Что означает «проекция точки на окружность по углу отрезка от точки к центру» и как это можно найти?
Kromster
13.5k12 золотых знаков43 серебряных знака72 бронзовых знака
задан 13 ноя 2020 в 21:59
2
что означает проекция точки на окружность
Проведите луч из центра окружности через данную точку. Пересечение луча с окружностью — это проекция точки на окружность.
отсортированы … по углу отрезка от точки к центру
Проекции N точек на окружность нужно упорядочить — как если бы Вы шли по окружности все время в одну сторону и встречали эти проекции одну за другой.
ответ дан 13 ноя 2020 в 22:05
Проекции точек на поверхностях геометрических тел
Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.
Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.
|
Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки. |
 |
|
Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра Последовательность проецирования точек 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи. |
 |
Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).
Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта.
|
Проецирование точек на поверхности призмы Последовательность проецирования точек 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи. |
 |
Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.
Проецирование точек на поверхности пирамиды
Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.
Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.
Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.
Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.
Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.
|
Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. |
 |
|
Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. |
 |
На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?
|
Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. |
 |
Проецирование окружности
Окружность с центром О, рассматриваемая как плоская фигура, проецируется без искажения на ту плоскость, которой она параллельна (рис. 6.5). При этом две другие ее проекции есть отрезки, параллельные осям проекций и равные по длине диаметру окружности.
Если окружность наклонена к плоскости проекций, то ее проекция представляет собой эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности. Величина малой оси зависит от угла наклона плоскости окружности к плоскости проекций.
Окружность, изображенная на рис. 6.6, перпендикулярна плоскости проекций П и наклонена к плоскости проекций к2, поэтому ее фронтальная проекция — эллипс. Большая ось этого эллипса С «И « представляет собой проекцию диаметра окружности, который без искажения проецируется на плоскость проекций л2. Таким образом, она перпендикулярна плоскости проекций Л1 и параллельна плоскостям проекций 7^2 и Лз. Малая ось эллипса является проекцией диаметра АВ, перпендикулярного СИ. Ее величину на плоскости проекций п2 определяют с помощью линий проекционной связи, проведенных через точки А’ и В’.
Промежуточные точки эллипса находят с помощью дополнительной плоскости проекций тс4, которую располагают параллельно плоскости окружности, поэтому окружность проецируется на нее без искажения. Вначале строят новую проекцию центра окружности — точку О™ и на плоскости тс4 описывают заданную окружность. Затем на окружности намечают 8 или 12 произвольных точек и находят их проекции в системах плоскостей щ/щ и щ/л2. На рис. 6.6 приведено построение только для двух промежуточных точек 1 и 2; остальные строят аналогично.
Окружность, расположенная в плоскости общего положения, проецируется на все основные плоскости проекций в виде эллипсов, большие оси которых равны ее диаметру. Величины малых осей обычно различны и зависят от углов
наклона заданной плоскости, в которой расположена окружность, к плоскостям проекций.
Если эллипс представляет собой проекцию окружности, то на горизонтальной проекции его большая ось расположена на горизонтальной прямой плоскости, на фронтальной — на фронтальной прямой и на профильной — на профильной прямой.
Построение в плоскости общего положения а(Иа п /а) (рис. 6.7) проекций окружности с центром в точке О, расположенной на горизонтальной прямой /га, и с радиусом, равным /?, начинают с определения проекций осей эллипса.
На горизонтальной проекции окружности по прямой /га‘ вправо и влево от точки О‘ откладывают радиус окружности Л, получая при этом точки А’ я В’. Сделав замену плоскостей проекций щ/л2 —> п/щ, где п4_1_ Иа, и построив новую проекцию окружности в виде отрезка С ,У /) |У , равного диаметру окружности, строят с помощью точек С’ и /)’ малую ось эллипса на горизонтальной проекции (направления построений указаны стрелками).
