Как найти производную функции в вольфраме

Производные

Для расчета производных используется функция D:

In[1]:=

Click for copyable input

Out[1]=

Или штрих в традиционной нотации:

In[2]:=

Click for copyable input

Out[2]=

Дифференцирование работает также для пользовательских функций:

In[1]:=

Click for copyable input

⨯ 

f[x_] := x^2 + 2 x + 1;
f'[x]
Out[1]=

Производные можно использовать в явном виде для построения графиков:

In[2]:=

Click for copyable input

⨯ 

Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -3, 3}]
Out[2]=

Рассчитаем производную более высокого порядка с использованием функции:

In[1]:=

Click for copyable input

Out[1]=

Или несколько раз запишем символ штриха:

In[2]:=

Click for copyable input

Out[2]=

Источник

Solve derivatives with Wolfram|Alpha

More than just an online derivative solver

Wolfram|Alpha is a great calculator for first, second and third derivatives; derivatives at a point; and partial derivatives. Learn what derivatives are and how Wolfram|Alpha calculates them.

Derivative results with plots, alternate forms and answers

Learn more about:

  • Derivatives »

Tips for entering queries

Enter your queries using plain English. To avoid ambiguous queries, make sure to use parentheses where necessary. Here are some examples illustrating how to ask for a derivative.

  • derivative of arcsin
  • derivative of lnx
  • derivative of sec^2
  • second derivative of sin^2
  • derivative of arctanx at x=0
  • differentiate (x^2 y)/(y^2 x) wrt x
  • View more examples »

Access instant learning tools

Get immediate feedback and guidance with step-by-step solutions and Wolfram Problem Generator

Step-by-step solution for a derivative with informative hints and intermediate steps

Learn more about:

  • Step-by-step solutions »
  • Wolfram Problem Generator »

What are derivatives?

The derivative is an important tool in calculus that represents an infinitesimal change in a function with respect to one of its variables.

Given a function , there are many ways to denote the derivative of with respect to . The most common ways are and . When a derivative is taken times, the notation or is used. These are called higher-order derivatives. Note for second-order derivatives, the notation is often used.

At a point , the derivative is defined to be . This limit is not guaranteed to exist, but if it does, is said to be differentiable at . Geometrically speaking, is the slope of the tangent line of at .

As an example, if , then and then we can compute : . The derivative is a powerful tool with many applications. For example, it is used to find local/global extrema, find inflection points, solve optimization problems and describe the motion of objects.

How Wolfram|Alpha calculates derivatives

Wolfram|Alpha calls Wolfram Languages’s D function, which uses a table of identities much larger than one would find in a standard calculus textbook. It uses well-known rules such as the linearity of the derivative, product rule, power rule, chain rule and so on. Additionally, D uses lesser-known rules to calculate the derivative of a wide array of special functions. For higher-order derivatives, certain rules, like the general Leibniz product rule, can speed up calculations.

Источник

Wolfram|Alpha — база знаний и набор вычислительных алгоритмов (англ. computational knowledge engine), вопросно-ответная система. Запущена 15 мая 2009 года. Не является поисковой системой.

Основные операции[править]

Примеры
  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения[править]

Логические символы[править]

Основные константы[править]

Основные функции[править]

{displaystyle left(a=operatorname {const} right)}

Решение уравнений[править]

Чтобы получить решение уравнения вида {displaystyle f(x)=0} достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры
  • Solve [Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x]или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
  • Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
  • Solve[Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0,x] или Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции f и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида {displaystyle f(x,y,...,z)=0} по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры
  • Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
  • x²+y²-5=0 или Solve[x²+y²-5=0,x] или Solve[x²+y²-5=0,y];
  • x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств[править]

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа {displaystyle f(x)>0}, {displaystyle fleft(xright)geqslant 0} полностью аналогично решению уравнения {displaystyle f(x)=0}.
Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры
  • Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры
  • Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
  • x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
  • x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем неравенств и уравнений[править]

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры
  • x^3+y^3==9&&x+y=1;
  • x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
  • Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
  • Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций[править]

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида f(x), так и вида {displaystyle f(x,y)}.
Для того, чтобы построить график функции f(x) на отрезке {displaystyle xin left[{a,b}right]} нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты y был конкретным, например {displaystyle yin left[{c,d}right]}, нужно ввести: Plot[f[x],{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры
  • Plot[x^2+x+2, {x,-1,1}];
  • Plot[x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5}];
  • Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E}];
  • Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Примеры
  • Plot[x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1}];
  • Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции {displaystyle f(x,y)} на прямоугольнике {displaystyle xin left[{a,b}right],yin left[{c,d}right]}, нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты z пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции {displaystyle f(x,y)} Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры
  • Plot[Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
  • Plot[xy,{x,-4,4},{y,-4,4}].

