Как найти пределы без правила лопиталя

Пример 1:

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение от преподавателя:

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=-5, то -5 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — (-5)) . 
Найдем корни первого многочлена: 
x2 +0 x — 25 = 0 
D=02 — 4*1(-25)=100 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20frac%7b10%7d%7b2cdot%201%7d%20=%205
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20frac%7b-10%7d%7b2cdot%201%7d%20=%20-5
Найдем корни второго многочлена: 
2 x2 +9 x — 5 = 0 
D=92 — 4*2(-5)=121 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20frac%7b-9%2B11%7d%7b2cdot%202%7d%20=%7b1%20over%202%7d
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20frac%7b-9-11%7d%7b2cdot%202%7d%20=%20-5
Получаем: 

Пример 2:

Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение от преподавателя:

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%20-2%7d%7bfrac%7be%5e%7bx%2B3%7d-e%5e%7b1%7d%7d%7bx%2B2%7d%7d

Пример 6:

Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение от преподавателя:

Используем свойство первого замечательного предела: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%200%7d%7bfrac%7bsin(x)%7d%7bx%7d%7d%20=%201
-2sin(x) ≈ -2x 

Пример 10:

Вычислить предел функций не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение от преподавателя:

Используем свойство первого замечательного предела: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%200%7d%7bfrac%7bsin(x)%7d%7bx%7d%7d%20=%201
arcsin(2x) ≈ 2x 

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=1-cos(x)%20=%202sin%5e%7b2%7d(frac%7bx%7d%7b2%7d);%20sin(x)%20approx%20%20x

Пример 14:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=2, то 2 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — 2) . 
Найдем корни первого многочлена: 
x2 -8 x + 12 = 0 
D=(-8)2 — 4*1*12=16 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20frac%7b-(-8)%2B4%7d%7b2cdot%201%7d%20=%206
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20frac%7b-(-8)-4%7d%7b2cdot%201%7d%20=%202
Найдем корни второго многочлена: 
x2 -6 x + 8 = 0 
D=(-6)2 — 4*1*8=4 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20frac%7b-(-6)%2B2%7d%7b2cdot%201%7d%20=%204
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b2%7d%20=%20frac%7b-(-6)-2%7d%7b2cdot%201%7d%20=%202
Получаем: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%202%7d%7bfrac%7b(x-6)(x-2)%7d%7b(x-4)(x-2)%7d%7d%20=%20%20lim_%7bx%20to%202%7d%7bfrac%7bx-6%7d%7bx-4%7d%7d%20=%202

Пример 20:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Используем свойство первого замечательного предела: 


Ответ: 

Пример 31:

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 34:

Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7b4*x%5e%7b5%7d%2Bx%5e%7b3%7d%2B1%7d%7b2*x%5e%7b3%7d%2Bx%2B3%7d%7d =  = https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%20infty%20%7d%7bx%5e%7b2%7d*frac%7b4%7d%7b2%7d%7d = https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20infty

Пример 36:

Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

Решение от преподавателя:

Для выражения 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=-sqrt%7bx%5e%7b2%7d-x%2B1%7d%2Bsqrt%7bx%5e%7b2%7d%2Bx%2B1%7d
сопряженным является 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sqrt%7bx%5e%7b2%7d-x%2B1%7d%2Bsqrt%7bx%5e%7b2%7d%2Bx%2B1%7d
Умножим его на числитель и знаменатель. 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=lim_%7bx%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7bsqrt%7b1%2Bx%2Bx%5e%7b2%7d%7d-sqrt%7b1-x%2Bx%5e%7b2%7d%7d%7d%7bx%5e%7b2%7d-x%7d%7d = 
Учитывая, что (a-b)(a+b) = a2-b2, получаем: 

Вычисление пределов, без использования правила Лопиталя.

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.    

Решение.

 

Ответ: 0.

 

2. 

Решение.

 

Таким образом, .

Отсюда находим 

 

Ответ: 0.

3.         

Решение.

 

Ответ: 

4.       

Решение.

 

Ответ: 

 5. 

Решение.

Ответ: 

 

6. 

Решение.

 

Ответ: -5.

 

7. 

Решение.

 

Таким образом, .

Отсюда находим

 

Ответ: 1.

 

8.                

Решение.

 

Ответ: 36.

 

9.       

Решение.

 

Ответ: 0.

 

10. 

Решение.

 

Ответ: 

11. $limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3x^2+2x-1}{4x^3+3x^2+4}.$ 

Решение.

 $$limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3x^2+2x-1}{4x^3+3x^2+4}=left[frac{infty}{infty}right]=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{3x^2}{x^3}+frac{2x}{x^3}-frac{1}{x^3}}{frac{4x^3}{x^3}+frac{3x^2}{x^3}+frac{4}{x^3}}=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{3}{x}+frac{2}{x^2}-frac{1}{x^3}}{4+frac{3}{x}+frac{4}{x^3}}=frac{0}{4}=0.$$ 

 Ответ: 0.

12. $limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x+1}{3x-2}right)^{2x}.$ 

Решение.

$$limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x+1}{3x-2}right)^{2x}=limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x-2+3}{3x-2}right)^{2x}=limlimits_{xrightarrowinfty}left(1+frac{3}{3x-2}right)^{frac{3x-2}{3}cdotfrac{3}{3x-2}cdot 2x}=$$

$$=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3}{3x-2}cdot 2x}=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{6x}{3x-2}}=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{6}{3-frac{2}{x}}}=e^{frac{6}{3-0}}=e^2.$$ 

Ответ: $e^2$.

 

13. $limlimits_{xrightarrowinfty}frac{sqrt x-6x}{3x+1}.$ 

Решение.

$$limlimits_{xrightarrowinfty}frac{sqrt x-6x}{3x+1}=left[frac{infty}{infty}right]=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{sqrt x}{x}-frac{6x}{x}}{frac{3x}{x}+frac{1}{x}}=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{1}{sqrt x}-6}{3+frac{1}{x}}=frac{-6}{3}=-2.$$

Ответ: $-2.$

 

14.     

Решение.

  

Ответ: 3 

 

15. 

Решение. 

 

Таким образом,

.

Отсюда находим

Ответ: -2.

 

16. 

Решение.

Ответ: 3/20. 

 

17. $limlimits_{xrightarrow 1}frac{-x+1}{-x+sqrt{x}}.$

Решение.

Ответ: 2.

 

Решение пределов

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
  • Также решают

Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:

1. Не знаю

2. Пределы вида (см. пример).

3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

4. Пределы простейших иррациональности вида

5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела ,

6. Нахождение пределов, используя свойства второго замечательного предела , ,

Для нахождения предела слева используйте знак -, справа: +. Например, 0-, 1+

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак как infinity

Некоторые виды записи пределов

Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.

см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.

Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. =

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем

.

4. .

5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:

.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:

; .

Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.

а) =

Ответ: 1/5

б)

=

Ответ: 1/6

в) = e-2/2 = e-1

Ответ: 1/e

г)

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).

Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0

D=22-4•1•(-3)=16

,

Найдем корни второго многочлена: x2-1=(x-1)(x+1)

Получаем:



Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Найти пределы функций без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 22:20 

Не в сети
Начинающий


Зарегистрирован:
13 дек 2010, 22:14
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. Нужно найти пределы функций без правила Лопиталя:

1) [math]limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}[/math]

2) [math]limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}[/math]

3) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt{7}x}[/math]

4) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}[/math]

5) [math]limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}[/math]

6) [math]limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

pioner28

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 22:23 

ну первый я понял как, там просто разделить на старшую степень. а остальные пока не знаю…

IV тоже решил, там оказалось не так трудно… по формуле суммы синусов складываем, затем помоему по замечательному пределу (синус х )/х = 1 => остается предел косинуса… а это 1!