Для фронтальной проекции окружности через точку О « проводят проекцию прямой, параллельной^’, и на ней вправо и влево от точки О » откладывают радиус окружности Я, получая точки Е «, Е». Сделав замену плоскостей проекций П/П2 —> П2/Л5, где п5 Е/а, и построив новую проекцию окружности в виде отрезка, равного диаметру окружности, строят на фронтальной проекции с помощью точек 1У, малую ось эллипса.
Таким образом, на каждой проекции есть по четыре точки, принадлежащие проекции окружности: точки Л ‘, ВС‘, В‘ и Е «, Е», К «, Ь». Проводя из них линии проекционной связи, получают восемь точек для построения горизонтальной и фронтальной проекций эллипса.
Нахождение проекций точек на поверхности сферы
Нахождение проекций точек на поверхности сферы рассмотрим на следующем примере.
Пример 2.2. На поверхности сферы заданы проекции Л2 (рис. 2.8, а) и В3 (рис. 2.8, б). Найдите недостающие проекции точек Л и В на поверхности сферы.
Рис. 2.8. Нахождение проекций точек на поверхности сферы
Выполним задание, следуя вышеизложенному алгоритму.
- 1. Мысленно проводим через точку А окружность на поверхности сферы. Отмечаем проекции этой окружности на трех видах (на виде спереди и виде слева окружность проецируется в отрезок, на виде сверху — в окружность радиусом В,).
- 2. На виде сверху на пересечении линии связи и окружности радиусом R,| отмечаем проекцию Л,.
- 3. Откладываем координату уА точки А на виде слева (на линии связи, с правой стороны от вертикальной оси) — получаем проекцию Л ,.
Все найденные проекции точки Л видимые.
- 4. Далее, аналогично, мысленно проводим через точку В окружность на поверхности сферы. Отмечаем проекции этой окружности па трех видах (на виде сверху и виде слева окружность проецируется в отрезок, на виде спереди — в окружность радиусом RB).
- 5. Па виде спереди отмечаем фронтальную проекцию точки В2 как пересечение вертикальной линии связи от В, и проекции окружности.
- 6. Откладываем координату уи точки В на виде слева (на линии связи, с левой стороны от вертикальной оси) — получаем проекцию В3.
- 7. Отмечаем проекции В, и В2 как невидимые (заключаем в скобки), так как они расположены в скрытой от глаз наблюдателя части сферы.
Лекция 7. Поверхности
7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже
Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.
Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.
Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).
Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l1,l2… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).
Подвижную линию принято называть образующей (li), неподвижные – направляющими (m). Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим .
Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.
Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность
По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые , образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.
Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на развертывающиеся , которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся .
Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).
Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность
Если группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:
- поверхности вращения;
- винтовые поверхности;
- поверхности с плоскостью параллелизма;
- поверхности параллельного переноса.
Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).
Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.
Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности .
Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом .
Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.
Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.
Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.
Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.
Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:
- Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n.
- Алгоритмическая часть: выбираем плоскость α; находим точки А, В, С, в которых α пересекает соответственно направляющие l, m, n. Строим восьмиугольник, определяемый тремя найденными точками. Переходим к следующей плоскости и повторяем построение
Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности
7.2. Поверхности вращения
Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).
Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.
Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.
Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения
Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).
Наименьшая параллель называется горлом , наибольшая – экватором .
Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом .
Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом .
7.3. Цилиндрическая поверхность
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).
Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.
Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра .
Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой .
Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным .
Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра и принадлежащей ему точки F.
Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).
Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций
Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.
При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π1 сплошной зелёной линией – на плоскости проекции π2 видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π3.
Пусть точка А на π2 видима (Рисунок 7.7). Тогда на π1 она будет видима, а на π3 невидима.
Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек
7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра
Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.
Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.
Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра
Упражнение
Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π1 и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).
Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.
Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:
- Заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость частного положения σ (горизонтально-проецирующую).
- Построить фигуру пересечения поверхности цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью: результат пересечения — четырехугольник (на π2 условно заштрихован).
- Найти точки «входа» и «выхода» прямой: на пересечении её фронтальной проекции с фронтальными проекциями сторон четырёхугольника (они же — проекции образующей цилиндра);
Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.
Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π2 будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.
7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра
Упражнение
Заданы : наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π1 и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).
Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение :
Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:
Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром
- Заключить прямую m во вспомогательную плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру – четырехугольник (σ параллельна оси цилиндра или образующим). Эту плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми m∩(1M);
- Построить горизонтальный след плоскости σ (прямую пересечения σ с плоскостью проекций π1) как проходящую через горизонтальные следы прямых m и (1M) (точки пересечения прямых с плоскостью проекций π1 (основания)) – (MN);
- Найти точки пересечения MN с окружностью основания цилиндра. Через эти точки провести образующие r, по которым плоскость σ пересекает боковую поверхность цилиндра:
На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.
7.6. Сферическая поверхность
Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.
Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.
Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).
Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.
Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.
Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности
Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой .
Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек
Упражнение
Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.
Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.
- Проанализируем их расположение на поверхности сферы. Точки 1, 2, 3 лежат на очерковых образующих сферы.
- Точка 1 принадлежит главному меридиану (очерковой окружности на π2), проекция которого на π1 совпадает с проекцией горизонтальной оси, на π3 – с проекцией вертикальной оси.
- Недостающие проекции точки 1 находим посредством линий проекционной связи. Все проекции точки 1 видимы.
- Рассмотрим положение точки 2. Точка 2 принадлежит экватору (очерковой окружности на π1), проекции которого на π2 и π3 совпадают с проекцией горизонтальной оси. Горизонтальная проекция точки 2 строится посредством линии проекционной связи, для построения профильной проекции необходимо измерить расстояние, отмеченное дугой, и отложить его по линии связи от точки О3 вправо. Профильная проекция точки 2 невидима.
- Точка 3 принадлежит очерковой окружности на π3, которая также является меридианом, проекции которого на π2 и π1 совпадают с проекцией вертикальной оси. Профильная проекция точки строится посредством линии проекционной связи. Для построения горизонтальной проекции точки 3 необходимо расстояние, отмеченное на π3 двумя засечками, отложить на π1 вверх от точки О1. Горизонтальная и профильная проекции точки 3 видимы.
- Для построения проекций точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость (зададим плоскость σ//π1 и σ⊥π2). Плоскость σ пересекает поверхность сферы по окружности радиусом r. На π1 строим данное сечение и по линии проекционной связи находим 41. Для построения профильной проекции необходимо расстояние, отмеченное засечкой, отложить по линии проекционной связи на π3 вправо от оси. Все проекции точки 4 видимы.
7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы
Упражнение
Заданы: сфера и прямая общего положения АВ.
Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).
Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:
- Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
- Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
- Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).
- Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π1 и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:
Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы
- Введём π3⊥π1 и π3//σ1. Построим проекцию окружности сечения на π3 и проекцию А3В3.
- Находим точки их пересечения 12 и 23.
- Определим видимость участков прямой.
- На π1 точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π2 они видимы.
7.8. Коническая поверхность
Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).
Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом .
Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса .
Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса .
Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым .
Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым .
Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности
Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).
1 способ . Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса, построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.
2 способ . Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π1 строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А1. По двум проекциям точки строим третью.
7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса
Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.
- Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
- Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.
Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое, (σ=SM∩m).
- Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
- Построим горизонтальные проекции этих объектов.
- Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.
Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса
- Построим её горизонтальную проекцию.
- Соединим точки M1N1, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
- Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
- На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
- Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.
На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.
7.10. Пересечение цилиндра плоскостью
Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).
- Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
- Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
- Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.
Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):
Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью
- Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
- Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π1 произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
- Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π3. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ1 и откладываем его по соответствующей линии связи на π3. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.
7.11. Пересечение сферы плоскостью
Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).
7.12. Пересечение конуса плоскостью
Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π2 (Рисунок 7.16).
- Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
- Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
- Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
- Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
- Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).
Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса
Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.
Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)
Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.
Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью
Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π2 (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.
- Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
- Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π2 и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π1. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π1 и π3 совпадают с линиями проекционной связи.
- На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π1 строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
- Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
- Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.
На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.
7.13. Задачи для самостоятельной работы
1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).
Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).
Рисунок 7.21
Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).
Рисунок 7.23
http://studme.org/237341/informatika/nahozhdenie_proektsiy_tochek_poverhnosti_sfery
Как найти проекцию точки на окружность?
Что означает «проекция точки на окружность по углу отрезка от точки к центру» и как это можно найти?
Ответы (1 шт):
Автор решения: Igor
что означает проекция точки на окружность
Проведите луч из центра окружности через данную точку. Пересечение луча с окружностью — это проекция точки на окружность.
отсортированы … по углу отрезка от точки к центру
Проекции N точек на окружность нужно упорядочить — как если бы Вы шли по окружности все время в одну сторону и встречали эти проекции одну за другой.
→ Ссылка
Нахождение проекций точек на поверхности конуса
Для нахождения недостающих проекций точек на поверхности конуса могут применяться следующие линии, принадлежащие поверхности конуса: окружность — параллель конуса (рис. 2.7, а), прямая — образующая конуса (рис. 2.7, б). Рассмотрим оба способа.
Пример 2.1. На поверхности конуса заданы проекции А2 и В, (см. рис. 2.7). Найдите недостающие проекции точек Ли В на поверхности конуса.
Рис. 2.7. Нахождение проекций точек на поверхности конуса
Способ 1. На рис. 2.7, а точка А задана проекцией А. Для нахождения недостающих проекций точки А воспользуемся вышеизложенным алгоритмом.
- 1. Через заданную проекцию точки Аг проводим линию, принадлежащую поверхности конуса — параллель.
- 2. Строим проекции параллели на других изображениях конуса. Па виде сверху она представляет собой окружность радиусом Rvна виде слева — отрезок.
- 3. На проекциях линии находим соответствующие проекции точек.
- 4. На пересечении окружности радиусом Л., с вертикальной линией связи, опущенной из А2, отмечаем проекцию Л,.
- 5. На виде сверху измеряем координату от проекции А, до горизонтальной оси и откладываем ее на проведенной линии связи на виде слева — получаем проекцию Л3.
- 6. Отмечаем проекцию А.л как невидимую. Проекция А., задана как видимая, следовательно, точка лежит в той части конической поверхности, которая обращена к наблюдателю (на виде сверху это часть, расположенная ниже горизонтальной оси). Таким образом, на виде слева ее проекция не видна.
Способ 2. Па рис. 2.7, 6 точка В задана проекцией В,. Построение недостающих проекций аналогично построению проекций точки А, за исключением того, что вместо окружности используется образующая конуса, пересекающая его основание в точке 1.
Коническая поверхность вращения
Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.
Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.
Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.
Построение проекций прямого кругового конуса
На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения 
, заданной высотой 
и основанием радиусом 
.
Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:
1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса с вершиной 
, совпадающей с осью вращения 
.
2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:
- Круг радиуса
является невидимой проекцией основания конуса. - Круг радиуса с вершиной конуса является видимой проекцией боковой поверхности конуса.
- Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса и которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.
и 
которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник 
заданной высоты , ограниченный:
4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:
- ‘Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.
- Выбрать положение базовой оси (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью вращения на профильной проекции конуса.
- Профильная проекция конуса представляет собой треугольник ограниченный:
ограниченный:слева и справа очерковыми образующими 
и 
построенными по координате 
:
вершиной 
, лежащей на базовой оси 
; горизонтальным отрезком проекцией основания;
профильными проекциями характерных образующих 
и 
, которые совпадают с осью вращения конуса 
.
. Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.
. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.
Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса
Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.
На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек 
и 
, заданных фронтальными проекциям 
и 
но их принадлежности круговым параллелям.
Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:
горизонтальные проекции точек 
и 
построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.
Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:
Графический алгоритм I:
1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели 
через заданную фронтальную проекцию точки : проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.
2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели 
полученным радиусом 
.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки 
на горизонтальной проекции параллели
Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции 
и 
точек 
и .