Математический анализ[править]

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы[править]

Для того, чтобы найти предел последовательности {displaystyle left{{x_{n}}right}} нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры
  • Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
  • Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции f(x) при {displaystyle xto a} можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Примеры
  • Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
  • Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные[править]

Для того, чтобы найти производную функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции {displaystyle f(x,y,z,...,t)} напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где j — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], {j, n}], где j означает то же, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры
  • D[x*E^x, x];
  • D[x^3*E^x, {x,17}];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
  • D[x/(x+y^4), {x,6}].

Интегралы[править]

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл {displaystyle int limits _{a}^{b}{fleft(xright)dx}} так же просто: Integrate[f[x], {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры
  • Integrate[Sin[x]/x², x].
  • Integrate[x^10*ArcSin[x], x].
  • Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}].
  • Integrate[Log[x^3+1]/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы[править]

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения {displaystyle F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0} нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему.
К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока что не поддерживается.

Примеры
  • y»’+y»+y=Sin[x];
  • y»+y’+y=ArcSin[x];
  • y»+y+y^2=0;
  • y»=y, y[0]=0, y'[0]=4;
  • y+x*y’=x, y[6]=2;
  • y»'[x]+2y»[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
  • {x’+y’=2, x’-2y’=4}.

Ошибки при работе с системой[править]

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач[1]. К примеру, если попытаться решить неравенство {displaystyle {frac {3x^{2}-18x+24}{2x-2}}-{frac {3x-12}{2x^{2}-6x+4}}<0}, для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток {displaystyle xin (-{mathcal {infty }};2)cup (3;4)}, в котором будет присутствовать точка 1, но при этом происходит деление на ноль. Сейчас эта ошибка исправлена.

Примечания[править]

  1. ↑ Ошибки при работе с системой Wolfram|Alpha

Ссылки[править]

  • Wolfram Alpha(англ.)
  • Examples
Источник

Краткий список обозначений и операторов WolframAlpha
для решения задач онлайн

+
 сложение
—
 вычитание
*
 умножение
/
 деление
^
 возведение в степень
solve
 решение уравнений, неравенств,
систем уравнений и неравенств
expand
 раскрытие скобок
factor
 разложение на множители
sum вычисление суммы членов последовательности
derivative дифференцирование (производная)
integrate интеграл
lim предел
inf бесконечность
plot построить график функции
log (a, b) логарифм по основанию a числа b
sin, cos, tg, ctg синус, косинус, тангенс, котангенс
sqrt корень квадратный
pi число «пи» (3,1415926535…)
e число «е» (2,718281…)
i Мнимая единица i
minimize,
maximize
 Нахождение экстремумов функции (минимумов и максимумов)

Примеры решения задач онлайн с помощью WolframAlpha

1.
Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени,
показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример 1. Чтобы решить уравнение x2 + 3x — 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример 2. Чтобы решить уравнение log32x = 2, нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример 3. Чтобы решить уравнение 25x-1 = 0.2, нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример 4. Чтобы решить уравнение sin x = 0.5, нужно ввести solve sin(x)=0.5

2. Решение систем уравнений.
Пример. Чтобы решить систему уравнений

          x + y = 5,
          x — y = 1,

нужно ввести solve x+y=5 && x-y=1
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».

3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример. Чтобы решить неравенство x2 + 3x — 4 < 0, нужно ввести solve x^2+3x-4<0

4. Решение систем рациональных неравенств.
Пример. Чтобы решить систему неравенств

          x2 + 3x — 4 < 0,
          2x2 — x + 8 > 0,

нужно ввести solve x^2+3x-4<0 && 2х^2 — x + 8 > 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».

5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример. Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d)2(a-c) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c).

6. Разложение выражения на множители.
Пример. Чтобы разложить на множители выражение  x2 + 3x — 4, нужно ввести factor x^2 + 3x — 4.

7. Вычисление суммы n первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример. Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой an = n3+n, нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, у которой первый член a1 = 3, разность d = 5, то можно, как вариант, ввести a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый член b1 = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7

8. Нахождение производной.
Пример. Чтобы найти производную функции f(x) =x2 + 3x — 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x — 4

9. Нахождение неопределенного интеграла.
Пример. Чтобы найти первообразную функции f(x) =x2 + 3x — 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4

10. Вычисление определенного интеграла.
Пример. Чтобы вычислить интеграл функции f(x) =x2 + 3x — 4 на отрезке [5, 7],
нужно ввести  integrate x^2 + 3x — 4, x=5..7

11. Вычисление пределов.
Пример. Чтобы убедиться, что

 Первый замечательный предел

введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x, стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf.

