Давайте рассмотрим, что значит упростить одночлен.
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, описанных ранее.
Возьмём произведение следующих одночленов и получим из него равный одночлен
$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5$
Для начала возведём все числа и буквы в степени, используя свойства степеней.
$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5 = -(-17)a^3 cdot 2,4b^{12}c^{15} cdot (-3) c^3 cdot 32k^5 =$
$= -3916,8 a^3b^{12}c^{18}k^5$
Далее найдём произведение чисел, с учетом знаков «+» и «–», получается -3916,8.
Теперь посмотрим на буквы и, используя свойства степеней, упростим выражение.
Получается, что произведение одночленов равно такому выражению:
$-(-17)aaa cdot 2,4(b^4c^5)^3·(-3)ccc cdot (2k)^5= -3916,8 a^3b^{12}c^{18}k^5$
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Умножение одночленов
Поддержать сайт
Запомните!
При умножении одночленов числа умножаются с числами, а буквы с буквами.
Как умножать одночлены
В первую очередь перемножаются числовые коэффициенты.
Так как в любом одночлене между числовым коэффициентом и буквенными множителями стоит знак умножения,
можно воспользоваться
переместительным законом умножения.
Рассмотрим пример:
3ab · 2a2c
3ab · 2a2c = 3 · a · b · 2 · a2 · с =
3 · 2 · a · a2 · b · с = 6 · a · a2 · b ·с
Одинаковые буквенные множители перемножаем по
свойствам степени.
6 · a · a2 · b · с =
6 · a1 + 2 · b · с =
6a3bc
При умножении числовых коэффициентов с разными знаками, в первую очередь
определяем итоговый знак результата по правилу знаков.
−2ax · (−3x2y) = (−2)·(−3)a
· x · x2 · y
= 6 · a · x1 + 2 · y = 6ax3y
Примеры умножения одночленов
- 2t2 · 7t3 =
14t2 + 3 = 14t5 - −5t · 5t3x =
−25t3 + 1x = −25t4x
аb2 · 3a3b = aa3b2b = a1 + 3
b2 + 1 = a4b3
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Иногда возникает
потребность перемножения нескольких одночленов. Для этого соединяют их знаком умножения.
Пользуясь законами
умножения, каждый одночлен можно записать в стандартном виде. Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то
получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. Приведение одночлена до стандартного вида состоит в
умножении двух или нескольких одночленов.
Чтобы перемножить
одночлены, числовые множители перемножают, а к буквенным множителям применяют
правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
ПРИМЕР:
4сх (–2сх3) =
4 · (–2) · с · с · х · х3
= –8с2х4.
ПРИМЕР:
Привести к стандартному виду одночлен:
3а ∙
(2,5а3).
РЕШЕНИЕ:
3а ∙
(2,5а3) = (3 ∙ 2,5) ∙ (а ∙ а3) = 7,5а4.
При умножении одночленов
используется правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. При этом
получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.
Чтобы перемножить одночлены, надо перемножить их
коэффициенты и к произведению приписать множителем каждую букву из
перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в
сомножителях.
Если буква входит
только в один из сомножителей, то её записывают в произведение с тем же
показателем.
ПРИМЕР:
Перемножим одночлены
–5а2bc и 4а2b4.
Составим произведение этих одночленов. Перемножим их
числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Получим:
–5а2bc × 4а2b4 =
(–5 × 4)(а2а2)(bb4)с
= –20а4b4с.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
4a ∙ 3b.
РЕШЕНИЕ:
Используя переместительный и сочетательный законы умножения,
получим:
4a ∙ 3b = (4 ∙ 3) ∙ ab = 12ab.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
0,3a ∙ (–0,7b).
РЕШЕНИЕ:
Это выражение можно рассматривать как произведение четырёх
множителей:
0,3 ∙ a ∙ (–0,7) ∙ b.
Сгруппировав отдельно числовые множители и отдельно буквенные
множители, получим:
0,3a ∙ (–0,7b) = 0,3 ∙ a ∙ (–0,7) ∙ b =
= (0,3∙ (–0,7)) ∙ (a ∙ b) = –0,21аb.
ПРИМЕР:
Найдём произведение
одночленов
–х2у, 4х3у2
и –5ху:
–х2у × 4х3у2 × (–5ху)
=
–1 × 4 × (–5ху)(х2х3х)(уу2у)
= 20х6у4.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
5a2b и
–0,2ab3.
РЕШЕНИЕ:
5a2b ∙ (–0,2ab3) =
= 5 ∙ (–0,2) a2abb3 = –a3b4.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
24ab2cd3 и 1/6 a2b3c.
РЕШЕНИЕ:
(24ab2cd3) ∙ (1/6 a2b3c) =
= (24 ∙ 1/6) ∙ (a ∙ a2)
∙ (b2
∙ b3)
∙ (c∙ c) ∙ d3 =
= 4a3b5c2d3.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
4х2у3 ∙ 0,5ху2.
РЕШЕНИЕ:
4х2у3 ∙ 0,5ху2 =
= (4 ∙ 0,5) ∙ (х ∙ х2 ∙ у3 ∙ у2) = 2х3у5.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
52/5 x6 ∙ 1/9 x2y2.
РЕШЕНИЕ:
52/5 x6 × 1/9 x2y2 =
= (27/5 ∙ 1/9) ∙ х6+2 ∙ у2 = 0,6х8у2.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
5x3y2 ∙ 0,4xy2.
РЕШЕНИЕ:
5x3y2 ∙ 0,4xy3 =
= (5 ∙ 0,4) ∙ (х3 ∙ х) ∙ (у2 ∙ у3) = 2х4у5.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
–0,4а4b ∙
100 а2b4.
