Как найти произведение данных одночленов

Давайте рассмотрим, что значит упростить одночлен. 

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, описанных ранее. 

Возьмём произведение следующих одночленов и получим из него равный одночлен 

$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5$ 

Для начала возведём все числа и буквы в степени, используя свойства степеней. 

$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5 = -(-17)a^3 cdot 2,4b^{12}c^{15} cdot (-3) c^3 cdot 32k^5 =$

$= -3916,8 a^3b^{12}c^{18}k^5$

 Далее найдём произведение чисел, с учетом знаков «+» и «–», получается -3916,8.

 Теперь посмотрим на буквы и, используя свойства степеней, упростим выражение. 

Получается, что произведение одночленов равно такому выражению: 

$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5= -3916,8 a^3b^{12}c^{18}k^5$

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Умножение одночленов

Поддержать сайт

ПРИМЕР:

Перемножим одночлены

–5а²bc  и  4а²b⁴.

Составим произведение этих одночленов. Перемножим их
числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Получим:

–5а²bc × 4а²b⁴ = 
(–5 × 4)(а²а²)(bb⁴)с 
= –20а⁴b⁴с.

ПРИМЕР:

Найдём произведение
одночленов

–х²у,  4х³у²
 и  –5ху:

–х²у × 4х³у² × (–5ху)
= 

–1 × 4 × (–5ху)(х²х³х)(уу²у) 
= 20х⁶у⁴.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

5a²b  и 
–0,2ab³.

РЕШЕНИЕ:

5a²b ∙ (–0,2ab³) =

= 5 ∙ (–0,2) a²abb³ = –a³b⁴.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

24ab²cd³  и  ¹/₆ a²b³c.

РЕШЕНИЕ:

(24ab²cd³) ∙ (¹/₆ a²b³c) =

= (24 ∙ ¹/₆) ∙ (a ∙ a²)
∙ (b²
∙ b³)
∙ (c∙ c) ∙ d³ =

= 4a³b⁵c²d³.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

4х²у³ ∙  0,5ху².

РЕШЕНИЕ:

4х²у³ ∙  0,5ху² =

= (4 ∙ 0,5) ∙ (х ∙ х² ∙ у³ ∙ у²) = 2х³у⁵.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

5²/₅ x⁶ ∙ ¹/₉ x²y².

РЕШЕНИЕ:

5²/₅ x⁶ × ¹/₉ x²y² =

= (²⁷/₅ ∙ ¹/₉) ∙ х⁶⁺² ∙ у² = 0,6х⁸у².

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

5x³y² ∙ 0,4xy².

РЕШЕНИЕ:

5x³y² ∙ 0,4xy³ =

= (5 ∙ 0,4) ∙ (х³ ∙ х) ∙ (у² ∙ у³) = 2х⁴у⁵.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

–0,4а⁴b  ∙
100 а²b⁴.

РЕШЕНИЕ:

–0,4а⁴b  ∙
100 а²b⁴ =

= ((–0,4) ∙ 100) ∙ (а⁴ ∙ а²) ∙ (b ∙ b⁴) = –40 а⁶b⁵.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

4m⁴n²
∙ (–0,6mn³).

РЕШЕНИЕ:

4m⁴n²
∙ (–0,6mn³) = 

= (4
∙ (–0,6)) ∙ (m⁴ ∙ m) ∙ (n² ∙ n³) = 

= –2,4
m⁵n⁵.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

21xy ∙ (–²/₇ x³y²z).

РЕШЕНИЕ:

21xy ∙ (–²/₇ x³y²z) =

= (21 ∙ (–²/₇)) ∙ (x
∙ x³) ∙ (y
∙ y²)
∙ z =
–6x⁴y³z.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение одночленов:

(–8 xⁿ⁺¹) ∙ (–0,5 x³y).

РЕШЕНИЕ:

(–8 xⁿ⁺¹)
∙ (–0,5 x³y) =

= ((–8) ∙ (–0,5)) ∙ (xⁿ ∙ x ∙ x³) ∙ y =

= –4xⁿ⁺⁴y.

Задания к уроку 4

Итак, мы с вами уже разобрались в том, чем является одночлен, а также попробовали их вычитать и складывать. Теперь нам предстоить понять, как умножать между собой одночлены. На самом деле, здесь нет ничего сложного, а, возможно, даже легче, чем сложение или вычитание.

Одночлен — это перемножение числовых и буквенных коэффициентов, в котором опущены знаки умножения. Следовательно, чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить между собой каждый из его множителей.

Возьмем в пример следующее выражение:

$$3x^{2}y^{3}cdot4xy^{2}z$$

Для удобства запишем одночлены со знаками умножения:

$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}$$

Воспользуемся сочетательным и переместительным свойством умножения, а также правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}=$$

$$=textcolor{blue}{12}textcolor{green}{x^{3}}textcolor{lightblue}{y^{5}}textcolor{orange}{z}$$

Таким образом, мы с вами получили произведение двух одночленов.

Алгоритм выполнения

Для того чтобы умножить одночлен на одночлен правильно и не допустить ошибок в расчетах, нужно придерживаться определенной схемы:

1. Перемножить числовые коэффициенты;
2. Перемножить буквенную часть (Важно: каждую часть нужно умножать по отдельности).

Разберем на примере. У нас дано выражение:

$$ textcolor{coral}{1,5} textcolor{purple}{p^{2}}textcolor{orange}{t^{3}}cdottextcolor{coral}{frac{2}{3}}textcolor{purple}{p^{4}}textcolor{orange}{t^{5}}$$

Первым делом перемножим числовые коэффициенты $color{coral}1,5$ и $color{coral}frac{2}{3}$. Получится $color{coral}1$.

Следующим шагом перемножим первую буквенную часть: $color{purple}p^{2}$ и $color{purple}p^{4}$. Получится $color{purple}p^{6}$.

Последним шагом остается перемножить оставшиеся буквенные значения: $color{orange}t^{3}$ и $color{orange}t^{5}$. Получится $color{orange}t^{8}$.

Теперь осталось соединить все шаги и записать готовый ответ в стандартном виде: $textcolor{purple}{p^{6}}textcolor{orange}{t^{8}}$. Обратите внимание, что так как числовой коэффициент равен $ textcolor{coral}1$, то эту единицу можно опустить.

Произведение более двух одночленов

Помимо умножения двух одночленов нам могут встретиться задачи, в которых нужно найти произведение трех, четырех или даже пяти одночленов. В таком случае мы придерживаемся алгоритма, перемножая множители сразу всех одночленов. Рассмотрим пример:

$$textcolor{purple}{2}textcolor{coral}{n^{5}}textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{purple}{3}textcolor{coral}{n^{2}}textcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{purple}{5}textcolor{coral}{n^{3}}textcolor{blue}{q^{2}}$$

По алгоритму выполняем следующие действия:

1. $textcolor{purple}{2}cdottextcolor{purple}{3}cdottextcolor{purple}{5}=textcolor{purple}{30}$.
2. $textcolor{coral}{n^{5}}cdottextcolor{coral}{n^{2}}cdottextcolor{coral}{n^{3}}=textcolor{coral}{n^{10}}$.
3. $textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{blue}{q^{2}}=textcolor{blue}{q^{9}}$.

В ответе получаем $textcolor{purple}{30}textcolor{coral}{n^{10}}textcolor{blue}{q^{9}}$.