12. Исследование функции и построение графика.
Пример. Чтобы исследовать функцию x3 — 3x2 и построить ее график, просто введите x^3-3x^2. Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Пример. Чтобы найти минимальное значение функции x3 — 3x2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести minimize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}
Чтобы найти максимальное значение функции x3 — 3x2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести maximize (x^3-x^2), {x, 0.5, 2}

Источник

Как правильно вводить формулы на вольфрам альфа

Основные операции

Примеры
  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

Логические символы

Основные константы

Основные функции

left(a=operatorname{const} right)

  • x^{a}: x^a

модуль x: abs(x)

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида f(x)=0 достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры
  • Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
  • Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
  • Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции f и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида f(x,y,...,z)=0 по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры
  • Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
  • x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
  • x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа f(x)>0, fleft( x right) geqslant 0 полностью аналогично решению уравнения f(x)=0. Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры
  • Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j — интересующая Вас переменная.

Примеры
  • Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
  • x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
  • x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры
  • x^3+y^3==9&&x+y=1;
  • x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
  • Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
  • Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида f(x), так и вида f(x,y). Для того, чтобы построить график функции f(x) на отрезке x in left[ {a,b} right] нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты y был конкретным, например y in left[ {c,d} right], нужно ввести: Plot[f[x],{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры
  • Plot[x^2+x+2, {x,-1,1}];
  • Plot[x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5}];
  • Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E}];
  • Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Примеры
  • Plot[x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1}];
  • Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции f(x,y) на прямоугольнике x in left[ {a,b} right],y in left[ {c,d} right], нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты z пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции f(x,y) Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры
  • Plot[Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
  • Plot[xy,{x,-4,4},{y,-4,4}].

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности left{ {{x_n}} right} нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры
  • Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
  • Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции f(x) при x to a можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Примеры
  • Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
  • Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции f(x,y,z,...,t) напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где j — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], {j, n}], где j означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры
  • D[x*E^x, x];
  • D[x^3*E^x, {x,17}];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
  • D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
  • D[x/(x+y^4), {x,6}].

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции f(x) нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл intlimits_a^b {fleft( x right)dx} так же просто: Integrate[f[x], {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры
  • Integrate[Sin[x]/x², x];
  • Integrate[x^10*ArcSin[x], x];
  • Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}];
  • Integrate[Log[x^3+1]/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения F(x,y,y^{/},y^{//},...,y^{(n)}) = 0 нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

Примеры
  • y»’+y»+y=Sin[x];
  • y»+y’+y=ArcSin[x];
  • y»+y+y^2=0;
  • y»=y, y[0]==0, y'[0]=4;
  • y+x*y’=x, y[6]=2;
  • y»'[x]+2y»[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
  • {x’+y’=2, x’-2y’=4}.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство frac{3x^2-18x+24}{2x-2}-frac{3x-12}{2x^2-6x+4}<0, для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток x in (-mathcal {1}; 2) cup (3; 4), в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Так что весь риск и вся ответственность при использовании Wolfram|Alpha ложится на Вас. Скорее всего, данные недочеты будут скоро исправлены.

Разложение на множители

Например, разложить на множители

x2/3 — 3x + 12

Запишем как

factor x^2/3 — 3x + 12

и нажимаем равно (=). 

Например, разложить на слагаемые

Разложить на слагаемые

Запишем как

Partial fraction expansion(1-x^2)/(x^3+x)

используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series) или

Series expansion at x=0

Разложить в ряд Лорана:

Laurent expansion z*cos(1/z) at z =0

Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]

Комплексно сопряженное z*

Египетская дробь:

Egyptian fraction expansion:

11/30=1/3+1/30

parametric plot (3*cos t, sin t, 2t), t=0..2pi

 interpolation polynomial {1,4,9,16}

Транспонировать матрицу:   transpose {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}

Обратная матрица inverse {{a, b}, {c, d}}

Собственные числа (вектора) матрицы:  eigenvalues( ( transpose{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}})-1/67.42598*({{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}))

Решение СЛАУ :  {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}}={{102},{-47},{-122},{-24}}

{{-9,5,2},{5,-6,3},{4,1,-5}}*{{x},{y},{z}}={{0},{0},{0}}

Интегральное преобразование Лапласа  —-  LT

Обратное преобразование Лапласа  —    ILT

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти перчатку титана в террарии
  • Как найти закрытое сокровище в симс 4
  • Как найти пенсионный номер в интернете
  • Как найти площадь параллеограма
  • Как найти косинус угла в маткаде

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии