Пример 1:
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=-5, то -5 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — (-5)) .
Найдем корни первого многочлена:
x2 +0 x — 25 = 0
D=02 — 4*1(-25)=100
Найдем корни второго многочлена:
2 x2 +9 x — 5 = 0
D=92 — 4*2(-5)=121
Получаем:
Пример 2:
Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение от преподавателя:
=е
Пример 6:
Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Используем свойство первого замечательного предела:
-2sin(x) ≈ -2x
Пример 10:
Вычислить предел функций не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Решение от преподавателя:
Используем свойство первого замечательного предела:
arcsin(2x) ≈ 2x
Пример 14:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 15:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 17:
Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 18:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 19:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=2, то 2 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x — 2) .
Найдем корни первого многочлена:
x2 -8 x + 12 = 0
D=(-8)2 — 4*1*12=16
Найдем корни второго многочлена:
x2 -6 x + 8 = 0
D=(-6)2 — 4*1*8=4
Получаем:
Пример 20:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 21:
Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 22:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 23:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 24:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 25:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 26:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 27:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Пример 28:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 29:
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 30:
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Используем свойство первого замечательного предела:
Ответ:
Пример 31:
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 32:
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 33:
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 34:
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение от преподавателя:
Пример 35:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
=
=
=
Пример 36:
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Решение от преподавателя:
Для выражения
сопряженным является
Умножим его на числитель и знаменатель. =
Учитывая, что (a-b)(a+b) = a2-b2, получаем:
Вычисление пределов, без использования правила Лопиталя.
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1.
Решение.
Ответ: 0.
2.
Решение.
Таким образом, .
Отсюда находим
Ответ: 0.
3.
Решение.
Ответ:
4.
Решение.
Ответ:
5.
Решение.
Ответ:
6.
Решение.
Ответ: -5.
7.
Решение.
Таким образом, .
Отсюда находим
Ответ: 1.
8.
Решение.
Ответ: 36.
9.
Решение.
Ответ: 0.
10.
Решение.
Ответ:
11. $limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3x^2+2x-1}{4x^3+3x^2+4}.$
Решение.
$$limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3x^2+2x-1}{4x^3+3x^2+4}=left[frac{infty}{infty}right]=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{3x^2}{x^3}+frac{2x}{x^3}-frac{1}{x^3}}{frac{4x^3}{x^3}+frac{3x^2}{x^3}+frac{4}{x^3}}=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{3}{x}+frac{2}{x^2}-frac{1}{x^3}}{4+frac{3}{x}+frac{4}{x^3}}=frac{0}{4}=0.$$
Ответ: 0.
12. $limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x+1}{3x-2}right)^{2x}.$
Решение.
$$limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x+1}{3x-2}right)^{2x}=limlimits_{xrightarrowinfty}left(frac{3x-2+3}{3x-2}right)^{2x}=limlimits_{xrightarrowinfty}left(1+frac{3}{3x-2}right)^{frac{3x-2}{3}cdotfrac{3}{3x-2}cdot 2x}=$$
$$=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{3}{3x-2}cdot 2x}=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{6x}{3x-2}}=e^{limlimits_{xrightarrowinfty}frac{6}{3-frac{2}{x}}}=e^{frac{6}{3-0}}=e^2.$$
Ответ: $e^2$.
13. $limlimits_{xrightarrowinfty}frac{sqrt x-6x}{3x+1}.$
Решение.
$$limlimits_{xrightarrowinfty}frac{sqrt x-6x}{3x+1}=left[frac{infty}{infty}right]=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{sqrt x}{x}-frac{6x}{x}}{frac{3x}{x}+frac{1}{x}}=limlimits_{xrightarrowinfty}frac{frac{1}{sqrt x}-6}{3+frac{1}{x}}=frac{-6}{3}=-2.$$
Ответ: $-2.$
14.
Решение.
Ответ: 3
15.
Решение.
Таким образом,
.
Отсюда находим
Ответ: -2.
16. .
Решение.
Ответ: 3/20.
17. $limlimits_{xrightarrow 1}frac{-x+1}{-x+sqrt{x}}.$
Решение.
Ответ: 2.
Решение пределов
Число A называется пределом функции y=f(x)
в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:
1. Не знаю
2. Пределы вида (см. пример).
3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
4. Пределы простейших иррациональности вида
5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела ,
6. Нахождение пределов, используя свойства второго замечательного предела ,
,
Для нахождения предела слева
используйте знак -, справа
: +. Например, 0-, 1+
Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Некоторые виды записи пределов
Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.
см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.
Примеры.
Вычислить указанные пределы:
1. =
.
2. =
3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.
4. .
5. =
=
6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.
7. . Обозначим
, причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.
8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)
9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
;
.
Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).
Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а) =
Ответ: 1/5
б)
=
Ответ: 1/6
в) =
e-2/2 = e-1
Ответ: 1/e
г)
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0
D=22-4•1•(-3)=16
,
Найдем корни второго многочлена: x2-1=(x-1)(x+1)
Получаем:
Ответ: 2
д)
Ответ: 1/10
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Заголовок сообщения: Найти пределы функций без правила Лопиталя
|
|||
|
Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. Нужно найти пределы функций без правила Лопиталя: 1) [math]limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}[/math] 2) [math]limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}[/math] 3) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt{7}x}[/math] 4) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}[/math] 5) [math]limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}[/math] 6) [math]limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}[/math]
|
||
Вернуться к началу |
|
||
pioner28 |
|
||
ну первый я понял как, там просто разделить на старшую степень. а остальные пока не знаю… IV тоже решил, там оказалось не так трудно… по формуле суммы синусов складываем, затем помоему по замечательному пределу (синус х )/х = 1 => остается предел косинуса… а это 1! такс, III тоже решился.. путем умножения на сопряженное …
|
|||
Вернуться к началу |
|
||
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 1) [math]limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}[/math] [math]{limlimits_{xtoinfty}dfrac{2x^5-3x^2+5}{3x^5+4x^2-x}=limlimits_{xtoinfty}dfrac{2-dfrac{3}{x^3}+dfrac{5}{x^5}}{3+dfrac{4}{x^3}-dfrac{1}{x^4}}=dfrac{2-0+0}{3+0-0}=dfrac{2}{3}.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
За это сообщение пользователю Alexdemath «Спасибо» сказали: nekitosh0 |
|
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 2) [math]limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}[/math] [math]{limlimits_{xto3}dfrac{2x^2-5x-3}{x^2-x-6}=limlimits_{xto3}dfrac{(x-3)(2x+1)}{(x-3)(x+2)}=limlimits_{xto3}dfrac{2x+1}{x+2}=dfrac{6+1}{3+2}=dfrac{7}{5}.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
За это сообщение пользователю Alexdemath «Спасибо» сказали: nekitosh0 |
|
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 3) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt{7}x}[/math] [math]{limlimits_{xto0}dfrac{sqrt{7-x}-sqrt{7+x}}{sqrt7x}=limlimits_{xto0}dfrac{(sqrt{7-x}-sqrt{7+x})(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}{sqrt7x(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=}[/math] [math]{=limlimits_{xto0}dfrac{7-x-(7+x)}{sqrt7x(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=limlimits_{xto0}dfrac{-2}{sqrt7(sqrt{7-x}+sqrt{7+x})}=dfrac{-2}{sqrt7(sqrt7+sqrt7)}=-dfrac{1}{7}.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 4) [math]limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}[/math] [math]{limlimits_{xto0}dfrac{sin4x+sin2x}{6x}=limlimits_{xto0}!left(dfrac{2}{3}dfrac{sin4x}{4x}+dfrac{1}{3}dfrac{sin2x}{2x}right)=}[/math] [math]{=dfrac{2}{3}limlimits_{xto0}dfrac{sin4x}{4x}+dfrac{1}{3}limlimits_{xto0}dfrac{sin2x}{2x}=dfrac{2}{3}cdot1+dfrac{1}{3}cdot1=1.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 5) [math]limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}[/math] [math]{limlimits_{xto0}dfrac{2x}{ln(1+x)}=limlimits_{xto0}dfrac{2}{ln(1+x)^{1/x}}=dfrac{2}{lnlimlimits_{xto0}(1+x)^{1/x}}=dfrac{2}{ln{e}}=dfrac{2}{1}=2.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
Alexdemath |
Заголовок сообщения: Re: Как найти предел функции без правила Лопиталя
|
pioner28 писал(а): Попрошу помощи, может будут идеи, не считаю себя дураком, просто уже все это по забывал… взгляните пожалуйста. 6) [math]limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}[/math] [math]{limlimits_{xto0}dfrac{3x+sin^2x}{sin2x-x^3}=dfrac{1}{2}limlimits_{xto0}dfrac{3+dfrac{sin{x}}{x}sin{x}}{dfrac{sin2x}{2x}-dfrac{x^2}{2}}=dfrac{1}{2}dfrac{3+limlimits_{xto0}dfrac{sin{x}}{x}limlimits_{xto0}sin{x}}{limlimits_{xto0}dfrac{sin2x}{2x}-limlimits_{xto0}dfrac{x^2}{2}}=dfrac{1}{2}dfrac{3+1cdot0}{1-0}=dfrac{3}{2}.}[/math]
|
|
Вернуться к началу |
|
pioner28 |
Заголовок сообщения: Re: Найти пределы функций без правила Лопиталя
|
||
Большое спасибо!
|
|||
Вернуться к началу |
|
||
2. Следствием второго замечательного предела является предел (см. например, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1; гл.4 Понятие функции…, §7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций.) Именно им и следует воспользоваться.
________________________________________________________
Читабельней , чем
[при наведении на «формулу указателя мыши» в хинте отобразится код].
Вы нарушаете рекомендации начинающим: «Прежде всего, осуществите поиск по ключевым словам — возможно, Ваш или близкий к Вашему вопрос рассматривался ранее. Если Вы не нашли ответ на свой вопрос или подходящей темы, где бы рассматривались близкие вопросы
, Вы можете создать свою тему.» [Выделение курсивом GAA]
Добавлено спустя 46 минут 26 секунд:
1. Вычисление без правила Лопиталя обсуждали участники ewert
и bot
.