а значит, и любой прямой вида y=b, где b — число, в точках экстремума, в которых производная существует, и в точках перегиба. То есть это задание аналогично заданию на определение точек графика функции, в которых производная равна нулю.

На графике данной функции y=f(x) таких точке две (с абсциссами x=-1 и x=2). Значит, касательная к графику функции параллельна прямой y=12 в двух точках.

Ответ: 2.

Теперь рассмотрим аналогичное задание, в котором дан график производной функции.

2)На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-4;8). Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=12 или совпадает с ней.

Решение:

Прямые y=k₁x+b₁ y=k₂x+b₂ параллельны, если их угловые коэффициенты равны: k₁=k₂.

y=12=0x+12, ⇒k₁=0.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k₂=f'(x_o).

Значит, ищем точки, в которых значение производной равно нулю.

Таких точек три (с абсциссами x=-3, x=1 и x=3).

Ответ: 3.

3)На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-4;8). Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=3x-11 или совпадает с ней.

Решение:

y=3x-12, ⇒k₁=3.

Прямые параллельны, если k₁=k₂.

k₂=f'(x_o).

Поэтому ищем точки, в которых значение производной равно 3.

Таких точек в данном примере четыре.

Ответ: 4.

4)На рисунке изображён график производной функции f(x). Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=4-x или совпадает с ней.

Решение:

y=4-x,⇒k₁=-1.

Прямые параллельны, если k₁=k₂.

Прямые параллельны, если k₁=k₂.

k₂=f'(x_o).

Ищем точку, в которой значение производной равно -1.  Абсцисса этой точки x_o=7.

Ответ: 7.

Уравнение любой прямой в общем виде задается формулой:
$$y=kx+b;$$
Где (k) — это коэффициент наклона прямой, а (b) — свободный член.

Уравнение прямой в условии задачи выглядит так (y=-4). Сопоставьте это уравнение с общим видом прямой, и увидите, что у прямой из условия (k=0), а (b=-4).

Мы получили, что коэффициент наклона прямой из условия равен нулю! Значит у любой прямой, которая будет ей параллельна, коэффициент наклона тоже будет равен нулю. А раз коэффициент наклона ноль, то и производная тоже должна быть ноль.

Переформулируем условие задачи: необходимо найти на графике функции (f(x)) точки, в которых производная равна нулю.

Производная равна нулю в точках минимума и максимума: в «вершинах» и «впадинах». Нам остается только посчитать их количество на графике. Я их отметил красными точками:

Продолжение задач на производные для первой части ЕГЭ.

Геометрический смысл производной и ее применения для исследования функций.

Первая часть о производных.

Геометрический смысл производной

Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:

Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.

Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:

Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→↑), то ответ должен быть положительный!)

Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.

Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.

Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?

Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.

Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!

Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b, где

k — наклон относительно оси Х.

b — расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.

Производная прямой, всегда одна и та же: y’ = k.

В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.

Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5. 

Советую себя проверять вторым способом: 
По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):

 Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:

−2 = −2k + b

−4 = 2k + b

Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5

Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.

Ответ: −0,5

Задание №2. На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Если график функции убывает — производная отрицательна (верно и наоборот).

Если график функции возрастает — производная положительна (верно и наоборот).

Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.

Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.

Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна — возрастает!

Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.

Ответ: 3

Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4).  На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):

Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.

Ответ: −2

Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, …, x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.

Положительные:  x1, x6, x7, x12.

Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Ноль: x8.

Ответ: 7

Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные «экстремумы»? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.

Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].

Отметим промежуток от -11 до 5!

Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.

Ответ: 3

Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5]. 

Отметим промежуток от -12 до 5!

Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума — это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.

Стрелочками показано, как ведет себя график функции

Ответ: 3

Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба!

А можно, как обычно: строим схематический график производной. 

Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)

Ответ: 8

Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Построим схематично график функции:

Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Ответ: 22

Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6).  Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13  или совпадает с ней.

Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную. 

Производная касательной: y’ = 2.

А теперь построим обе производные:

Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ  3.

Ответ: 3

Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.

Если прямая убывает, k < 0.

Если прямая возрастает, k > 0.

Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:

При k = 1 или k = −1 график будет посередине между осями Х и У.

Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.

Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.

В точке -2 и 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает «быстрее» больше похоже на ось Y => именно там и будет наименьшее значение производной

Ответ: 1

Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8. Найдите абсциссу точки касания. 

Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:

Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.

Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.

Вот только, что записывать в ответ, если получится два «нормальных» ответа?

При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8  должен получиться один и тот же Y

y= 3×1+9=12

y= 1³+1²+2×1+8=12

Верно! Значит x=1 и будет ответом

Ответ: 1

Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5. Найдите a.

Аналогично приравняем функции и их проивзодные:

Решим эту систему относительно переменных a и x:

Ответ: 25

Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!

Тест для закрепления

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Большинство заданий взято с сайтов ФИПИ и РЕШУ ЕГЭ. 

1. Вычисление производной функции

Правила дифференцирования

Дифференцирование сложной функции

Таблица производных

Задания для самостоятельного решения