Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | = 2R |
| sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p — a ) b + c
lb = 2√ acp ( p — b ) a + c
lc = 2√ abp ( p — c ) a + b
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Формулы площади треугольника
Формула Герона
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Основные свойства площадей треугольников
Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.
Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).
Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.
Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.
Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то
Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Треугольники общего вида
Треугольники общего вида.
Основные свойства треугольников:
- Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
- Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
- Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
- В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r=/<2>$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | $<1>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<√3>/<2>$ |
| $cosα$ | $<√3>/<2>$ | $<√2>/<2>$ | $<1>/<2>$ |
| $tgα$ | $<√3>/<3>$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | $<√3>/<3>$ |
Тригонометрические тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество:
2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:
3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
http://shkolkovo.net/theory/119
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/treugolniki
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение четырехугольника
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .
Выпуклые четырехугольники
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .
Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .
Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .
Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ
где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
- Противолежащие стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
S = a ⋅ h a = b ⋅ h b
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
S = a ⋅ b ⋅ sin α
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
S = a ⋅ h
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
S = a 2 ⋅ sin α
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
S = a ⋅ b
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
S = 1 2 ⋅ d 2 ⋅ sin φ
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Сохраняет свойства ромба.
- Сохраняет свойства прямоугольника.
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
S = a 2
Как квадрат стороны.
S = d 2 2
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.
B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .
Свойства трапеции:
сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .
∠ A + ∠ B = 180 °
∠ C + ∠ D = 180 °
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
S = a + b 2 ⋅ h = m ⋅ h
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
S = 1 2 d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
Скачать домашнее задание к уроку 4.
Содержание:
- Формулы
- Примеры вычисления площади параллелограмма
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь параллелограмма (рис. 1), нужно найти произведение стороны
$a$ параллелограмма на высоту
$h_a$, проведенную к этой стороне, то есть
Второй способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти произведение двух его смежных сторон
$a$ и $b$, умноженное на синус угла
$alpha$ между ними (рис. 2):
$$mathrm{S}=a b sin alpha$$
Третий способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти полупроизведение его диагоналей
$d_1$ и $d_2$ на синус угла $beta$ между ними (рис. 3):
$$mathrm{S}=frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin beta$$
Примеры вычисления площади параллелограмма
Пример
Задание. Найти площадь параллелограмма, если его сторона равна 2 см, а высота, проведенная к этой стороне — 3 см.
Решение. Искомая площадь равна
$S=2 cdot 3 = 6$ (см2)
Ответ. $S=6$ (см2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 4 см, вторая на 3 см
больше и тупой угол параллелограмма равен $120^{circ}$.
Решение. Найдем вторую сторону параллелограмма:
$b=4+3=7$ (см)
Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
$180^{circ}$, то делаем вывод, что угол между сторонами равен
$$alpha=180^{circ}-120^{circ}=60^{circ}$$
Тогда искомая площадь равна
$mathrm{S}=4 cdot 7 cdot sin 60^{circ}=28 cdot frac{sqrt{3}}{2}=14 sqrt{3}$ (см2)
Ответ. $mathrm{S}=14 sqrt{3}$ (см2)
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Каким образом можно доказать утверждение о том, что площадь параллелограмма
есть число, получаемое в результате умножения длин двух его сторон,
являющихся смежными, и синуса угла, который образуется между ними?
Параллелограмм следует расположить по горизонтали. Обозначим его верхнее
основание как АВ, а противоположное ему основание – как CD. Из точек ВЕ и
AF проведем перпендикулярные прямые на нижнее основание фигуры. В
результате получится прямоугольник ABEF. Площадь образовавшейся
прямоугольной фигуры равна площади параллелограмма по той причине, что
параллелограмм ABCD и фигура с прямыми углами ABEF являются
равносоставленными, о чем свидетельствует равенство треугольников ВEC и
DAF.
Площадь (S) прямоугольника представляет собой произведение длин сторон EF
и FA, которое, в свою очередь, равно:
CD*AD*sin(CDA)
Именно это и требовалось доказать.
Параллелограмм имеет смежные стороны длиной 26 см и 32 см. Один из углов
данной фигуры равен 150 градусам. Каким способом можно вычислить площадь
параллелограмма?
