Умножение смешанных дробей
Чтобы умножить смешанные дроби, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем умножить их числители, а затем их знаменатели.
Пример Умножить смешанные дроби 
Сократим дробь 
с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(418,28)=2.
Пример Умножить смешанное число на дробь
.
В результате умножения получили смешанную дробь.
Примеры умножения нескольких дробей
Пример Умножить 3 дроби
.
Пример Найти произведение дробей
Первая дробь во 2 степени, вторая дробь в 3 степени, чтобы найти произведение дробей, возведем первую дробь в квадрат, потом возведем вторую дробь в куб и перемножим дроби между собой.
.
Сократим дробь 
с помощью нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и деления полученного числа на числитель и знаменатель, НОД(432,3136)=16.
Умножение дробей онлайн
Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели, первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.
Правила умножения дробей
Произведение двух дробей равно дроби. В числителе которой произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей.
Как умножать обыкновенные дроби
Для умножения обыкновенных дробей нужно найти произведение числителей и произведение знаменателей. Первое произведение записать числителей а второе знаменателем.
Разберём пример: умножим дроби 1/4 × 1/3. Для этого перемножим числители 1 × 1 = 1 и знаменатели 4 × 3 = 12 в итоге у нас получится дробь 1/12
Как умножать натуральное число на дробь
Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно числитель умножить на это число а знаменитель оставить без изменения.
Как умножать 3 и более дробей
При умножении 3 и более дробей мы пользумеся теми же правилами что и при умножении двух дробей.
Разберём пример: умножим правильную дробь 1/4 на натуральное число 5 и на смешанную дробь 3 целые 1/8.
Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 1/8 = 25/8. Затем перемножить числители 1*5*25 = 125 и знаменатели 4*8 = 32. Полученное записать в виде дроби 125/32. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить смешанную дробь на целое число
Чтобы умножить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем числитель неправильной дроби умножить на целое число. Знаменатель оставить без изменения.
Разберём пример: умножим смешанную дробь 2 целые 1/4 на целое число 6.
Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 2 целые 1/4 = 9/4. Затем умножить числитель неправильной дроби на целое число 9*6 = 54 а знаменатель останется без изменения 4. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как перемножить смешанные дроби
Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно их перевести в неправильные. Затем перемножить числители и знаменатели.
Разберём пример: умножим смешанную дробь 1 целая 2/5 на смешанную дробь 2 целые 1/3.
Переведём смешанные дроби в нерпавильные 1 целая 2/5 = 7/5 и 2 целые 1/3 = 7/3. Затем перемножим числители 7*7 = 49 и знаменатели 5*3 = 15. Получится дробь 49/15. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Похожие калькуляторы
Умножение дробей
Как научиться легко и быстро умножать дроби, можно ли научиться делать это в уме и как успешно подготовиться к контрольной – разбираем тему из школьной программы по математике вместе с экспертом
Как высчитать, чему равно произведение пяти восьмых и трех девятых? Или как умножить семь тринадцатых на четыре? Школьники России учатся этому, проходя одну из основных тем программы по математике – умножение дробей. Разберемся, для чего пригодится это умение, и узнаем у эксперта, как успешно подготовиться к контрольной.
Полезная информация об умножении дробей
| Умножение дробей – одна из базовых тем школьной программы по математике | Согласно Федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС) 2022 года, дроби и основные действия с ними изучают в 5 классе. |
| Умножение дробей можно изучать на визуальных примерах | Используя счетный материал, рисунки или реальные предметы (например, отрезать две трети от половинки пиццы или четверть от трети торта). |
| Дроби умножать удобнее, если их предварительно сократить | При наличии такой возможности перед умножением дробей желательно их сократить (разделить числитель и знаменатель на одно и то же число). |
Умножение обыкновенных дробей
Для умножения дроби на дробь необходимо умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель – на числитель. Полученные результаты составят знаменатель и числитель результата соответственно.
