Как найти признак делимости на числа

Что такое делимость?

«Делимость» означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Пример:

(6:3 =2; )  (6) делится на (3), так как результат (2) — целое число, а остаток равен (0).

(7:3=2,333…) (7) не делится на (3), так как результат (2,333…) не является целым числом.

Признаки делимости чисел от  (1) до (10).

Признак делимости на (1)

Каждое целое число делится на (1)

Признак делимости на (2)

Последняя цифра должна быть четной — (0,2,4,6,8).

Пример : (3456) делится на (2) так как последняя цифра (6) — четное число.

(343423) не делится на (2), так как последняя цифра (3) нечетная.

Все четные числа делятся на (2).

Признак делимости на (3)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна (3). Это простой способ найти числа кратные  (3).

(3789) делится на (3), так как сумма (3+7+8+9=27) делится на (3).

(43266737) не делится на (3) – сумма цифр (4+3+2+6+6+7+3+7=38) не делится на (3).

Признак делимости на (4)

Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно (4).

Пример: (23746228) делится на (4) если (28) делится на (4).

(674235642) не делится на (4), так как (4) не кратно (42).

Признаки делимости на (5)

Последняя цифра должна быть (0) или (5).

Пример: (42340) делится на (5) так как   (0) — последняя цифра.

(672234) не делится на (5) так как (4) последняя цифра.

Признак делимости на (6)

Число должно быть кратным (2) и (3).

(7563894) делится на (6) —  последняя цифра (4)  делится на (2) и сумма цифр (7+5+6+3+8+9+4=42) делится на (3).

(567423) не делится на (6) —  последняя цифра (3), поэтому не делится на (2). Даже не нужно проверять на (3).

Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным (7).

1.  (343) делится на 7 так как (34-(2*3)=28),  (28) делится на (7).

2. (345343)   (3) — последняя цифра. Вычитаем (2*3) из (34534).

(34534-(2*3)=34528) число слишком большое.

(3452-(2*8)-3436) число слишком большое.

(343-(2*6)=331) повторяем снова

(33-(2*1)=31,31)не делится на (7).

(345343) не делится на (7).

Признак делимости на (8)

Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно (8).

Пример:(234568:8-568) делится на (8).

(4568742)не делится на (8) , так как  (8) не кратно (742)

Признак делимости на (9)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна (9).

(456786:9 -) если сумма ( 4+5+6+7+8+6=36) делится на (9).

(87956:9-)  сумма (8+7+9+5+6=25)не делится на 9.

Признак делимости на (10)

Последняя цифра должна быть (0).

Пример: (456780) делится на (10) — если последняя цифра равна (0).

(78521) не делится на (10) – последняя цифра (1).

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

• 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
• 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

• 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
• 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
• 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=3²/₃).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

• 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
• 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=2³/₄.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

• 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
• 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

• в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
• в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

• 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
• 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

• 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
• 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
• 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

• 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
• 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=4¹/₂.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

• 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
• 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

• 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
• 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=1¹/₃.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

• 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
• 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

• 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
• 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
• 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

                                     ПРОСТО О ПРИЗНАКАХ ДЕЛИМОСТИ
                               ——————————————————————————
                               —————————————————————
                      МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРОГУЛКА

Виктор Цекунов
  

  Есть
особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства
знакомо: каждый листочек, каждая травинка,  каждая песчинка, комочек
чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной
тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем
неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда.
Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух
наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в
лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.
  

  Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду
натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой
математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и
нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они
загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много
неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все
(!) двузначные простые числа.     

  
  Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.
  
  Тогда                                                 N = 10x + y.                       (1)

  Например, число N = 389. Зачеркнём последнюю цифру 9, получим число 38. Тогда x = 38,  y = 9 и 389 = 10·38 + 9.       

  Предположим (x + my) делится на P. Тогда  x + my = sP, отсюда x = sP — my. Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если    
                                                                  
                                                          1 — 10m = kP,                            (2)         

то N= 10sP+ykP = P(10s+yk) делится на P.
  Из (2) выразим m:

                         m  = (1-kP)/10.                    (3)

  Положим в корзинку формулы (1), (2) и (3). Они нам пригодятся в дальнейшем.
  Начало нашей прогулки очень удачное. Теперь можно сформулировать теорему.
 
  ТЕОРЕМА 1:
  Пусть (x + my) делится на P,   m  = (1-kP)/10,  N = 10x + y.  Тогда N делится на P.
  
  Доказательство:
  ➨
Если  (x + my) делится на P, то x + my = sP и  x = sP – my = sP – (1-kP)y/10. Тогда
  N = 10x+y = 10( sP– (1-kP)y/10 )+y = 10sP–(1–kP)y+y = 10sP+kPy = P(10s+ky) делится на P.   
  
◊

 
  Теорема 1 – очень важна! Положим её в корзинку и продолжим наш путь.
  Пусть число m удовлетворяет условию (3).
  Для ряда простых чисел P, зададим значения k и по (3) вычислим m. Вычисления занесём в таблицу 1:

Таблица 1.

 
  В пятом столбце таблицы 1 помещены близкие к нулю значения k и m. Внесём их в таблицу 2:


Таблица 2.

  Таблица2 нам ещё пригодится. Положим её в корзинку.
  На основе Теоремы 1 и Таблицы 2 запишем признаки делимости на все двузначные простые числа.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 11:

если (X-Y) делится на 11, то и N делится на 11.
Пример: N=264. X=26, Y=4, X-Y=26-4=22 — делится на 11, значит и 264 делится на 11. Действительно, 264:11=24.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 13:

если (X+4Y) делится на 13, то и N делится на 13.
Пример: N=273. X=27, Y=3, X+4Y=27+4·3=39 — делится на 13, значит и 273 делится на 13. Действительно, 273:13=21.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 17:

если (X-5Y) делится на 17, то и N делится на 17.
Пример: N=272. X=27, Y=2, X-5Y=27-5·2=17 — делится на 17, значит и 272 делится на 17. Действительно, 272:17=16.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 19:

если (X+2Y) делится на 19, то и N делится на 19.
Пример: N=304. X=30, Y=4, X+2Y=30+2·4=38 — делится на 19, значит и 304 делится на 19. Действительно, 304:19=16.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 23:

если (X+7Y) делится на 23, то и N делится на 23.
Пример: N=391. X=39, Y=1, X+7Y=39+7·1=46 — делится на 23, значит и 391 делится на 23. Действительно, 391:23=17.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 29:

если (X+3Y) делится на 29, то и N делится на 29.
Пример: N=406. X=40, Y=6, X+3Y=40+3·6=58 — делится на 29, значит и 406 делится на 29. Действительно, 406:29=14.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 31:

если (X-3Y) делится на 31, то и N делится на 31.
Пример: N=465. X=46, Y=5, X-3Y=46-3·5=31 — делится на 31, значит и 465 делится на 31. Действительно, 465:31=15.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 37:

если (X-11Y) делится на 37, то и N делится на 37.
Пример: N=481. X=48, Y=1, X-11Y=48-11·1=37 — делится на 37, значит и 481 делится на 37. Действительно, 481:37=13.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 41:

если (X-4Y) делится на 41, то и N делится на 41.
Пример: N=615. X=61, Y=5, X-4Y=61-4·5=41 — делится на 41, значит и 615 делится на 41. Действительно, 615:41=15.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 43:

если (X+13Y) делится на 43, то и N делится на 43.
Пример: N=215. X=21, Y=5, X+13Y=21+13·5=86 — делится на 43, значит и 215 делится на 43. Действительно, 215:43=5.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 47:

если (X-14Y) делится на 47, то и N делится на 47.
Пример: N=329. X=32, Y=9, X-14Y=32-14·9=-94 — делится на 47, значит и 329 делится на 47. Действительно, 329:47=7.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 53:

если (X+16Y) делится на 53, то и N делится на 53.
Пример: N=371. X=37, Y=1, X+16Y=37+16·1=53 — делится на 53, значит и 371 делится на 53. Действительно, 371:53=7.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 59:

если (X+6Y) делится на 59, то и N делится на 59.
Пример: N=177. X=17, Y=7, X+6Y=17+6·7=59 — делится на 59, значит и 177 делится на 59. Действительно, 177:59=3.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 61:

если (X-6Y) делится на 61, то и N делится на 61.
Пример: N=671. X=67, Y=1, X-6Y=67-6·1=61 — делится на 61, значит и 671 делится на 61. Действительно, 671:61=11.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 67:

если (X-20Y) делится на 67, то и N делится на 67.
Пример: N=871. X=87, Y=1, X-20Y=87-20·1=67 — делится на 67, значит и 871 делится на 67. Действительно, 871:67=13.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 71:

если (X-7Y) делится на 71, то и N делится на 71.
Пример: N=852. X=85, Y=2, X-7Y=85-7·2=71 — делится на 71, значит и 852 делится на 71. Действительно, 852:71=12.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 73:

если (X+22Y) делится на 73, то и N делится на 73.
Пример: N=511. X=51, Y=1, X+22Y=51+22·1=73 — делится на 73, значит и 511 делится на 73. Действительно, 511:73=7.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 79:

если (X+8Y) делится на 79, то и N делится на 79.
Пример: N=474. X=47, Y=4, X+8Y=47+8·4=79 — делится на 79, значит и 474 делится на 79. Действительно, 474:79=6.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 83:

если (X+25Y) делится на 83, то и N делится на 83.
Пример: N=332. X=33, Y=2, X+25Y=33+25·2=83 — делится на 83, значит и 332 делится на 83. Действительно, 332:83=4.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 89:

если (X+9Y) делится на 89, то и N делится на 89.
Пример: N=801. X=80, Y=1, X+9Y=80+9·1=89 — делится на 89, значит и 801 делится на 89. Действительно, 801:89=9.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ на 97:

если (X-29Y) делится на 97, то и N делится на 97.
Пример: N=1261. X=126, Y=1, X-29Y=126-29·1=97 — делится на 97, значит и 1261 делится на 97. Действительно, 1261:97=13.
  
  Положим наши находки (признаки делимости) в математическую корзинку.
Вроде
бы наша прогулка подошла к концу. Нет и ещё раз нет! Мы подошли к
самому интересному! Давайте присядем, передохнём и посмотрим на наши
творения.
  Внимательно взглянув на таблицу 2, замечаем: для простых чисел, оканчивающихся на единицу (P = 11, 31, 41, 61, 71), число k одно и то же (k = 1). Что это, случайность? Пока не ясно. Вновь глянем на таблицу 2. А если простые числа кончаются на 3 (P = 13, 23, 43, 53, 73, 83), то число k = -3. Если же простые числа кончаются на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97), то k = 3. Наконец, для простых чисел с девяткой в конце (P = 19, 29, 59, 79, 89), число k = -1.     
  Пожалуй, это закономерность. Разберёмся в этом подробнее. Продолжим нашу прогулку по математической тропинке.
 
  Для всех P, кончающихся на 1 (P = 11, 31, 41, 61, 71) имеем P = 10n + 1, где n – число десятков.
  Если k = 1, то из (3) имеем  m = (1-kP)/10 = ( 1-1(10n+1) )/10 = -n.                  
  
  И наоборот, если m = -n, то из (2)  k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) =  1 . Получаем теорему.
 
  ТЕОРЕМА 2   (для P = 11, 31, 41, 61, 71, …):
  Пусть
P – простое число с цифрой 1 на конце (т.е. P = 10n+1), n – число
десятков числа P,  N = 10x + y. Тогда если (x — ny) делится на P, то и N
делится на P.
  Доказательство:
  ➨
Если
 (x — ny) делится на P, то x — ny = sP и  x = sP + ny. Тогда N = 10x+y =
10( sP+ny)+y = 10sP+10ny+y = 10sP+y(10n+1) = 10sP+yP = P(10s+y) делится
на P.
  ◊  

   Для всех P, кончающихся на 3 (P = 13, 23, 43, 53, 73, 83) имеем P = 10n + 3, где n – число десятков.
  Если k = –3, то из (3) имеем  m = (1-kP)/10 = ( 1+3(10n + 3) )/10 =  3n +  1.
  И наоборот, если m = 3n+1, то из (2)  k = (1-10m)/P = ( 1-10(3n+1) )/(10n+3) =
= (-9-30n)/()10n+3) = -3(10n+1)/(10n+3) = –3.   Получаем теорему.

  ТЕОРЕМА 3   (для P = 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, …):
  Пусть
P – простое число с цифрой 3 на конце (т.е. P = 10n+3), n – число
десятков числа P,  N = 10x + y. Тогда если (x + (3n+1)y) делится на P,
то и N делится на P.
  Доказательство:
  ➨
Если
 (x + (3n+1)y) делится на P, то x + (3n+1)y = sP и  x = sP — (3n+1)y.
Тогда N = 10x+y = 10( sP- (3n+1)y)+y = 10sP-30ny-10y+y = 10sP-3y(10n+3) =
10sP-3yP = P(10s-3y) делится на P.
 
