Как найти пределы функции калькулятор - Avtoru.top

Решение пределов

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x₀, сходящейся к точке x₀(lim x_n = x₀), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word
Также решают

Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:

1. Не знаю

2. Пределы вида (см. пример).

3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

4. Пределы простейших иррациональности вида

5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела ,

6. Нахождение пределов, используя свойства второго замечательного предела , ,

Для нахождения предела слева используйте знак -, справа: +. Например, 0-, 1+

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity

Некоторые виды записи пределов

Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.

см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.

Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. =

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем

.

4. .

5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:

.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:

; .

Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.

а) =

Ответ: 1/5

б)

Ответ: 1/6

в) = e^-2/2 = e^-1

Ответ: 1/e

г)

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).

Найдем корни первого многочлена: x²+2x-3=0

D=2²-4•1•(-3)=16

,

Найдем корни второго многочлена: x²-1=(x-1)(x+1)

Получаем:

Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	— twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{»}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	—
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

lim_{xto 3}(frac{5x^2-8x-13}{x^2-5})
lim_{xto 2}(frac{x^2-4}{x-2})
lim_{xto infty}(2x^4-x^2-8x)
lim _{xto :0}(frac{sin (x)}{x})
lim_{xto 0}(xln(x))
lim _{xto infty :}(frac{sin (x)}{x})
lim_{(x,y)to (3,3)}(frac{x-y}{sqrt{x}-sqrt{y}})
lim_{(x,y)to (0,0)}(frac{3x^{3}y}{x^{4}+y^{4}})
Показать больше

Описание

Поэтапное вычисление пределов

limit-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Advanced Math Solutions – Limits Calculator, Factoring

In a previous post, we talked about using substitution to find the limit of a function. Sometimes substitution…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Калькулятор лимита с шагами

онлайн калькулятор пределов поможет вам найти предел функции по отношению к переменной. Это онлайн-инструмент, который помогает вам вычислять значение функции, когда вход приближается к определенному значению.

Калькулятор пределов с шагами показывает пошаговое решение пределов вместе с графиком и расширением ряда. Он использует все предельные правила, такие как сумма, произведение, частное и правило Лопиталя, для расчета точного значения.

Вы можете оценить пределы относительно (text{x, y, z, v, u, t}) и (w) с помощью этого калькулятора пределов.

Это не то. С помощью этого инструмента вы также можете найти,

Правый предел (+)
Левый предел (-)
двусторонний предел

Как работает калькулятор лимитов?

Чтобы оценить предел с помощью этого решателя пределов, выполните следующие шаги.

Введите функцию в данное поле ввода.
Выберите соответствующую переменную.
Введите предельное значение.
Выберите сторону ограничения. т. е. левое, правое или двустороннее.
Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результат.
Используйте кнопку «Сброс», чтобы ввести новые значения, и значок клавиатуры , чтобы ввести дополнительные значения.

Вы найдете ответ под инструментом. Нажмите «Показать шаги», чтобы просмотреть пошаговое решение.

Что такое предел в исчислении?

Предел функции — это значение, к которому f(x) приближается по мере приближения x к некоторому числу. Пределы можно использовать для определения производных, интегралов и непрерывности, находя предел данной функции. Это написано как:

Если f — функция с действительным знаком, а a — действительное число, то приведенное выше выражение читается как

предел f x, когда x приближается к a, равен L.

Как найти предел? – со ступеньками

Пределы могут применяться в виде чисел, постоянных значений (π, G, k), бесконечности и т. д. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы узнать, как оценивать пределы.

Пример — правый предел

(lim _{xto :2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)})

Решение:

Правый предел – это предел функции по мере ее приближения с правой стороны.

Шаг 1: Примените ограничение x➜2 к приведенной выше функции. Поместите предельное значение вместо x.

(lim :_{xto 2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)})

(=frac{left(2^2+2right)}{left(2-1right)})

Шаг 2: Решите уравнение, чтобы получить результат.

(=frac{left(4+2right)}{left(2-1right)} =frac{6}{1} =6 )

Шаг 3: Запишите выражение с его ответом.

(lim :_{xto ::2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)}=6)

График

Пример — левосторонний предел

(lim _{xto 3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right))

Решение:

Левый предел означает предел функции по мере ее приближения с левой стороны.

Шаг 1: Поместите предельное значение в функцию.

