Как найти предел геометрической прогрессии

Пределы числовых последовательностей

Содержание

Предел последовательности свойства пределов раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вычисление пределов числовых последовательностей

Предел числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,

записывают с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение

и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

ana   при предел числовой последовательности определение.

Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

найдется такое число   a ,   что   ana   при предел числовой последовательности определение, то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

a1 ,  a2 , … an , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a1 ,  a2 , … an , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение

или с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение при предел числовой последовательности определение.

ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

предел числовой последовательности

ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

предел числовой последовательности

ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

предел числовой последовательности

ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

предел числовой последовательности

ПРИМЕР 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

an = (– 1)n ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b b, … bn , … .

Если при свойства пределов числовых последовательностей существуют такие числа   a   и   b ,  что

свойства пределов числовых последовательностей   и   свойства пределов числовых последовательностей,

то при свойства пределов числовых последовательностей существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

свойства пределов числовых последовательностей

то при свойства пределов числовых последовательностей существует предел дроби

свойства пределов числовых последовательностей

причем

Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b1 ,  b2 , … bn , … ,

знаменатель которой равен   q .

Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b1 + b2 + … + bn + … ,

то будет справедлива формула

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Итак,

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов.

Часто неопределенность типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределовудается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

ОТВЕТ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ОТВЕТ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типапредел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ОТВЕТ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к предел числовой последовательности предел функции раскрытие неопределенностей первый замечательный предел. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n2:

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ОТВЕТ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов ,

получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

ОТВЕТ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

Рассмотрим последовательность

второй замечательный предел число e (1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

Таким образом, справедливо равенство

второй замечательный предел число e (2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e x,

которую называют «экспонента».

Число   e   также является пределом последовательности

второй замечательный предел число e

второй замечательный предел число e

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа второй замечательный предел число e, называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Сходящиеся последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

  1. Предел последовательности
  2. Свойства сходящихся последовательностей
  3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
  4. Примеры

п.1. Предел последовательности

Рассмотрим последовательность с $a_n$ = $frac{3n + 1}{n + 1}$ Выделим целую часть у дроби: $$ mathrm{ a_n=frac{(3n+3)-2}{n+1}=frac{3(n+1)}{n+1}-frac{2}{n+1}=3-frac{2}{n+1} } $$ Заполним таблицу:

$$ mathrm{ a_n } $$

$$ mathrm{ 3-frac{2}{2}=2 } $$

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{11}=}\ mathrm{=2frac{9}{11} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{101}=}\ mathrm{=2frac{99}{101} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{1001}=}\ mathrm{=2frac{999}{1001} } end{gather*}

begin{gather*} mathrm{ 3-frac{2}{10001}=}\ mathrm{=2frac{9999}{10001} } end{gather*}

Чем больше n, тем ближе an к 3.
Этот факт записывают следующим образом: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=lim_{{n}rightarrowinfty}frac{3n+1}{n+1}=3 } $$ и говорят, что число 3 является пределом последовательности {an}.

Число (mathrm{binmathbb{R}}) называют пределом последовательности {an}, если последовательность {an – b} является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого, меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=bLeftrightarrow forallvarepsilon gt 0 exists N_{varepsilon}inmathbb{N}: ngeq NRightarrow |a_n-b|lt varepsilon } $$

Раскроем модуль из определения: $$ mathrm{ |a_n-b|lt varepsilon Rightarrow -varepsilon lt a_n-bltvarepsilon Rightarrow b-varepsilonlt a_nlt b-varepsilon } $$ Т.е., начиная с некоторого индекса n, все члены последовательности an (бесконечное множество) попадают в интервал (b – ε; b + ε) – этот промежуток называют ε–окрестностью точки b. Вне этого промежутка находится только первые {a1, a2, …, aN} членов последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=0}) последовательность называется бесконечно малой.

Например:
1. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=frac{4n}{n+2}=frac{4(n+2)-8}{n+2}=4-frac{8}{n+2}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=4}), значит, является сходящейся.
2. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=4n+2}) при (mathrm{ nrightarrow infty}) также стремится к бесконечности. Предела нет, последовательность расходящаяся.
3. Последовательность {an} c (mathrm{ a_n=frac{1}{n}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{n}=0}), т.е. является бесконечно малой.