такс, III тоже решился.. путем умножения на сопряженное …

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:25 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

1) [math]limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}[/math]

[math]{limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}=limlimits_{xtoinfty}dfrac{2-dfrac{3}{x^3}+dfrac{5}{x^5}}{3+dfrac{4}{x^3}-dfrac{1}{x^4}}=dfrac{2-0+0}{3+0-0}=dfrac{2}{3}.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

За это сообщение пользователю Alexdemath «Спасибо» сказали:
nekitosh0

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:26 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

2) [math]limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}[/math]

[math]{limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}=limlimits_{xto3}dfrac{(x-3)(2x+1)}{(x-3)(x+2)}=limlimits_{xto3}dfrac{2x+1}{x+2}=dfrac{6+1}{3+2}=dfrac{7}{5}.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

За это сообщение пользователю Alexdemath «Спасибо» сказали:
nekitosh0

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:26 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

3) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt{7}x}[/math]

[math]{limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt7x}=limlimits_{xto0}dfrac{(sqrt{7-x}-sqrt{7+x})(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}{sqrt7x(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=}[/math]

[math]{=limlimits_{xto0}dfrac{7-x-(7+x)}{sqrt7x(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=limlimits_{xto0}dfrac{-2}{sqrt7(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=dfrac{-2}{sqrt7(sqrt7+sqrt7)}=-dfrac{1}{7}.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:27 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

4) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}[/math]

[math]{limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}=limlimits_{xto0}!left(dfrac{2}{3}dfrac{sin4x}{4x}+dfrac{1}{3}dfrac{sin2x}{2x}right)=}[/math]

[math]{=dfrac{2}{3}limlimits_{xto0}dfrac{sin4x}{4x}+dfrac{1}{3}limlimits_{xto0}dfrac{sin2x}{2x}=dfrac{2}{3}cdot1+dfrac{1}{3}cdot1=1.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:27 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

5) [math]limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}[/math]

[math]{limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}=limlimits_{xto0}dfrac{2}{ln(1+x)^{1/x}}=dfrac{2}{lnlimlimits_{xto0}(1+x)^{1/x}}=dfrac{2}{ln{e}}=dfrac{2}{1}=2.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:28 

pioner28 писал(а):

Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста.

6) [math]limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}[/math]

[math]{limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}=dfrac{1}{2}limlimits_{xto0}dfrac{3+dfrac{sin{x}}{x}sin{x}}{dfrac{sin2x}{2x}-dfrac{x^2}{2}}=dfrac{1}{2}dfrac{3+limlimits_{xto0}dfrac{sin{x}}{x}limlimits_{xto0}sin{x}}{limlimits_{xto0}dfrac{sin2x}{2x}-limlimits_{xto0}dfrac{x^2}{2}}=dfrac{1}{2}dfrac{3+1cdot0}{1-0}=dfrac{3}{2}.}[/math]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

pioner28

Заголовок сообщения: Re: Найти пределы функций без правила Лопиталя

СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 23:53 

Большое спасибо!
Вопрос еще один, а нельзя ли использовать эквивалентно малые в последнем 5м и 6м номерах? хотя у меня ответы те же получились..

Вложения:
DSC08008.JPG
DSC08008.JPG [ 128.56 Кб | Просмотров: 961 ]

Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

2. Следствием второго замечательного предела является предел $limlimits_{x to 0}frac {e^{x}-1}{x}$ (см. например, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1; гл.4 Понятие функции…, §7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций.) Именно им и следует воспользоваться.

________________________________________________________

Читабельней $ln x$, чем $ln x $ [при наведении на «формулу указателя мыши» в хинте отобразится код].

Вы нарушаете рекомендации начинающим: «Прежде всего, осуществите поиск по ключевым словам — возможно, Ваш или близкий к Вашему вопрос рассматривался ранее. Если Вы не нашли ответ на свой вопрос или подходящей темы, где бы рассматривались близкие вопросы

, Вы можете создать свою тему.» [Выделение курсивом GAA]

Добавлено спустя 46 минут 26 секунд:

1. Вычисление $limlimits_{x to +infty}frac{ln x}{x}$ без правила Лопиталя обсуждали участники ewert

и bot

.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как можно найти девушку для общения
  • Как найти фото старого здания
  • Отзывы что это за ошибка как исправить
  • Телефон asus zb452kg завис на заставке как исправить
  • Как найти репетитора удаленным

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии