Как найти производную обратной функции в точке

Производная обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $left(f^{-1}(y_0)right)’=frac{1}{f'(x_0)}.$

Примеры.

Найти производные обратных функций  $left(f^{-1}(y)right)’.$

1) ${ y=x+x^3 }.$

Решение.

$$frac{dy}{dx}=1+3 x^2Rightarrowfrac{dx}{dy}=frac{1}{1+3x^2}.$$

Ответ: $x’_y=frac{1}{1+3x^2}.$

2) Найти $left(f^{-1}(0)right)’,$ $left(f^{-1}(6/5)right)’.$

${ y=x+frac{1}{5}x^5}.$

Решение.

Если $y=0,$ то

$0=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow 0=xleft(1+frac{1}{5}x^4right)Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\1+frac{1}{5}x^4=0end{array}right.Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\x^4=-5end{array}right.Rightarrow x=0.$ 

Если $y=6/5,$ то $frac{6}{5}=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow$ $x=1.$ (Функция имеет единственный корень, поскольку она строго монотонна).

$y’=1+x^4Rightarrow x’=frac{1}{1+x^4}.$ Таким образом,
$$x'(0)=frac{1}{1}=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{1+1}=frac{1}{2}.$$

Ответ: $x'(0)=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{2}.$

3) ${ y=2x-frac{cos x}{2},,, y=-frac{1}{2}. }$

Решение.

$2x-frac{cos x}{2}=-frac{1}{2},$ следовательно $x=0.$

$y’=2+frac{sin x}{2},$ поэтому  $x’=frac{1}{2+frac{sin x}{2}}.$ Таким образом, $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$  

Ответ: $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$

4) ${ y=0,1x+e^{0,1x} ,,, y=1.}$

Решение.

$0,1x+e^{0,1x}=1, $ следовательно $x=0.$

$y’=0,1+0,1e^{0,1x},$ поэтому $x’=frac{1}{0,1+0,1e^{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=frac{1}{frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

Производная обратной функции

Теорема.

Если

– строго монотонная непрерывная функция
и

– обратная к ней функция, имеющая в
точке у
производную

,
то функция f
имеет в соответст-вующей точке х
производную

.

Доказательство.

,
так как функция f(x)
непрерывна, то при

и

,
тогда

.

Примеры
использования производной от обратной
функции

1. Найти
   
   .
   Мы уже вывели эту формулу. Вывод был
   достаточно громоздкий.

Теперь:
если

,
то

,

.

– результат
тот же самый.

Если
а=е,
т.е. у=lnx,
то

.

Производные обратных тригонометрических функций

– строго
возрастает на отрезке [1,1].
Напомню график

Обратная
функция x=siny
имеет производную

,
если

.

Поэтому

Аналогично

Таким
образом, у нас имеется таблица производных
основных элементарных функций. Тем
самым ясно, как вычислять производные
элементарных функций, которые получают
из основных элементарных путем конечного
числа арифметических операций и взятия
функции от функции.

Производная
функции, заданной параметрически

Пусть
х
и у заданы
как функции некоторого параметра t:

.
(1)

Каждому
значению t
соответствуют значения х
и у.

Если
рассматривать эти значения x
и y
как координаты точки на плоскости xОy,
то каждому значению t
соответствует определенная точка
плоскости. При изменении t
от

эта
точка описывает на плоскости некоторую
кривую.

Уравнения
(1) называются параметрическими
уравне-ниями этой кривой, t
называется параметром, а способ задания
кривой (1) –параметрическим.

Предположим,
что функция

имеет обратную,

,
тогда

т.е. у
является сложной функцией от х.

По правилу
дифференцирования сложной функции

.
Но по правилу дифференцирования обратной
функции

.

Эта формула
называется формулой дифференцирования
функции, заданной параметрически.

Пример:

2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции

Рассмотрим кривую, уравнение которой .

Возьмем
на этой кривой точку М

.
Уравнение любой прямой, проходящей
через эту точку, имеет вид

где k
– ее угловой коэффициент.

Для
касательной

,
поэтому уравнение касательной имеет
вид

.

Прямая,
проходящая через точку М

перпенди-кулярно касательной, называется
нормалью.

Для
нее

.
Поэтому уравнение нормали к графику в
точке М

имеет вид

;
здесь предполагается, что

.

2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница

Если
найдена производная от функции f(x),
т.е. вычислена

– снова функция аргумента х.
Можно еще раз найти производную от

.
Если эта производная существует, то она
называется второй производной от f(x)
и обозначается через

или

.

.

По
индукции производная n-го
порядка определяется как первая
производная от производной (n–1)
порядка

.

Пример 1.

Пусть

,
где m
– целое число. Эта функция имеет
производные любого порядка.

1. Пусть
   
   ,
   где

   
   произвольное (не целое) число. Тогда
   для x>0
   эта функция имеет любую производную,
   вычисляемую по аналогичной формуле:

3.

4.

Формула Лейбница

Это
формула дает возможность вычислить
производную n-го
порядка от произведения двух функций
u(x)v(x).

Давайте
найдем несколько первых производных и
установим общий закон, пригодный для
вычисления производной любого порядка.

Вспомним
бином Ньютона:

Если
в этой формуле заменить

(соответственно считая, что

),
то и получим формулу, которая носит
название формулы Лейбница.

Производные
различных порядков от неявных функций
и функций, заданных параметрически

1. Сначала
   покажем способ нахождения производных
   различного порядка от неявных функций
   (на примере).

Пусть

– неявная связь у
и х
(у
не выражен явно через х).

Или

(1)

Дифференцируем
по х
обе части равенства, имея в виду, что у
есть функция х:

.

Отсюда:

.
Первая производная найдена, но выражена
она и через х
и через у.

Последнее
равенство еще раз дифференцируем по х
(имея опять в виду, что у=у(х)).

Подставляя
вместо

ее значение (зависящее от х
и у),
найдем

Из
(1) заметим, что

,
так что

Дифференцируя
по х
полученное равенство, найдем

и.т.д.

Производная
второго порядка от функции, заданной
параметрически

Мы
знаем формулу для первой производной

Продифференцируем
это равенство по х,
имея в виду, что t
– функция х.

Пример.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #

  12.05.2015384 Кб17д.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Теорема. Пусть функция дифференцируема в точке и монотонна в некоторой окрестности . Тогда обратная функция :

1) определена и непрерывна в окрестности ,

2) дифференцируема в точке , причем

или кратко .

Доказательство. Из дифференцируемости функции сле-дует ее непрерывность в точке , а это условие и монотонность обеспечивают существование непрерывной обратной функции в окрестности . Поэтому, если , то в силу непрерывности функции имеем , а в силу ее монотонности при следует . Тогда можно записать . Перейдем в этом выражении к пределу при : .

Геометрический смысл производной обратной функции.

Построим график дифференцируемой функции .

Проведем касательную в точке и обозначим углы, образованные касательной с ося-ми и , соответственно и , заметим также, что , тогда,

,

А с другой стороны,

.

Итак, производная обратной функции равна тангенсу угла между касательной к графику в точке и осью ординат.

Таблица производных (продолжение)

11. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

12. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

13. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

14. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

15. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

В частном случае , имеем

16. .

Дополним таблицу производными от гиперболических функ-ций — гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса

.

Замечание. Для гиперболических функций существует анало-гичное как для тригонометрических функций — основное “гипербо-лическое” тождество .

17. .

.

18. .

.

19. .

.

20. .