п.2. Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность имеет предел, то он – единственный.
Свойство 2. Если последовательность имеет предел, то она – ограничена.
Свойство 3. Если все члены последовательности равны a_n=b, то её предел равен b.
Свойство 4. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_n+b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_n+lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 5. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_ncdot b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_ncdot lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 6. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}left(frac{a_n}{b_n}right)=frac{lim_{{n}rightarrowinfty}a_n}{lim_{{n}rightarrowinfty}b_n} } $$

п.3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию с (mathrm{b_1=1, q=frac12}).
Сумма её первых n членов (см.§27 данного справочника) равна: $$ mathrm{ S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q}=1cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=2left(1-frac{1}{2^n}right)=2-frac{1}{2^{n-1}} } $$ Чем больше будет n, тем меньше будет второе слагаемое (mathrm{frac{1}{2^n-1}}). В пределе (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{2^{n-1}}=0, lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=2}). Удивительно, но мы нашли сумму бесконечного количества слагаемых; и эта сумма конечна.
Обобщим результат для любого |q| < 1: $$ mathrm{ S=lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=lim_{{n}rightarrowinfty}left(b_1frac{1-q^n}{1-q}right)=frac{b_1}{1-q}cdot lim_{{n}rightarrowinfty}left(1-underbrace{q^n}_{rightarrow 0}right)=frac{b_1}{1-q} } $$

Бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем |q| < 1 называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии конечна и равна: $$ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q} } $$

Например:
Представим периодическую десятичную дробь 0,(16) в виде обыкновенной.
Данную дробь можно записать в виде суммы

0,16161616… = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 + …=
= 0,16 + 0,16 · 0,01 + 16 · 0,012+…

Это – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b1 = 0,16, q = 0,01, она равна: (mathrm{S=frac{0,16}{1-0,01}=frac{0,16}{0,99}=frac{16}{99}}), т.е.
(mathrm{0,(16)=frac{16}{99}})

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите число в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(3) begin{gather*} mathrm{ 2,(3)=2+(0,3+0,03+0,003+…)=2+(0,3+0,3cdot 0,1+0,3cdot 0,1^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,3, q=0,1 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,3}{1-0,1}=frac{0,3}{0,9}=frac13, 2,(3)=2+frac13=2frac13 } end{gather*}

б) 5,(17) begin{gather*} mathrm{ 5,(17)=5+(0,17+0,0017+0,000017+…)= }\ mathrm{ =5+(0,17+0,17cdot 0,01+0,17cdot 0,01^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,17, q=0,01 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,17}{1-0,01}=frac{0,17}{0,99}=frac{17}{99}, 5,(17)=5+frac{17}{99}=5frac{17}{99} } end{gather*}

Пример 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a) (mathrm{1, frac{1}{sqrt{2}}, frac12,…})
(mathrm{b_1=1, q=frac{1}{sqrt{2}}}) begin{gather*}mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{frac{1}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{2}-1}=frac{sqrt{2}(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{2+sqrt{2}}{2-1}=2+sqrt{2} } end{gather*}

б) 1,   π – 3,   (π – 3)2, …
b1 = 1,   q = π – 3 begin{gather*} mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1-(pi-3)}=frac{1}{4-pi} } end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение begin{gather*} mathrm{ 1+2x+x^2-x^3+x^4-x^5+…=frac{13}{6}, text{если} |x|lt 1 } end{gather*} Выделим геометрическую прогрессию: begin{gather*} mathrm{ 3x+(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+…)=frac{13}{6} }\ mathrm{ b_1=1, q=-x, S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1+x} } end{gather*} Получаем: begin{gather*} mathrm{ 3x+frac{1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow frac{3x(1+x)+1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow 6(3x^2+3x+1)=13(1+x)Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 18x^2+5x-7=0 }\ mathrm{ D=5^2-4cdot 18cdot (-7)=25+504=529=23^2, x=frac{-5pm 23}{36}= left[ begin{array}{ l } mathrm{x_1=-frac79} & \ mathrm{x_2=frac12} & end{array}right. } end{gather*} Оба ответа удовлетворяют ограничению |x| < 1.
Ответ: (mathrm{x_1=-frac79; x_2=frac12})

Пример 4. В квадрат со стороной a вписан второй квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первого квадрата. А во второй квадрат точно так же вписан третий квадрат, и т.д. Найдите 1) сумму периметров всех квадратов; 2) сумму площадей всех квадратов.
Пример 4
Сторона первого квадрата b1 = a. Сторона второго квадрата равна половине диагонали первого квадрата (mathrm{b_2=frac{1sqrt{2}}{2}=frac{a}{sqrt{2}}}). Сторона третьего квадрата равна половине стороны первого квадрата (mathrm{b_3=frac{a}{2}}), и т.д.
Получаем геометрическую прогрессию со знаменателем (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
Периметры квадратов линейно зависят от длин сторон: $$ mathrm{ p_1=4a, p_2=4cdotfrac{a}{sqrt{2}}=2sqrt{2}a, p_3=4cdotfrac{a}{2}=2a,… } $$ Для геометрической прогрессии периметров знаменатель будет тем же: (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
$$ mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=frac{4a}{1-frac{1}{sqrt{2}}}=frac{4sqrt{2}a}{sqrt{2}-1}=frac{4sqrt{2}a(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{4a(2+sqrt{2})}{2-1}=4a(2+sqrt{2}) } $$ Площади квадратов имеют квадратичную зависимость от длин сторон: $$ mathrm{ s_1=a^2, s_2=left(frac{a}{sqrt{2}}right)^2=frac{a^2}{2}, s_3=left(frac{a}{2}right)^2=frac{a^2}{4},… } $$ Для геометрической прогрессии площадей знаменатель будет равен квадрату знаменателя для прогрессии сторон: (mathrm{q_s=q^2=left(frac{1}{sqrt{2}}right)^2=frac12}).
Сумма всех площадей: begin{gather*} mathrm{ S_s=frac{s_1}{1-q_s}=frac{a^2}{1-frac12}=2a^2} end{gather*} Интересно, что сумма площадей всех(!) квадратов внутри самого большого равна площади этого самого большого квадрата.
Ответ: (mathrm{S_p=4a(2+sqrt{2}), S_s=2a^2})

Пример 5*. В окружность радиуса r вписан правильный треугольник, в треугольник вписана другая окружность, в которую снова вписан правильный треугольник, и т.д. Найдите сумму периметров всех треугольников и сумму длин всех окружностей.
Пример 5*
Сторона правильного треугольника, вписанного в первую окружность: (mathrm{a_1=2rcdot sin 60^{circ}=sqrt{3}r}).
Радиус второй окружности, вписанной в первый треугольник: (mathrm{r_2=frac{a_1}{2}tg30^{circ}=frac{a_1}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}r}{2sqrt{3}}=frac{r}{2}})
Сторона правильного треугольника, вписанного во вторую окружность: (mathrm{a_2=sqrt{3}r_2=frac{sqrt{3}r}{2}}).
Радиус третьей окружности, вписанной во второй треугольник: (mathrm{r_3=frac{r_2}{2}=frac{r}{4}}).
Получаем геометрическую прогрессию для сторон треугольников: $$ mathrm{ a_1=sqrt{3}r, a_2=frac{sqrt{3}r}{2}, a_3=frac{sqrt{3}r}{4}=,…, q=frac12 } $$ и геометрическую прогрессию для радиусов окружностей: $$ mathrm{ r_1=r, r_2=frac{r}{2}, r_3=frac{r}{4},…, q=frac12 } $$ Геометрическая прогрессия для периметров треугольников: $$ mathrm{ p_1=3a_1=3sqrt{3}r, p_2=frac{3sqrt{3}r}{2}, p_3=frac{3sqrt{3}r}{4},…, q=frac12 } $$ Сумма всех периметров: begin{gather*} mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=2p_1=6sqrt{3}r} end{gather*} Геометрическая прогрессия для длин всех окружностей: $$ mathrm{ L_1=2pi r_2=2pi r, L_2=pi r, L_3=frac{pi r}{2},…, frac12 } $$ Сумма всех длин окружностей: $$ mathrm{ S_L=frac{L_1}{1-q}=2L_1=4pi r } $$ Ответ: (mathrm{S_p=6sqrt{3}r, S_L=4pi r})

1. Предел числовой последовательности

Числовой
последовательностью

называют правило, по которому каждому
натуральному числу
ставится
в соответствие действительное
(комплексное) число.
Последовательность обозначают символом().
Можно сказать, что последовательность
является функцией().Числовую
последовательность задают формулойn-го
члена:
.
Например, еслито,

,
… и т.д.

Числовую
последовательность также можно задать
рекуррентным соотношением:
,.
Тогда
,,
и т.д.

Пример

Арифметическая
прогрессия ‑ числовая
последовательность, в которой каждый
член, начиная со второго, отличается от
предыдущего на одно и то же число
,
называемое разностью прогрессии:.
Любая арифметическая прогрессия имеет
вид
Общий член
арифметической прогрессии определяется
так:
.

Арифметическая
прогрессия применяется при выполнении
финансово-коммерческих расчетов, когда
при начислении дивидендов, прибыли и
т.д. используются простые проценты .

Пример

Первого марта 2008
г. некто положил в банк сумму в 500 тыс.
рублей из расчета 60 процентов годовых.
Известно, что сумма вклада растет линейно
(простые проценты). Какова сумма вклада
на 1 июля того же года?

►Для ответа на
поставленный вопрос обозначим через

сумму вклада
в начальный момент (в данном случае 1-го
марта), через год и на момент времени

соответственно.
Тогда из условия задачи получаем
,
где— учетная ставка (в данном случаеa = 0,6).
Из полученного уравнения следует, что

.
Значение суммы вклада на момент времени
можно получить
из уравнения прямой, проходящей через
две точки
и:

,

откуда следует
,
где.
Поскольку в данном примере=,
то значение суммы вклада на 1 июля
составит 500(1+0,61/3)
= 5001,2
= 600 (тыс.руб.). ◄

Пример

Геометрическая
прогрессия ‑ числовая
последовательность, в которой каждый
член, начиная со второго, отличается от
предыдущего на один и тот же множитель
,
называемый знаменателем прогрессии.
Любая геометрическая прогрессия имеет
вид
Общий член
геометрической прогрессии определяется
по формуле
.

Геометрическая
прогрессия применяется при выполнении
финансово-коммерческих расчетов, когда
при начислении дивидендов, прибыли и
т. д. используются сложные проценты.

Пример

Банк ежемесячно
производит перерасчет суммы вклада,
начисляя дополнительную сумму,
пропорциональную значению текущего
счета. Через сколько месяцев первоначальная
сумма вклада удвоится?

►Обозначим через

исумму вклада
в начальный момент и через
месяцев соответственно. Тогда
по
условию
задачи
имеем:

,

,

,

где
‑ заданная учетная ставка (100%,
если учетная ставка измеряется в
процентах).
Таким образом,
последовательные значения суммы вклада
на конец
го
месяца
образуют
геометрическую прогрессию, общий член
которой имеет следующий вид:

.

Из полученного
соотношения следует, что если
,
то для нахождения соответствующего
значения
нужно решить
уравнение
.
Логарифмируя это уравнение по основаниюе, получим
,
откуда
следует
.
Если, например, ежемесячно начисляется
5%, то=0.05,
и для
получаем=14.2.
Итак, через 15 месяцев сумма вклада
увеличится более чем вдвое (через 14
месяцев она увеличится в 1.0514=1.98
раз, а через 15 месяцев ‑ в 2.08 раз по
сравнению с первоначальной).◄

Очевидным образом
определяются сумма,
произведение, частное двух
последовательностей.

Мы будем иметь дело лишь с последовательностями
действительных чисел.

Число
называетсяпределом
последовательности

если для любогонайдётся номертакой, что для любоговыполняется неравенство.
При этом пишутилии говорят, что последовательностьсходится к числу.

Геометрически это
означает, что для любой O
(,)
найдётся такой номер,
что всеприn
>
будут принадлежать этой–окрестности.
(> 0
(n
>


O
(,))).
Если=C
= const,
то
=C,
т.к.
= 0 <для любыхn.

Чтобы найти предел
последовательности, используя только
его определение, следует поступить так:

  1. предположить, что
    предел равен
    ;

  2. решить неравенство
    <относительноn
    для любого
    > 0;

  3. если решение
    неравенства имеет вид n
    >
    ,
    то предположение, что предел равен,
    верно и предел найден.

ТЕОРЕМА 1.
Если последовательность имеет предел,
то он единственный.

Свойства предела.

Если
,,
то:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
при ().

Последовательность
называетсябесконечно
малой
, если
.