Полезные факты:
- Если числитель одной из дробей имеет общий делитель со знаменателем другой, то можно произвести сокращение произведения до выполнения умножения.
- Если одна или обе дроби являются смешанными, то перед выполнением действия можно перевести их в неправильные, либо представить смешанную дробь в виде суммы целого числа и правильной дроби, провести умножение, а после представить результат вновь в виде смешанной дроби.
Примеры
Сначала сократим первую дробь на 5 (числитель и знаменатель поделили одновременно на 5), числа стали меньше, действия с ними уже сделать намного проще. Во втором действии мы также не умножили сразу, а сократили на тройку в числителе и тройку в знаменателе.
В этом примере подробно рассмотрено сокращение дробей, сначала на 5, а затем на 7. Здесь в результате получилась неправильная дробь. Ее, в зависимости от задания, можно либо перевести в десятичную, получится 1,5, либо перевести в смешанное число 1 1/2.
Еще один, более сложный, пример умножения правильной дроби на смешанное число путем представления смешанного числа в виде суммы целого и дроби. После получения произведения дроби на сумму приводим полученные слагаемые к единому знаменателю путем домножения первого слагаемого на три. Далее складываем и выделяем целую часть.
Данный пример вычисляется без сокращения: первым действием перемножаем числители и знаменатели дробей, вторым – выделяем целую часть неправильной дроби, превращая ее в смешанную.
Умножение дроби на натуральное число
Умножение дроби на натуральное число – пожалуй, самый простой вариант умножения дробей. Чтобы выполнить это действие, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений. После подсчета можно выделить целую часть, превратив обыкновенную дробь в смешанную.
Если число-множитель делится нацело на знаменатель дроби, то в результате получится целое число.
Примеры
В первом примере для умножения дроби на целое число проводим умножение числителя дроби на число-множитель, а знаменатель остался без изменений. Во втором примере можем сократить произведение на 4, получив в результате целое число.
Умножение смешанных дробей
Для умножения смешанных дробей необходимо перевести их обе в вид обыкновенных и далее действовать по стандартному алгоритму: произведение знаменателей станет знаменателем результата, произведение числителей – числителем.
Далее производится сокращение и перевод обратно в смешанную дробь.
Примеры
При умножении смешанной дроби на число удобно представить дробь в виде суммы целой и дробной части, произвести умножение и сложить полученные результаты.
Для перемножения двух смешанных дробей переводим обе в неправильные, затем умножаем по стандартным правилам. Вторым действием производим сокращение (делим числитель и знаменатель произведения на 7), а в полученном результате выделяем целую часть.
В данном примере не удалось провести сокращение, поэтому итоговый результат содержит четырехзначные числа. Приводим его к более простому виду, выделив целую часть.
Советы эксперта, как подготовиться к контрольной работе по умножению дробей
Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Дроби бывают обыкновенные (с дробной чертой) и десятичные (с запятой). Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить числитель одной дроби с числителем другой, а знаменатель со знаменателем. Если получится сначала сократить дроби, а потом их перемножить, то это освободит вас от действий с большими числами. Поэтому везде, где можно, сначала лучше упростить и только потом делать основное действие.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина
Почему умножение дробей начинают изучать в 5 классе?
Тема дробей раскрывается именно в 5 классе, так как к этому моменту ученики уже имеют в своем арсенале все необходимые для этого знания. Дроби – это азы. Без понимания этой темы дальнейшее изучение математики практически невозможно.
Зачем изучать умножение дробей?
После того как дети в школе изучают дроби, далее ни одна тема не обходится без них. По моему многолетнему опыту могу сказать, что если дроби не усвоены вовремя и на должном уровне, то все следующие темы без исключения будут «хромать». То есть без преувеличения, дроби (сначала обыкновенные, а затем и десятичные) – важнейшая тема в математике. И моя большая рекомендация для ребят в 5 классе – максимально сконцентрировано и детально изучать эту тему, уметь применять в разных ситуациях и задавать учителю все возникающие вопросы и сомнения.