(lim _{xto 3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right))

(=frac{left(3^2-3left(3right)+4right)}{left(5-3left(3right)right)})

Шаг 2: Решите уравнение дальше.

(=frac{left(9-9+4right)}{left(5-9right)})

(=frac{left(0+4right)}{left(-4right)} =frac{4}{-4} =-1 )

Шаг 3: Запишите функцию, как написано ниже.

(lim :_{xto :3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right)=-1)

График

Пример — двусторонний лимит

( lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right) )

Решение:

Двусторонний предел существует, если предел, идущий с обоих направлений (положительного и отрицательного), одинаков. Это то же самое, что лимит.

Шаг 1: Подставьте значение limit в функцию.

(lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right))

(=cos^3left(5right)cdot :sinleft(5right))

Шаг 2: Упростите уравнение, как мы это делали в предыдущих примерах.

( lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right) )

( =cos^3left(5right):sinleft(5right))

Шаг 3: Приведенное выше уравнение можно рассматривать как окончательный ответ. Однако, если вы хотите решить его дальше, решите тригонометрические значения в уравнении.

(=frac{1141}{50000}cdot :-frac{23973}{25000} =-frac{10941}{500000} )
(lim ::_{xto ::5}left(cos^3left(xright)cdot ::sinleft(xright)right))
(=-0.021882 )

График

Часто задаваемые вопросы

Есть ли у sin x предел?

Грех x не имеет предела. Это связано с тем, что по мере приближения x к бесконечности значение y колеблется между 1 и −1.

Каков предел e до бесконечности?

Предел e до бесконечности (∞) равен e.

Каков предел, когда e^x приближается к 0?

Предел, когда e^x приближается к 0, равен 1.

Каков предел, когда x приближается к бесконечности ln(x)?

Предел ln(x) при стремлении x к бесконечности равен +∞. Предел этого натурального логарифма может быть доказан доведением до абсурда.

Если x >1ln(x) > 0, предел должен быть положительным.
Поскольку ln(x2) − ln(x1) = ln(x2/x1). Если x2>x1, разность положительна, поэтому ln(x) всегда возрастает.
Если lim x→∞ ln(x) = M ∈ R, мы имеем ln(x) < M ⇒ x < eM, но x→∞, поэтому M не может находиться в R, и предел должен быть +∞.

Источник

Предел функции при ( x to x_0 )

Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )

Возьмем из (X) последовательность точек, отличных от (x_0) :
(x_1 ;, ; x_2 ;, ; x_3 ;, …, ; x_n ; , ; … tag{1} )
сходящуюся к (x^*).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
( f(x_1) ;, ; f(x_2) ;, ; f(x_3) ;, …, ; f(x_n) ; , ; … tag{2} )
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если для
любой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{xto x_0}{ f(x)} = A $$

Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left{ f(x_n) right} )
имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )
существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| < delta ),
выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon )

Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| < delta): |f(x)-A| < varepsilon )

Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| < delta ) можно записать в виде ( 0 < |x-x_0| < delta )

<>Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon — delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке ( varepsilon — delta )» — определением предела функции по Коши.

Предел функции при ( x to x_{0-} ) и при ( x to x_{0+} )

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любой сходящейся
к (x_0) последовательности (1), элементы (x_n) которой больше (меньше) (x_0), соответствующая
последовательность (2) сходится к (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{x to x_{0+}} f(x) = A ; left( lim_{x to x_{0-}} f(x) = A right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon — delta )»:

Определение число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого
( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех (x), удовлетворяющих неравенствам
( x_0 < x < x_0 + delta ; (x_0 -delta < x < x_0 ) ) , выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon ).

Символические записи:

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 < x < x_0 + delta ): |f(x)-A| < varepsilon )

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < varepsilon )

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема
Функция (f(x)) имеет в точке (x_0) предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при ( x to infty ), при ( x to -infty ) и при ( x to +infty )

Кроме рассмотренных понятий предела функции при ( x to x_0 ) и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to infty ), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to infty} f(x) = A $$

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to +infty ; (x to -infty) ) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы (x_n) которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to +infty} f(x) = A ; left( lim_{x to -infty} f(x) = A right) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции (f(x)) и (g(x)) имеют в точке (x_0) пределы (B) и (C). Тогда функции ( f(x) pm g(x) ; , ; f(x) cdot g(x) ) и
( frac{f(x)}{g(x)} ) (при ( C neq 0 ) ) имеют в точке (x_0) пределы, равные соответственно ( B pm C ; , ; B cdot C ), и ( frac{B}{C} ).