◊  

  Для всех P, кончающихся на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97) имеем P = 10n + 7, где n – число десятков.
  Если k = 3, то из (3) имеем  m = (1-kP)/10 = ( 1-3(10n+7) )/10 = (-20-30n)/10 = -(3n + 2).
  И наоборот, если m = -(3n+2), то из (2)  k = (1-10m)/P = ( 1+10(3n+2) )/(10n+7) =
= (30n+21)/(10n+7) = 3(10n+7)/(10n+7) = 3. Получаем теорему.
 
  ТЕОРЕМА 4   (для P = 7, 17, 37, 47, 67, 97, …):
  Пусть
P – простое число с цифрой 7 на конце (т.е. P = 10n+7), n – число
десятков числа P,  N = 10x + y. Тогда если (x — (3n+2)y) делится на P,
то и N делится на P.
  Доказательство:
  ➨
Если
 (x — (3n+2)y) делится на P, то x — (3n+2)y = sP и  x = sP + (3n+2)y.
Тогда N = 10x+y = = 10( sP+ (3n+2)y)+y = 10sP+30ny+20y+y = 10sP+3y(10n+7) =
10sP+3yP = P(10s+3y) делится на P.
 
◊  

  Для всех P, кончающихся на 9 (P = 19, 29, 59, 79, 89) имеем P = 10n + 9, где n – число десятков.
  Если k = -1, то из (3) имеем  m = (1-kP)/10 = (1+10n+9)/10 = (10n+10)/10 = n+1.
  И наоборот, если m = n+1, то из (2)  k = k = (1-10m)/P = ( 1-10(n+1) )/(10n+9) =

= (-10n-9)(10n+9)

= -1. Получаем теорему.
 
  ТЕОРЕМА 5   (для P = 19, 29, 59, 79, 89, …):
  Пусть
P – простое число с цифрой 9 на конце (т.е. P = 10n+9), n – число
десятков числа P,  N = 10x + y. Тогда если (x + (n+1)y) делится на P, то
и N делится на P.
  Доказательство:
  ➨
Если
 (x + (n+1)y) делится на P, то x + (n+1)y = sP и  x = sP — (n+1)y.
Тогда N = 10x+y = 10( sP- (n+1)y)+y = 10sP-10ny-10y+y = 10sP-y(10n+9) =
10sP-yP = P(10s-y) делится на P.  
   ◊
  
  Красота! Теоремы 2 – 5 –
настоящие бриллианты! Они позволяют получить признак делимости на любое
простое число (не только двузначное), кроме простого числа P = 2.
Бережно опустим эти  драгоценности в нашу математическую корзинку.

  Мы наполнили нашу корзинку. Теперь – несколько примеров.
  
  Пример 1 (признак делимости на 3):
  
  P = 3. Число десятков у числа 3 равно нулю (n = 0).  По теореме 3 если
x + (3n+1)y = x + (3·0+1)y = x + y делится на 3, то и само число
делится на 3. Пусть N = 297. Имеем x = 29, y = 7 и x + y =  29 + 7 = 36
делится на 3. Значит и 297 делится на 3. Действительно, 297:3 = 99.
  
  Пример 2 (признак делимости на 7):
  
  P = 7. Число десятков у числа 7 равно нулю (n = 0).  По теореме 4 если
x — (3n+2)y = x — (3·0+2)y = x — 2y делится на 7, то и само число
делится на 7. Пусть N = 301. Имеем x = 30, y = 1 и x — 2y =  30 — 2·1 =
28 делится на 7. Значит и 301 делится на 7. Действительно, 301:7 = 43.
  
  Пример 3 (признак делимости на 11):
  
  P = 11. Число десятков у числа 11 равно 1 (n = 1).  По теореме 2 если
x — ny = x — 1y = x — y делится на 11, то и само число делится на 11.
Этот признак делимости уже встречался на нашей математической тропинке.
  
  Пример 4 (признак делимости на 19):
  
  P = 19. Число десятков у числа 19 равно 1 (n = 1).  По теореме 5 если
x + (n+1)y = x + (1+1)y = x + 2y делится на 19, то и само число делится
на 19. Этот признак делимости уже встречался на нашей математической
тропинке.
  
  Пример 5 (признак делимости на 101):
  
  P = 101. Число десятков у числа 101 равно 10 (n = 10).  По теореме 2 если
x — ny = x — 10y делится на 101, то и само число делится на 101. Пусть N
= 2727. Имеем x = 272, y = 7 и x — 10y = 272 — 10·7 = 272 – 70 = 202
делится на 101. Значит и 2727 делится на 101. Действительно, 2727:101 =
27.
  