РЕШЕНИЕ:
–0,4а4b ∙
100 а2b4 =
= ((–0,4) ∙ 100) ∙ (а4 ∙ а2) ∙ (b ∙ b4) = –40 а6b5.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
4m4n2
∙ (–0,6mn3).
РЕШЕНИЕ:
4m4n2
∙ (–0,6mn3) =
= (4
∙ (–0,6)) ∙ (m4 ∙ m) ∙ (n2 ∙ n3) =
= –2,4
m5n5.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
21xy ∙ (–2/7 x3y2z).
РЕШЕНИЕ:
21xy ∙ (–2/7 x3y2z) =
= (21 ∙ (–2/7)) ∙ (x
∙ x3) ∙ (y
∙ y2)
∙ z =
–6x4y3z.
ПРИМЕР:
Выполнить умножение одночленов:
(–8 xn+1) ∙ (–0,5 x3y).
РЕШЕНИЕ:
(–8 xn+1)
∙ (–0,5 x3y) =
= ((–8) ∙ (–0,5)) ∙ (xn ∙ x ∙ x3) ∙ y =
= –4xn+4y.
Задания к уроку 4
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Другие уроки:
- Урок 1. Рациональные алгебраические выражения
- Урок 2. Тождественные выражения
- Урок 3. Одночлены
- Урок 5. Возведение в степень одночленов
- Урок 6. Деление одночленов
- Урок 7. Многочлены
- Урок 8. Сложение и вычитание многочленов
- Урок 9. Умножение одночлена на многочлен
- Урок 10. Умножение многочленп на многочлен
- Урок 11. Вынесение общего множителя за скобки
- Урок 12. Способ группировки
- Урок 13. Произведение суммы двух чисел на их разность
- Урок 14. Разность квадратов двух чисел
- Урок 15. Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел
- Урок 16. Преобразование многочлена в квадрат суммы или квадрат разности двух выражений
- Урок 17. Сумма и разность кубов двух чисел
- Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел
- Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители
- Урок 20. Алгебраические дроби
- Урок 21. Сокращение дробей (1)
- Урок 22. Сокращение дробей (2)
- Урок 23. Сложение алгебраических дробей
- Урок 24. Вычитание алгебраических дробей
- Урок 25. Умножение алгебраических дробей
- Урок 26. Деление алгебраических дробей
- Урок 27. Возведение в степень алгебраических дробей
- Урок 28. Преобразование алгебраических выражений (1)
- Урок 29. Преобразование алгебраических выражений (2)
Итак, мы с вами уже разобрались в том, чем является одночлен, а также попробовали их вычитать и складывать. Теперь нам предстоить понять, как умножать между собой одночлены. На самом деле, здесь нет ничего сложного, а, возможно, даже легче, чем сложение или вычитание.
Одночлен — это перемножение числовых и буквенных коэффициентов, в котором опущены знаки умножения. Следовательно, чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить между собой каждый из его множителей.
Возьмем в пример следующее выражение:
$$3x^{2}y^{3}cdot4xy^{2}z$$
Для удобства запишем одночлены со знаками умножения:
$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}$$
Воспользуемся сочетательным и переместительным свойством умножения, а также правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями:
$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}=$$
$$=textcolor{blue}{12}textcolor{green}{x^{3}}textcolor{lightblue}{y^{5}}textcolor{orange}{z}$$
Таким образом, мы с вами получили произведение двух одночленов.
Алгоритм выполнения
Для того чтобы умножить одночлен на одночлен правильно и не допустить ошибок в расчетах, нужно придерживаться определенной схемы:
- Перемножить числовые коэффициенты;
- Перемножить буквенную часть (Важно: каждую часть нужно умножать по отдельности).
Разберем на примере. У нас дано выражение:
$$ textcolor{coral}{1,5} textcolor{purple}{p^{2}}textcolor{orange}{t^{3}}cdottextcolor{coral}{frac{2}{3}}textcolor{purple}{p^{4}}textcolor{orange}{t^{5}}$$
Первым делом перемножим числовые коэффициенты $color{coral}1,5$ и $color{coral}frac{2}{3}$. Получится $color{coral}1$.
Следующим шагом перемножим первую буквенную часть: $color{purple}p^{2}$ и $color{purple}p^{4}$. Получится $color{purple}p^{6}$.
Последним шагом остается перемножить оставшиеся буквенные значения: $color{orange}t^{3}$ и $color{orange}t^{5}$. Получится $color{orange}t^{8}$.
Теперь осталось соединить все шаги и записать готовый ответ в стандартном виде: $textcolor{purple}{p^{6}}textcolor{orange}{t^{8}}$. Обратите внимание, что так как числовой коэффициент равен $ textcolor{coral}1$, то эту единицу можно опустить.
Произведение более двух одночленов
Помимо умножения двух одночленов нам могут встретиться задачи, в которых нужно найти произведение трех, четырех или даже пяти одночленов. В таком случае мы придерживаемся алгоритма, перемножая множители сразу всех одночленов. Рассмотрим пример:
$$textcolor{purple}{2}textcolor{coral}{n^{5}}textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{purple}{3}textcolor{coral}{n^{2}}textcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{purple}{5}textcolor{coral}{n^{3}}textcolor{blue}{q^{2}}$$
По алгоритму выполняем следующие действия:
- $textcolor{purple}{2}cdottextcolor{purple}{3}cdottextcolor{purple}{5}=textcolor{purple}{30}$.
- $textcolor{coral}{n^{5}}cdottextcolor{coral}{n^{2}}cdottextcolor{coral}{n^{3}}=textcolor{coral}{n^{10}}$.
- $textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{blue}{q^{2}}=textcolor{blue}{q^{9}}$.
В ответе получаем $textcolor{purple}{30}textcolor{coral}{n^{10}}textcolor{blue}{q^{9}}$.