Теорема. Пусть функции ( f(x) ; , ; g(x) ) и ( h(x) ) определены в некоторой окрестности точки (x_0), за исключением, быть
может, самой точки (x_0), и функции ( f(x) ; , ; h(x) ) имеют в точке (x_0) предел, равный (A), т.е.
$$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} h(x) = A $$

Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leqslant g(x) leqslant h(x) ).
Тогда $$ lim_{x to x_0} g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} g(x) = 0 $$ или (infty ), (f(x)) и (g(x))
дифференцируемы в окрестности (x_0) , и ( g'(x) neq 0 ) в окрестности (x_0) ,
и существует $$ lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac{0}{0} ) и ( frac{infty}{infty} ).

Первый замечательный предел

$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$

Второй замечательный предел

$$ lim_{x to infty} left( 1+ frac{1}{x} right)^x = e $$

Источник

Что такое предел? Понятие предела

Все без исключения где-то в глубине души понимают, что такое предел, но как только слышат «предел функции» или «предел последовательности», то возникает легкая растерянность.

Не волнуйтесь, это всего лишь от незнаний! Через 3 минуты прочтения ниженаписанного, вы станете грамотнее.

Важно раз и навсегда понять, что имеют в виду, когда говорят о каких-то предельных положениях, значениях, ситуациях и вообще, когда по жизни прибегают к термину предела.

Взрослые люди это понимает интуитивно, а мы разберем на нескольких примерах.

Пример первый

Вспомним строки из песни группы «Чайф»: «… не доводи до предела, до предела не доводи …».

В данном случае по задумке автора предельная ситуацию в отношениях между людьми – это расставание.

Автор как бы предупреждает, что в результате последовательности конкретных действий мы придем к конкретному результату – расставанию.

Пример второй

Наверняка вы слышали фразу о предельно устойчивом положении предмета в пространстве.

Вы сами можете без труда смоделировать такую ситуацию с подручными вещами.

Например, слегка наклоните пластиковую бутылку и отпустите её. Она обратно встанет на днище.

Но есть такие предельные наклонные положения, за границами которых она просто упадет.

Опять же предельное положение в данном случае — это нечто конкретное. Важно это понимать.

Можно много приводить примеров использования термина предела: предел человеческих возможностей, предел прочности материала и так далее.

Ну а с беспределами так вообще каждый день сталкиваемся)))

Но сейчас нас интересуют предел последовательности и предел функции в математике.

Предел числовой последовательности в математике

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. На понятии предельного перехода базируются сотни и сотни теорем, определяющие современную науку.

Сразу конкретный пример для наглядности.

Допустим есть бесконечная последовательность чисел, каждое из которых в два раза меньше предыдущего, начиная с единицы: 1, ½, ¼, …

Так вот предел числовой последовательности (если он существует) – это какое-то конкретное значение.

В процессе деления пополам каждое последующее значение последовательности неограниченно приближается к определенному числу.

Несложно догадаться, что это будет ноль.

Важно!

Когда мы говорим о существовании предела (предельного значения), это не значит, что какой-то член последовательности будет равен этому предельному значению. Он может лишь только стремиться к нему.

Из нашего примера это более чем понятно. Сколько бы раз мы не делили единицу на два, мы никогда не получим ноль. Будет лишь число в два раза меньше предыдущего, но никак не ноль!

Предел функции в математике

В математическом анализе безусловно самое важное – это понятие предела функции.

Не углубляясь в теорию, скажем следующее: предельное значение функции не всегда может принадлежать области значений самой функции.

При изменении аргумента, функция будет стремиться к какому-то значению, но может его не принять никогда.

Например, гипербола 1/x не имеет значения ноль ни в какой точке, но она неограниченно стремится к нулю при стремлении x к бесконечности.

Калькулятор пределов

Нашей целью не является дать вам какие-то теоретические знания, для этого есть куча умных толстых книжек.

Но мы предлагаем вам воспользоваться онлайн калькулятором пределов, с помощью которого сможете сравнить ваше решение с правильным ответом.

Помимо всего, калькулятор выдает пошаговое решение пределов, применяя зачастую правило Лопиталя с использованием дифференцирования числителя и знаменателя непрерывной в точке или на некотором отрезке функции.

Источник