  Пример 6 (признак делимости на 103):
  
  P = 103. Число десятков у числа 103 равно 10 (n = 10).  По теореме 3
если x + (3n+1)y = x + (3·10+1)y = x + 31y делится на  103, то и само
число делится на 103. Пусть N = 1545. Имеем x = 154, y = 5 и x +31y =
154 + 31·5 = 154 + 155 = 309 делится на 103. Значит и 1545 делится на
103. Действительно, 1545:103 = 15.
  
  Пример 7 (признак делимости на 107):    
  
  P = 107. Число десятков у числа 107 равно 10 (n = 10).  По теореме 4
если x — (3n+2)y = x — (3·10+2)y = x — 32y делится на  107, то и само
число делится на 107. Пусть N = 315115. Имеем x = 31511, y = 5 и x -32y =
31511 — 32·5 = 31511 — 160 = 31351. Теперь N₁ = 31351. Имеем x₁ = 3135,
y₁ = 1 и x₁ -32y₁ = 3135 — 32·1 = 3135 — 32 = 3103. Теперь N₂ = 3103.
Имеем x₂ = 310, y₂ = 3 и x₂ -32y₂ = 310 — 32·3 = 310 — 96 = 214 делится
на 107. Значит и 315115 делится на 107. Действительно, 315115:107 =
2945.
  
  Стоп!
Наша прогулка затянулась. Пора и отдохнуть. Если же вы хотите
продолжить прогулку – тогда вперёд. Ведь простых чисел много-много…
бесконечно много!

Виктор Цекунов  
г. Минск,
Беларусь.
1 февраля 2011 г.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.

Для достижения цели были поставлены задачи:

1. Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.

2. Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.

3. Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.

Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Практическая значимость: материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Глава I. Определение и свойства делимости чисел

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.

Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. [3,53] Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). [9,23]Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка. [9,98]

Свойства делимости:

1. Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.

2. Нуль делится на любое b, не равное нулю.

3. Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.

4. Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.

3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.

4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой кореньчисла». Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Глава II. Признаки делимости натуральных чисел.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

• Делимость на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная. [3,69]

• Делимость на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3[3,70] (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)

• Делимость на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).

• Делимость на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

• Делимость на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнал другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

• Деление на 6. Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)

• Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. [3,70] (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.

• Деление на 4 и на 25. Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4[3,69] или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 11.Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11[12,268] (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13. [6,2]

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 30. Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 59. Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.

Признак делимости на 79. Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.

Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.

Признак делимости на 100. На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули. [3,70]

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение 1)

2.3 Признаки делимости на 7.

1) Возьмем для испы­тания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10³*5+10²*2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 3³*5 + З² *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*5³+3*5²+2*5+5=840, 840:7=120)

3) Этот признак ме­нее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый резуль­тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375. [4,2]

5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить. Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма де­лится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

2.4.Признак Паскаля.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623–1662), французский математик и физик. [2,50] Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате «О характере делимости чисел». Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос. Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:

abcdef = a • 10⁵ + b • 10⁴ + c • 10³ + d • 10² + e • 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:

. . . 10⁹ 10⁸ 10⁷ 10⁶ 10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10 1

-1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(остатки от деления на 7).

В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:

а) 4 5 9 1

-1 2 3 1

-4+10+27+1 = 38 – 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

б) 4 9 0 7

-1 2 3 1

-4+18+0+7 = 25 – 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)

Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и – 1. А при т =7 коэффициенты получились сложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедился, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 10²³ коэффициенты повторяются), 43 (с 10³⁹ коэффициенты повторяются).

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа— когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

Экспериментальная часть

Опрос

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

2. Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?

3. Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?

4. Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают – 9%, затруднились ответить – 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» — 17% респондентов и затруднились ответить – 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» — 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:

1. изучен теоретический материал по данному вопросу;

2. кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнал, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.;

3) изучен признак Паскаля — универсальный признак делимости на любое натуральное число;

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик паскаль Блез и опубликовал его в своем трактате «О характере делимости чисел». С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Список использованных источников

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.

2. Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Элиста.: Джангар, 1995. – 416 с.

4. Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. — М.: Оникс, 1995. — 496 с.

5. Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. — Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. – 176с.

6. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.

7. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. — 289с.

8. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. — 97с.

9. Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.

10. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.

11. Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.

12. http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

13. http://www.bymath.net (энциклопедия).

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

Просмотров работы: 10767