Обозначим имеющийся параллелограмм как АВСD. Тогда одна его сторона АВ
равна 26 см, а другая АD – 32 см. Угол АВС параллелограмма составляет 150
градусов.
Принимая во внимание тот факт, что сумма внутренних односторонних углов
параллелограмма равна 180 градусов, можно говорить о том, что его угол ВАD
составляет 30 градусов. Проведем высоту ВК, и в итоге получим треугольник
АВК с прямым углом. Длина опущенной высоты как катета, расположенного
противоположно углу в 30 градусов, равна 13 см. Площадь (S)
параллелограмма есть число, полученное в результате умножения длины высоты
на длину стороны. Это значит, что:
S (АВСD) = 13 *32 = 416 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 416 см кв.
Прямая АС проведена через середины двух сторон параллелограмма, которые
являются смежными. Данная прямая отсекает от параллелограмма два
треугольника – FMD и АDС. Площадь одного из отсеченных треугольников
составляет 32 см кв. Как высчитать площадь параллелограмма?
Прямая АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае
образовавшиеся посредством ее проведения треугольники FMD и АDС являются
подобными по причине наличия общего угла А и равенства сторон. На
основании этого можно говорить о том, что:
SADC=1/2*ab*sin a
SFDM=1/2 *2a*2b sin a
SADC / SFDM= 32/x
1/4=32/x
x=128
Теперь можно рассчитать площадь параллелограмма (S), которая будет равна
2*х:
S = 128*2 = 256 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 256 см кв.
Параллелограмм имеет стороны, длины которых составляют 10 см и 6 см. Данные
стороны образуют угол, равный 150 градусам. Как рассчитать площадь
параллелограмма в этом случае?
Обозначим угол в 150 градусов буквой В. Зная о том, что внутренние
односторонние углы параллелограмма в сумме дают 180 градусов, можно
вычислить второй угол А. Он будет равен:
∠А = 180-150 = 30 градусов.
Теперь следует провести высоту ВВ1, которая образует треугольник АВВ1,
являющийся прямоугольным. Длина ВВ1 будет равна половине длины стороны,
равной 6 см:
ВВ1 = 6/2 = 3 см.
Тогда площадь (S) параллелограмма можно рассчитать, умножив длину ВВ1 на
10 см (длина смежной стороны):
S = 3*10 = 30 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 30 см кв.
Проведенные диагонали делят параллелограмм на четыре треугольных фигуры.
Площадь одной из них равна 7 м кв. Каким образом можно найти площадь
параллелограмма?
Обозначим имеющийся параллелограмм как ABCD. Точкой пересечения его
диагоналей является точка О. Образованные диагоналями треугольные фигуры
ABO, BCO, CDO, DAO являются одинаковыми по площади. Об этом
свидетельствует тот факт, что диагонали параллелограмма делятся ровно
пополам в точке их пересечения. Свидетельством того, что все четыре
треугольника имеют одинаковые площади, выступает равенство синусов смежных
углов. Площадь является ½ числа, которое получено в результате умножения
длин сторон треугольника и синуса угла, образованного между ними.
Параметры, которые отвечают вычислению площадей треугольников, равны, а
это означает равенство и самих площадей.
Если площади всех четырех треугольных фигур равны, то площадь самого
параллелограмма будет в четыре раза превышать площадь любого из них. Это
значит, что площадь (S) параллелограмма может быть вычислена следующим
образом:
S = 4*7 = 28 м кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 28 м кв.
Дан параллелограмм ABCD, на одной из сторон которого АВ поставлена точка М.
Известно, что площадь треугольника MCD составляет 38 см кв. Как найти
площадь параллелограмма?
Площадь (S) параллелограмма рассчитывается путем умножения длины его
основания на длину его высоты.
Прямые МС и МD, проведенные из точки М, делят параллелограмм на
треугольники. Площадь первого из них вычисляется как:
S₁ = 1/2 * a * h = 38 см кв.
Формула для расчета площади второго треугольника выглядит так:
S₂ = 1/2 * a₁* h
Площадь третьего треугольника можно найти следующим образом:
S₃ = 1/2 *a₃* h,
где а =а₁ + а₂
Теперь через площади образованных треугольников можно вычислить площадь
параллелограмма:
S = S₁ + S₂ + S₃ = 1/2 *(a * h +a₁ * h +a₂ * h) = 1/2 * (a * h + h(a₁ +
a₂)) = 1/2 * (a * h + a * h) = 2 * 38 = 76 см. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 76 см кв.