Построение профильных проекций заданных точек. Точки 
и 
построены по принадлежности характерным образующим:
точка лежит на видимой характерной образующей 
, совпадающей с осью конуса;
На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки 
по ее принадлежности образующей 
.
- Построение горизонтальной проекции точки по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:
1-е действие. Провести через вершину конуса 
и заданную невидимую фронтальную проекцию точки 
вспомогательную образующую 
2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей 
проходящей через вершину конуса 
и вспомогательную точку 
, лежащую на основании конуса.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки 
по ее принадлежности образующей .
- Построение профильной проекции невидимой точки выполняется по принадлежности образующей , построенной но координате .
выполняется по принадлежности образующей 
, построенной но координате 
.
На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:
1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом 
окружность вспомогательной параллели 
или вспомогательную образующую 
, на которых лежит горизонтальная проекция точки 
.
2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели 
или вспомогательной образующей 
:
параллель провести через вспомогательную точку 
на образующей 
параллельно основанию конуса;
образующую 
провести через вспомогательную точку 
на основании конуса и вершину конуса 
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки 
по ее принадлежности либо параллели 
, либо образующей .
Конические сечения
Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):
1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим 
(фронтально-проецирующая плоскость 
, рис. 4.73).
2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).
3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость 
параллельна одной образующей 
, рис.4.74).
4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость 
параллельна двум образующим — и 
, рис.4.75).
5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).
Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.
1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью , проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью , расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).
Плоскость 
пересекает поверхность конуса по образующим 
, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки 
лежащей на основании конуса.
Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.
Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.
3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной параллельно одной образующей конуса .
Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)
Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:
- проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате ).
).Оформление очерков проекций видно из чертежа.
4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью 
, расположенной параллельно двум образующим конуса 
и 
.
Плоскость 
пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза 
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости 
под углом 
к оси конуса. При 
плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.
5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью 
пересекающей все образующие конуса под углом 
к оси, отличным от прямого.
Плоскость 
пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате 
(алгоритм I).
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.
Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения
На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .
Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.
1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания 
и высоте 
фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью ;
2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:
1. Фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей конуса 
и пересекает его поверхность по участку параболы 
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 
плоскостей срезов и .
- Профильная плоскость параллельна двум образующим конуса и и пересекает его поверхность по участку гиперболы , которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов и и плоскости с основанием конуса (4-4).
и 
и пересекает его поверхность по участку гиперболы 
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов 
и плоскости 3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза 
определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы 
построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза определяет вертикальный видимый отрезок вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки которой лежат на очерковой окружности основания конуса.
определяет вертикальный видимый отрезок 
вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 
которой лежат на очерковой окружности основания конуса.. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).
4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:
- Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок .
- Внутренний контур определяет видимый участок параболы .
.5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза определяют видимые участки гиперболы , ограниченные видимым отрезком (построен) и видимым отрезком . точки которого построены но координате .
, ограниченные видимым отрезком 
(построен) и видимым отрезком 
. точки которого построены но координате 
.6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.
- Профильный очерк определяют:
- Внутренний контур определяют:
7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).
Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения
При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.
Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.
Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости
Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.
Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П2. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали fγ. Точки 1 и 2 пересечения fγ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.
Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h0α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.
Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса
Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали hδ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой hδ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.
Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.
Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.
Построение натуральной величины сечения методом совмещения
Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h0α. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.
Построение начинается с определения направления фронтального следа f1α. На прямой f0α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к h0α. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом XαE» определяет положение точки E’1. Через Xα и E’1 проводим f1α.
Строим проекцию горизонтали h’1δ ∥ h0α, как это показано на рисунке. Точки O’1 и 5′1, 6′1 лежат на пересечении h’1δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h0α из O’ и 5′, 6′. Аналогично на горизонтали h’1ε находим 7′1 и 8′1.
Строим проекции фронталей f’1γ ∥ f1α, f’3 ∥ f1α и f’4 ∥ f1α. Точки 1′1, 2′1, 3′1 и 4′1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h0α из 1′, 2′, 3′ и 4′ соответственно.