Можно ли научиться умножать дроби в уме?
Все действия с дробями, разумеется, можно выполнять и в уме, все зависит от способностей конкретного ученика. А также существует много лайфхаков, которые упрощают умножение.
План урока:
Умножение обыкновенных дробей
Нахождение дроби от числа
Деление обыкновенных дробей
Нахождение числа по заданному значению его дроби
Дробные выражения
Умножение обыкновенных дробей
Разберем ситуацию.
На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:
числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:
Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить 3/16 килограмма сахарного песка.
Нахождение дроби от числа
Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.
Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?
Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:
Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:
48 : 8 = 6.
6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :
6 × 7 = 42.
Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.
Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.
В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.
Способ 2.
По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:
Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:
Мальчик нарисовал 42 рисунка.
Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.
Деление обыкновенных дробей
Разберем пример.
Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.
По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».
В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.
Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила
Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:
Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!
Нахождение числа по заданному значению его дроби
В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев. До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:
Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:
В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:
594 : 6 = 99.
Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.
В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.
Дробные выражения
Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения:
то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!
Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.
Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .
Например:
10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.
Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.
Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!
Знаешь ли ты?
1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.
2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.
3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.
4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).
5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.
Перед тем как перейти к умножению дробей, вспомним теоретические основы. Итак, дробь — это форма записи числа:
где a — числитель, b — знаменатель.
Дробь называется правильной — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 4/5), неправильной — если числитель больше знаменателя (например, 8/7).
Как умножать обыкновенные дроби?
Умножение дробей — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число, содержащее произведение заданных чисел. Разберем на конкретных примерах: как находить произведение дробей, как натуральное число умножить на дробь, познакомимся с умножением смешанных дробей.
Многие по аналогии со сложением и вычитанием, считают, что существует какая-то разница между умножением дробей в зависимости от их знаменателей. На самом деле её нет. Сейчас на примерах мы в этом убедимся.
Как умножать дроби с одинаковым знаменателем?
Умножение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к умножению и числителей и знаменателей и в общем виде выглядит следующим образом:
Пример 1:
2 5
×
3 5
Решение:
2 5
×
3 5
=
2 ∙ 3 5 ∙ 5
=
6 25
Как умножать дроби с разными знаменателями?
Умножение дробей с разными знаменателями заключается в умножении и числителей и знаменателей. В общем виде выглядит следующим образом:
Пример 2:
5 6
×
4 5
Решение:
5 6
×
4 5
=
5 ∙ 4 6 ∙ 5
=
20 30
=
2 3
Как вы могли заметить, разницы между умножением дробей с разными и одинаковыми знаменателями — нет, а сам алгоритм сводится к умножению обоих компонентов.
Как умножить дробь на целое число?
Чтобы умножить дробь на число необходимо числитель умножить число, а знаменатель оставить без изменения. Т.е.:
Пример 3:
5 ×
3 4
Решение:
5
×
3 4
=
5 ∙ 3 4
=
15 4
=
3
3 4
Таким образом, умножение дроби на целое число, сводится к умножению числителей.
Как умножать смешанные дроби?
Умножение смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:
Пример 4:
6
3 5
×
6 4
Решение:
6
3 5
×
6 4
=
6 ∙ 5 + 3 5
×
6 4
=
33 5
×
6 4
=
33 ∙ 6 5 ∙ 4
=
198 20
=
99 10
=
9
9 10
Правила умножения дробей
Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм умножения дробей:
- Если дробь смешанная — приводим её к неправильному виду;
- Неважно одинаковые или разные знаменатели у дробей — перемножаем и числители и знаменатели;
- При необходимости сокращаем и приводим к неправильному виду.
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Калькулятор умножения дробей
Оцените материал:
Загрузка…