Длина основания параллелограмма составляет 5 см, а его высота равна 3 см.
Как найти площадь параллелограмма?
Формула расчета площади параллелограмма (S) включает длину его высоты и
длину его основания. Данные элементы нужно перемножить, для того чтобы
вычислить площадь фигуры:
S = a*h= 5*6=30 см кв.
Ответ: Параллелограмм имеет площадь 30 см кв.
Имеется параллелограмм ABCD. Посередине его стороны АВ поставлена точка Е,
из которой проведена прямая, образующая треугольник CDE площадью 36 см кв.
Каким образом можно найти площадь параллелограмма?
На продолжение стороны CD опустим перпендикуляр ЕН из точки Е. Он
представляет собой высоту для параллелограмма ABCD и треугольника CDE.
Известно, что площадь (S) параллелограмма является произведением длины его
стороны и высоты, которая на нее опущена. Площадь треугольника
представляет собой ½ от числа, которое получилось в результате умножения
длины стороны на высоту, опущенную на нее. На основании этого можно
сделать вывод о том, что:
S(ABCD) = EH*CD
S(∆CDE) = ½*EH*CD => 2*S(∆CDE) = EH*CD.
Из этого следует, что:
2*S(∆CDE) = S(ABCD) = 2*36 ед² = 72 ед. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 72 кв. ед.
В каком виде представлена формула, которая предназначена для вычисления
площади параллелограмма?
Для получения возможности рассчитать, чему равна площадь (S)
параллелограмма, нужно располагать сведениями о длине его основания (а) и
высоты (h). В этом случае площадь можно высчитать при помощи следующей
формулы:
S = а* h.
Как найти площадь параллелограмма через синус, если известно, что длины его
сторон равны 8 см и 10 см, а синус одного из его углов составляет 0,05?
Формула, которая предназначена для вычисления площади параллелограмма (S)
через синус, выглядит следующим образом:
S = a × b × sin A
В данной формуле буквами a и b обозначены стороны параллелограмма,
являющиеся смежными, а А означает угол, который образован между этими
сторонами.
Доказано, что синусы смежных углов являются равными. Это значит, что синус
тупого угла равен синусу острого угла.
Площадь параллелограмма вычисляем следующим образом:
S = 8 × 10 × 0,05 = 4 см кв.
Ответ: Параллелограмм имеет площадь, равную 4 см кв.
Имеется параллелограмм ABCD, в котором опущена высота на его сторону АВ. Ее
длина равна 12 см. При этом длина AD составляет 24 см. Каким образом можно
высчитать значение синуса угла А?
Высота, опущенная на сторону АВ параллелограмма, обозначена как СК.
Полученный в результате треугольник КВС имеет прямой угол.
Sin B=АВ/ВС.
В этом случае ВС=AD=24 см. Так, синус угла В равен:
sinВ=12/24=1/2, что соответствует углу 30 градусов.
В параллелограмме проведены диагонали, длины которых равны 5 см и 28 см.
Между ними образован угол, составляющий 30 градусов. Как можно найти площадь
параллелограмма через синус в данном случае?
Площадь любой из четырехугольных фигур может быть вычислена, если известны
длины ее диагоналей и синус угла, образованного между ними. Для этого
нужно произвести умножение упомянутых величин, а затем разделить
полученное число на 2. В случае с параллелограммом, обозначенным как ABCD,
площадь рассчитывается по этой же формуле:
S = 1/2 AC*BD*sin∠AOB = ½*28*5*sin30° = 14*5*1/2 = 7*5 = 35 кв. см.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 35 см кв.
Представляется ли возможным высчитать площадь параллелограмма при условии,
что длины двух его диагоналей и образованный в месте их пересечения угол
являются известными величинами?
Площадь параллелограмма (S) представляет собой половину числа, полученного
после умножения друг на друга длин проведенных в нем диагоналей, которое
умножено на синус образовавшегося в итоге их пересечения угла:
S = ½*d 1*d 2*sin α
Возможно ли рассчитать площадь параллелограмма по диагоналям, длины которых
равны 6 см и 4 см? При этом известно, что образованный ими угол является
прямым.