Последовательность
называетсябесконечно
большой
,
если для любого
найдётся
номерn0
такой, что для любого

справедливо неравенство
;
записывается это так:.
Если при этом,
начиная с некоторого номера, сохраняют
положительный (отрицательный) знак, то
пишут()
. Если последовательность имеет конечный
предел, то она называется сходящейся.
В противном случае – расходящейся.
Последовательность
называетсянеубывающей,
если

для любогоn.
Если

,
– то этоневозрастающая
последовательность. Невозрастающая и
неубывающая последовательности
называются монотонными.
Если неравенства строгие (<,>),
то последовательности называются
строго монотонными.

ТЕОРЕМА 2.
Монотонная ограниченная последовательность
сходится.

Важную роль играет
последовательность
Доказывается, что эта последовательность
сходится, и ее предел обозначается
буквой е; е2,718.

Типовой пример

Доказать, пользуясь
определением предела последовательности,
что
.

►Имеем:

.
Решив неравенство
,
получими ясно, что достаточно выбрать,
чтобы длянеравенствовыполнялось для всех.
Что и требовалось.

Типовой пример

Дана последовательность
. Найдите:
1);
2)такое, что для всехвыполняется неравенство.

1)
►Имеем

.

2)
►Найдём требуемое
.
Из проделанных выше выкладок следует,
чтодолжно быть подобрано так, чтобы для
всех

или
;
отсюда следует
,
.
Следовательно, можно взять.

Предел отношения
многочленов

Пусть xn
и yn
многочлены от n
степени k
и m
соответственно, т.е.

xn=Pk(n)=a0
nk+a1nk-1+…+ak,
yn=Qm(n)=b0nm+b1nm-1+…+bm

Докажем, что предел
отношения многочленов равен пределу
отношения их старших членов, т.е.

.

Имеем:
,
что и требовалось.

Итак,

Типовые
п
римеры

Найти пределы:

1)

►Раскроем скобки,
приведем подобные и воспользуемся
приемом из предыдущего примера

2)
.
.◄

3).
.

4)
.
.◄

Следует отметить,
что полученные формулы справедливы не
только для многочленов целой степени,
но и для многочленов дробной степени,
так как
для любогоa>0.

При вычислении
пределов, в которых присутствуют суммы
арифметической или геометрической
прогрессии, используются формулы
для суммы арифметической прогрессии идля суммы геометрической прогрессии.

Типовые примеры

1)
.►

2)
.►

=[используем формулу
суммы геометрической прогрессии]= =

3)


►В
данном выражении участвует функция n!
(читается nфакториал),
которая определяется равенством
Имеем

,

4)
.
►В числителе три слагаемых соответственно
степени:Следовательно, степень числителя равна,
а главный член в числителе равен.
Аналогично, главный член в знаменателеИмеем:.◄

5)
.
.◄

6)
.
т.к.

7)

.
.

Как видите, идея
о главном старшем члене здесь также
дает быстрое решение.

Обычно этот предел
вычисляется так:

8) .

9)
.
► Напомним:
.
Имеем:

.◄

Для избавления от
неопределенности
здесь следует избавиться от иррациональности
в числителе, умножив и разделив данное
выражение на соответствующее сопряженное
выражение.

Типовые
п
римеры
(неопределенности
).

1)
.
►Используем формулу

Для данного примера

Имеем:

2)
.
►Напоминаем, чтои при.

Имеем:

=.◄

3)
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Покажем, что . По определению:

Рассмотрим неравенство в конце:

Вынесем степень за знаки модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

Прологарифмируем это неравенство по основанию . Так как основание , то знак неравенства меняется на противоположный:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Докажем, что такое будет подходить определению доказываемого предела.

По этой формуле мы берем , если логарифм окажется отрицательным:

Если логарифм окажется положительным, то получаем его округление сверху («потолок»). Из определения «потолка» числа:

Следующее натуральное число после будет , поэтому

Итак, мы показали, что любые натуральные подходят определению доказываемого предела.

Значит мы доказали по определению, что:

Теперь вернемся к исходному пределу:

Выносим константу из предела:

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как составить ревю на фильм
  • Как найти дом зомби в майнкрафте
  • Как составить ассортимент для пекарни
  • Как найти угловой коэффициент геометрия
  • Как найти хорошее порнушку

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии