Как найти предел функции при х стремящемся

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Пределы
функций. Производная функции

Продолжим рассматривать примеры вычисления пределов последовательностей.
4. Найти предел последовательности

Наибольшая степень в числителе и знаменателе — третья, поэтому поделим числитель и знаменатель на n³. Получим

Воспользоваться теоремой 4 для вычисления предела отношения двух последовательностей невозможно, так как предел последовательности

стоящей в знаменателе, равен 0.
Рассмотрим последовательность

Предел этой последовательности равен 0:

Так как последовательность y_n — бесконечно малая, то

согласно теореме 1, бесконечно большая последовательность. Таким образом,

Правило. Если у общего члена последовательности степень числителя больше степени знаменателя, то последовательность
бесконечно большая.

Пределы функций

Рассмотрим функцию y = 2x + 1. Фиксируем точку x₀ = 0. Пусть x_n — некоторая последовательность, сходящаяся к x₀ при n,
стремящемся к ∞. Рассмотрим, например, последовательность

Она сходится к 0

Подставив в функцию вместо x x_n, получим новую последовательность

Нас интересует, как ведет себя эта последовательность. Последовательность y_n сходится к 1 при N, стремящемся к ∞(lim_n→∞ y_n= 1).

Рассмотрим, как геометрически изображается связь между
последовательностями x_n и y_n (рис. 30).

Нас интересует, как ведет себя последовательность y_n, если последовательность x_n сходится к x₀.

Определение предела функции

Определение. Число a называется пределом функции y(x) при x, стремящемся к x₀,
если для любой последовательности x_n, удовлетворяющей условиям: x_n принадлежит области определения X функции y(x), x_n ≠ x₀
и lim_n→∞ x_n = x₀,

соответствующая последовательность y_n = y(x_n) сходится к a. Это записывают так:

Теоремы о предельном переходе при выполнении арифметических операций над функциями

Пусть на множестве X рассматриваются функции y(x) и z(x).
Пусть x₀ ∈ X и lim_n→∞ y(x) = a, lim_n→∞ z(x) = b. Тогда:

Теорема 1. Предел суммы (разности, произведения) двух функций при x, стремящемся к x₀, равен сумме
(разности, произведению) пределов этих функций, т. е.

Теорема 2. Пусть b ≠ 0. Тогда

Примеры вычисления пределов функций

1. Найдем

Если мы попытаемся воспользоваться теоремой 2, то увидим, что при x, стремящемся к 1, числитель и знаменатель дроби стремятся
к 0. Такая ситуация называется неопределенностью «ноль на ноль»
(

0
/
0

)
Пока теоремой 2 воспользоваться нельзя. Заметим, что
в числителе стоит разность квадратов. Используя формулу

получим

2. Найдем

Попытаемся использовать теорему 2. Найдем предел числителя:

Найдем предел знаменателя:

Имеем неопределенность типа «ноль на ноль».
В числителе дроби стоит квадратный трехчлен. Разложим его
на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения

Они равны x₁ = -1, x₂ = -2.
Напомним, что для квадратного уравнения

корни x_1,2 находятся по формуле

и разложение на множители записывается так:

Возвращаясь к нашему примеру, получим

Предел функции при x, стремящемся к бесконечности (x→∞), вычисляется так же, как для последовательности.

Производная функции

Приращение функции

Приращение функции, обозначаемое через Δ_y, показывает, на
сколько значение функции в точке x₀ + Δ_x отличается от значения функции в точке x₀(рис. 31).

Приращение аргумента — Δ_x, приращение функции — Δy = y(x₀ + Δx) — y(x₀)

Производная

Определение. Производной y′(x₀) функции y(x) в точке x₀
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

если этот предел существует. Итак,

Схема вычисления производной

1. Вычислить y(x₀).
2. Вычислить y(x₀+ Δx).
3. Найти приращение функции Δy = y(x₀ + ∆x) — y(x₀).
4. Найти отношение

Δy
/
∆x

5.  Найти предел отношения при ∆x →0, т. е. производную y′(x₀).

Найдем по определению производную функции y = x².

Физический смысл производной

Пусть независимая переменная t — это время. Рассматриваемая функция s(t) — путь,
пройденный точкой M от начальной точки O за время t (если t измеряется, например, в минутах, то s(3) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за
3 мин, s(5) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за 5 мин).
Тогда s(t + Δt) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за время t + Δt.
На рис. 32 путь MM′ пройден за 2 мин и равен s(3) − s(5)

На рис. 33 путь MM′ пройден за Δt мин и равен

Средняя скорость ν на заданном отрезке пути определяется как отношение пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Средняя скорость ν на отрезке MM′ на рис. 32 равна

s(5) — s(3)
/
2

на рис. 33 —

Δs
/
Δt

Если Δt → 0, то M′ → M и lim_Δt→0

Δs
/
Δt

= s‘(t)— это
мгновенная скорость в точке M Итак, производная пути по времени при t = t₀
— это мгновенная скорость движения точки M в моментem t₀.
Таким образом, y′(x₀) — это скорость изменения функции y(x)
в точке x₀.

Таблица производных

Примеры использования формулы 1 из таблицы производных

Свойства производной

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

• предел обозначается значком lim;
• под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
• затем справа дописывается сама функция, например:
  

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на (x – 1):

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!