Для определения площади параллелограмма через известные длины проведенных
в нем диагоналей применяется приведенная ниже формула:
S = ½*d 1*d 2*sin α,
где диагонали фигуры обозначены как d 1 и d 2, а синус образованного в
результате их пересечения угла — sin α.
Подставим в указанное равенство величины, приведенные в задании:
S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма, вычисленная через диагонали, равна 12 см
кв.
На одной из сторон параллелограмма ABCD, обозначенной как ВС, отмечена точка
М. Чему будет равна площадь параллелограмма при условии, что площадь
треугольника МАD составляет 21 см кв.?
Под площадью параллелограмма (S) понимается величина, полученная в
результате умножения длины его стороны (b) на высоту (h), которая опущена
к ней. В виде формулы это выглядит следующим образом:
S =b*h
Площадь треугольной фигуры представляет собой ½ числа, полученного
произведением длины стороны на высоту, которая к ней проведена:
S=1/2*b*h,
Отсюда получаем, что:
b*h=2Sт=2*21=42 см кв.
Если говорить о треугольнике МАD, то в нем сторона АD представлена в
качестве стороны b, как и в случае с параллелограммом. Высота указанного
треугольника будет также представлять собой высоту параллелограмма. Это
обусловлено тем, что точка М расположена на стороне, которая
противоположна стороне ВС. Из этого следует, что площадь параллелограмма
равна 42 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 42 см кв.
Параллелограмм ABCD имеет стороны длиной 10 см и 14 см, а также острый угол
в 60 градусов. Каким образом можно вычислить площадь параллелограмма?
В параллелограмме ABCD нужно провести высоту ВН на сторону AD. После этого
получается треугольник АВН с углом в 90 градусов. Можно рассчитать, чему
равен еще один угол данного треугольника:
АВН = 90-60 = 30
ВН = АВ*sin60 = 10*корень3/2 = 5*корень3
Таким образом, можно узнать, чему будет равна площадь параллелограмма:
S = AD*ВН = 14*5*√3 = 70*√3 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 70*√3 см кв.
Дан параллелограмм, через середины пары смежных сторон которого проведена
прямая. Она отсекает треугольную фигуру площадью 32 см кв. Чему в данном
случае равна площадь параллелограмма?
АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае оба
треугольника FMD и ADC являются подобными по той причине, что они имеют
общий угол А и их стороны равны. Из этого следует, что:
S ADC = 1/2*ab*sina
S FDM=1/2 *2a*2bsina
Отношение площадей двух треугольников выглядит как:
S ADC / S FDM= 32/x
1/4=32/x
x=128
Теперь можно высчитать площадь параллелограмма:
S = 128*2 = 256 см кв.
Читать дальше: как найти площадь трапеции.
Площадь параллелограмма
Простые геометрические расчеты, такие как нахождение площади параллелограмма, можно производить при помощи Яндекса. Наберите в Яндексе:
площадь параллелограмма
Яндекс предложит следующий интерфейс, в который нужно будет подставить значения:
Формула площади параллелограмма
S=ah
где «a» — основание, «h» — высота.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
tana76
[124K]
6 лет назад
Площадь параллелограмма — одной из часто встречающихся геометрических фигур — можно искать разными способами, в зависимости от исходных данных или возможности их определить.
Первый способ — через известные стороны и углы параллелограмма.
Второй — через известную сторону параллелограмма и его высоту.
Третий — через диагонали параллелограмма и угол между ними.
Матвей628
[90.1K]
9 лет назад
Площадь параллелограмма можно найти, по меньшей мере, тремя способами:
1.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, опущенную на это основание
2.Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними.
3.Площадь параллелограмма равна половине произведения двух диагоналей на синус угла между ними.
moreljuba
[62.5K]
6 лет назад
Площадь параллелограмма можно найти целыми тремя путями:
1) Во-первых, можно умножить сторону параллелограмм на опущенную к ней высоту;
2) Во-вторых, можно умножить две прилежащие стороны к углу на синус этого угла;
3) В-третьих, можно умножить половину произведений диагоналей параллелограмма на синус угла, располагаемого между диагоналями.
Колючка 555
[61.4K]
8 лет назад
Я знаю 2 способа. Для первого способа необходимо знать длину не параллельных сторон и значение угла между ними.
То есть, в моем случае S=K*T*sinO.
Второй способ. Нужна длина одной стороны и высота от этой стороны, к тупому углу противоположной стороны построенная под прямым углом. S=W*F.
Annet007
[26.3K]
8 лет назад
Площадь параллелограмма найти не сложно, если знать основную формулу для ее нахождения.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Доказательство данной формулы смотрим ниже на скрине:
sergun
[16.9K]
10 лет назад
чтобы найти площадь параллелограмма,нужно длину его стороны умножить на длину опущенной на эту сторону высоты.
иришенька
[41.2K]
9 лет назад
Вообще, площадь параллелограмма можно найти 3-мя различными способами(смотря что известно о параллелограмме), например, 1) площадь параллелограмма = основание х на высоту(высоту берём ту, которая опущена на основание).
2) Площадь параллелограмма = 2 смежные стороны умноженные друг на друга и умноженные на синус угла, который они составляют.
3) Площадь параллелограмма = одна диагональ х на другую диагональ/2 х на синус угла, который они составляют(берём меньший угол).
По-моему, будет так.
galvanna
[52.7K]
9 лет назад
Какой хороший школьный вопрос! Я очень соскучилась по параллелограмму.)
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Для того, чтобы найти площадь параллелограмма необходимо сторону параллелограмма умножить на высоту проведённую к этой стороне. То есть S = AD*BE
или S= AB*AD*sin<BAD — произведение смежных сторон на синус угла между ними,
а так же половина произведения диагоналей параллелограмма на синус угла между ними 1/2AC*BD*sin<AOB.
Есть несколько формул для расчета площади параллелограмма:
- Умножить основание на высоту: S = a*h
- Умножить две смежные стороны на синус угла между ними: S = a*b*sinα
- Произведение диагоналей на синус угла между ними и всё это поделить на два: S = (1/2)*d1*d2*sinα
Или рассчитать онлайн на сайте http://100formul.ru/44
Для того,чтобы вычислить площадь параллелограмма,нужно узнать величины основания и высоты,опущенной к этому основанию, затем перемножить данные числа.Это и будет являться площадью параллелограмма.
Это самый легкий способ,по сравнению с другими.
Знаете ответ?
Площадь прямоугольника и квадрата
Площадь прямоугольника или квадрата – это часть плоскости, занимаемая данной фигурой.
Рассмотрим два прямоугольника ABCD и A1B1C1D1:
Чтобы узнать сколько места они занимают, надо вычислить их площадь. Так как размеры прямоугольников даны в сантиметрах, то и за единицу измерения площади можно взять квадратный сантиметр.
Прямоугольник ABCD состоит из 4 строк, в каждой из которых по 6 квадратных сантиметров, значит всего в нём 6 · 4, или 24 см2. A1B1C1D1 состоит из 3 строк, по 8 квадратных сантиметров, значит в нём 8 · 3, или 24 см2. Оказалось, что несмотря на то, что прямоугольники имеют разные размеры, они занимают одинаковую площадь.
Из данного примера можно сделать вывод, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Общая формула:
S = a · b,
где S — площадь прямоугольника, а a и b — его смежные стороны.
Рассмотрим квадрат ABCD:
так как квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны, то в любом квадрате количество строк будет совпадать с количеством квадратных сантиметров, содержащихся в каждой строке. Квадрат ABCD состоит из 4 строк, по 4 квадратных сантиметра в каждой, значит в нём 4 · 4, или 16 см2.
Из примера можно сделать вывод, что площадь квадрата равна длине любой его стороны во второй степени. Общая формула:
S = a2,
где S — площадь квадрата, а a — его сторона.
Чтобы узнать площадь прямоугольника, надо взять его длину и ширину (в одинаковых единицах измерения) и найти их произведение (площадь должна быть выражена в соответствующих единицах измерения).
Задача. Длина прямоугольного дома равна 12 метром, а ширина — на 5 метров меньше. Чему равна площадь дома?
Решение: Задача будет решаться в два действия:
1) 12 — 5 = 7 (метров) — ширина дома.
2) 12 · 7 = 84 (м2) — площадь дома.
Ответ: 84 м2.