Вычисление полезной работы через КПД
Определение
Коэффициентом полезного действия (при сокращённом написании КПД) именуют безразмерную физическую величину, характеризующую отношение энергии, которую система потратила с пользой для нас, к полному количеству полученной энергии.
Измерять КПД принято в процентах. Например, КПД 35%, означает, что почти две трети энергии пошли на ненужные траты, стали рассеянным в пустую теплом, были потрачены на истирание деталей машины, образование искр и т. п.
Важно. 35% совсем не плохой КПД. У паровозов первой половины 20 века он составлял всего 10%. Лишь одна десятая образующегося при сгорании топлива тепла шла на перемещение состава, остальное рассеивалось в атмосфере. Среднеэксплуатационный КПД у современных тепловозов 20-22%. КПД машин на бензиновом ДВС равен 25%. КПД дизеля – 33%. Хорошо на этом фоне выглядит КПД электромобилей. Он у них около 90%.
В формуле нахождения полезной работы да в физике в основном КПД обозначают буквой из греческого алфавита η (эта).
Полезная работа в физике и ненужные траты энергии
Прежде чем говорить о том, как найти полезную работу в физике, следует сказать о ней самой. Дело в том что полезная работа в физике – величина очень даже субъективная. Она напрямую связана с человеческим восприятием, с тем, чего нам нужно получить от системы. Поэтому часто, когда говорят о КПД, имеют в виду различные технические устройства, а не природные объекты.
Хотя технологии постоянно развиваются избежать значительных потерь энергии всё же не удаётся. Получается, что:
Aзатр > Aполез
Aзатр – затраченная работа, Aполез – полезная работа, та что идёт на осуществление нужного нам процесса.
Как бы мы ни пытались уменьшить ненужные потери энергии, полностью от них избавиться не получиться. Непреодолимой преградой для этого является первый закон термодинамики. Из него явственно следует, что КПД любого устройства и механизма ни при каких обстоятельствах не может быть больше единицы и даже стать равным ей.
Формула
Общая формула КПД:
[η = (Aполез/Aзатр) * 100%].
Мощность представляет собой работу, совершённую за единицу времени. В связи с этим КПД можно посчитать как отношение входной мощности системы к выходной. Т. е.
η = Pвх/Pвых.
Как найти полезную работу в физике используя формулы для разных физических процессов
Вид формул, как найти полезную работу в физике, зависит от природы физических явлений, использующихся для преобразования затраченной энергии в нужную.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Как найти полезную работу в физике механической системы
Лучше всего это показать на конкретном примере. Допустим, нам требуется найти КПД процесса, при котором мальчик вкатывает санки весом 4 кг на горку длиной 12, высотой 2 м. Он прикладывает для этого силу, равную 15 Н.
Решение:
Напомним, что общая формула для КПД
η = (Aполез/Aзатр) * 100%
Aполез в нашем случае равна потенциальной энергии (Eп), которую нужно потратить на то, чтобы поднять санки на высоту, т. е. Aполез = m*g*h.
Затраченная мальчиком работа равна произведению силы на перемещение, т. е. Aзатр = F*S.
Подставляем в общую формулу для КПД
η = (m*g*h*100)/(F*S)
При подстановке численных значений получаем
η = 4*9,8*2/15*12 * 100% = 78,4/180 * 100% ≃ 43,6 %
Из этого примера ясно, чему равна полезная работа в физике механической системы, выраженная через КПД.
Формула
[Aполез = (η*F*S)/100]
Формула полезной работы в физике термодинамической системы
Именно по ней судят об эффективности тепловых машин. Допустим, нам нужно отыскать КПД тепловой машины, рабочее тело которой берёт от нагревателя 20кДж, а холодильнику отдаёт 10кДж.
Решение:
Тепловая машина работает следующим образом: нагреватель передаёт определённое количество теплоты рабочему телу, оно из-за этого расширяется, совершая тем самым механическую работу. Однако в последнюю переходит далеко не вся часть переданной тепловой энергии. Чтобы вернуть систему в исходное состояние и начать новый цикл приходится использовать холодильник.
Из выше сказанного можно сделать вывод, что Aполез равна разности энергии взятой от нагревателя и энергии, забранной холодильником, т. е.
Aполез = Qнагревателя – Qхолодильника
Затраченная работа равняется количеству той теплоты, которая была сообщена нагревателю.
Если всё это подставим в формулу для КПД, то получим
[eta=(text { Qнагревателя }-text { Qхолодильника })^{*} 100 / text { Qнагревателя }]
После подстановки численных значений будем иметь
η = (20 – 10)/20*100% = 50%
Теперь ясно, как определить полезную работу в физике термодинамической системы.
Формула
[eta=(text { Qнагревателя }-text { Qхолодильника })^{*} 100 / text { Qнагревателя }]
Формула полезной работы в физике электродинамической системы
Очень важный класс явлений. Каждый день все пользуются самыми разными электрическими устройствами: телевизором, компьютером, телефоном и т. д. Но мы рассмотрим случай попроще. Вычислим КПД электрического чайника. Допустим воде было передано 22176 Дж тепла за 2 мин. Напряжение в электросети стандартное 220 В. Сила тока равняется 1,4 А.
Решение:
Aполез будем считать работу, которая пошла на нагрев воды. Хотя она нам и дана из условия, формулу вспомнить всё равно не будет лишним.
- Q = cm(tконечная-tначальная)
- Q — количество теплоты [Дж]
- c — удельная теплоёмкость вещества [Дж/кг*˚C]
- m — масса [кг]
- tконечная — конечная температура [˚C]
- tначальная — начальная температура [˚C]
- Работа тока вычисляется по формуле
- A = (I^2)*Rt = (U^2)/R *t = UIt
- A — работа электрического тока [Дж]
- I — сила тока [А]
- U — напряжение [В]
- R — сопротивление [Ом]
- t — время [c]
В нашем примере она примет вид
η = Q/A *100% = Q/UIt *100%
Переводим минуты в секунды и, подставляя численные значения, получаем
η = 22176/220*1,4*120 *100% = 60%
Формула полезной работы электродинамической системы будет:
Формула
[Aполез = (η*U*I*t)/100%]
В данном разделе вы уже познакомились с устройством и принципом работы двух видов теплового двигателя: двигателя внутреннего сгорания и паровой турбины. Используя эти механизмы, мы совершаем какую-то работу. Очевидно, что работа будет совершаться за счет энергии, которая выделяется при сгорании топлива. Но большая часть этой энергии теряется в окружающей среде. То есть эта часть энергии не используется полезно.
Следовательно, и работу таких механизмов тогда нужно рассчитывать специальным образом. Для этого в физике разделяют работу на полную и полезную, вводят понятие коэффициента полезного действия (КПД) механизма. На данном уроке мы познакомимся с этими величинами и рассмотрим решение задач с использованием КПД.
Полезная работа теплового двигателя
Для того чтобы судить о полезной работе теплового двигателя, обратимся еще раз к его устройству. Если рассматривать его принцип работы, то устройство любого теплового двигателя можно представить в виде простой схемы (рисунок 1).
Тепловой двигатель состоит из нагревателя, рабочего тела и холодильника.
Рабочим телом является газ или пар. Например, в паровой турбине — это пар, в газовой — газ, в двигателе внутреннего сгорания — смесь паров бензина и воздуха.
Этот газ получает некоторое количество теплоты $Q_1$ от нагревателя. Под нагревателем подразумевается не какое-то специальное механическое устройство, как можно подумать. Нагреватель в схеме теплового двигателя — это горящее топливо.
Газ нагревается и расширяется. Так он совершает работу $A_п$, используя свою внутреннюю энергию.
Но важно понимать, что часть этой внутренней энергии $Q_2$ не совершает какую-то полезную для нас работу. Она передается вместе с отработанным паром или выхлопными газами атмосфере — холодильнику.
В качестве холодильника может использоваться резервуар с водой. Отработавший пар будет в таком случае приносить дополнительную пользу — нагревать воду для ее дальнейшего использования. Но этот процесс уже требует отдельного рассмотрения.
Итак, нас интересует именно та часть энергии топлива, выделяемая при его сгорании, которая превращается в полезную работу. От величины этой части энергии зависит экономичность двигателя.
Для этой характеристики мы вводим новое понятие — коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя.
КПД теплового двигателя
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя — это отношение совершенной полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
КПД теплового двигателя также как и КПД простейших механизмов, изученных вами в прошлом курсе, обозначается греческой буквой “эта” — $eta$ и выражается в процентах.
Формула для расчета КПД теплового двигателя имеет следующий вид:
$eta = frac{A_п}{Q_1}$,
или
$eta = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} cdot 100 %$,
где $A_п$ — полезная работа,
$Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя,
$Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику,
$Q_1 — Q_2 = A_п$ — количество теплоты, которое пошло на совершение работы.
Например, при сгорании топлива выделяется определенное количество энергии. Одна пятая этой энергии пошла на совершение полезной работы. Это означает, что КПД двигателя равен $frac{1}{5}$ или $20 %$.
Средние значения КПД различных тепловых двигателей
В таблице 1 представлены средние значения КПД некоторых двигателей.
| Двигатель | КПД, % |
| Паровой двигатель | 8 |
| Двигатель внутреннего сгорания | 18 — 40 |
| Газовая турбина | 25 — 30 |
| Паровая турбина | 40 |
| Дизельный двигатель | 40 — 44 |
| Реактивный двигатель на жидком топливе | 47 |
Обратите внимание, что КПД всегда меньше единицы — меньше $100 %$. Это означает, что холодильник всегда получает некоторое количество теплоты от нагревателя.
Одной из важнейших технических задач при проектировании двигателей является повышение значения КПД.
Упражнения
Упражнение №1
КПД теплового двигателя составляет $30 %$. Рассчитайте полезную работу, совершенную двигателем, если он получил от нагревателя $600 space кДж$ энергии.
Дано:
$eta = 30 %$
$Q_1 = 600 space кДж$
СИ:
$6 cdot 10^5 space Дж$
$A_п — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$eta = frac{A_п}{Q_1}$.
Выразим отсюда полезную работу $A_п$:
$A_п = eta cdot Q_1$.
Чтобы использовать эту формулу необходимо значение КПД, выраженное в процентах перевести в дробь:
$eta = 30 % = 0.3$
Рассчитаем $A_п$:
$A_п = 0.3 cdot 6 cdot 10^5 space Дж = 1.8 cdot 10^5 space Дж$.
Ответ: $A_п = 1.8 cdot 10^5 space Дж$.
Упражнение №2
За цикл работы тепловая машина получает от нагревателя количество теплоты, равное $155 space Дж$, и отдает холодильнику количество теплоты равное $85 space Дж$. Вычислите КПД тепловой машины.
Дано:
$Q_1 = 155 space Дж$
$Q_2 = 85 space Дж$
$eta — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Используем формулу для расчета КПД:
$eta = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} cdot 100 %$.
$eta = frac{155 space Дж — 85 space Дж}{155 space Дж} cdot 100 % = frac{70 space Дж}{155 space Дж} cdot 100 % approx 45 %$.
Ответ: $eta = 45 %$.
Упражнение №3
На рисунке 2 изображен один из четырех тактов двигателя внутреннего сгорания. Опишите, что происходит в его процессе.
При этом была совершена работа, равная $2.3 cdot 10^4 space кДж$, и израсходован бензин массой $2 space кг$. Вычислите КПД этого двигателя. Удельная теплота сгорания бензина равна $4.6 cdot 10^7 frac{Дж}{кг}$.
Дано:
$A_п = 2.3 cdot 10^4 space кДж$
$m = 2 space кг$
$q = 4.6 cdot 10^7 frac{Дж}{кг}$
СИ:
$2.3 cdot 10^7 space Дж$
$eta -?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
На рисунке 2 оба клапана закрыты, а свеча подожгла горючую смесь. Поршень движется вниз и вращает коленчатый вал. Это третий такт — рабочий ход. Именно в ходе этого такта рабочее тело двигателя совершает полезную работу $A_п$.
Запишем формулу для расчета КПД этого двигателя:
$eta = frac{A_п}{Q_1}$,
где $Q_1$ — это количество теплоты, получаемое двигателем от нагревателя.
В нашем случае нагревателем является бензин. Мы знаем его массу и удельную теплоту сгорания, поэтому можем рассчитать количество теплоты, выделенное при его сгорании по формуле:
$Q = Q_1 = qm$.
$Q_1 = 2 space кг cdot 4.6 cdot 10^7 frac{Дж}{кг} = 9.2 cdot 10^7 space Дж$.
Подставим в формулу и рассчитаем КПД:
$eta = frac{2.3 cdot 10^7 space Дж}{9.2 cdot 10^7 space Дж} = 0.25$.
Или в процентах: $eta = 25 %$.
Ответ: $eta = 25 %$.
Сергей Феликсович Савельев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
КПД (коэффициент полезного действия) — величина, характеризующая
соотношение используемой энергии к затрачиваемой, т.е. энергетическую эффективность системы.
КПД измеряется в процентах или указывается как десятичная дробь от 0 до 1. КПД 50% (или, что тоже самое– 0,5) означает, что только половина энергии используется для выполнения работы. Остальная рассеивается в окружающем пространстве, как правило, в форме тепла.
Замечание 1
Коэффициент полезного действия паровозов, применявшихся для железнодорожных перевозок в XIX — первой половине XX вв., составлял менее 10%, т.е. 90 и более процентов тепла от сжигаемого в топках угля улетучивалось в атмосферу, не выполняя полезной работы по вращению колес, приводящему к движению состав. Для сравнения: КПД пришедших на смену паровозам тепловозов (в них используются не паровые, а дизельные двигатели) достигает 40%.
КПД в формулах обозначают греческой буквой $eta$ (эта).
$eta = frac{A_п}{A_з}$
, где $A_п$ — полезная работа, $A_з$ — затраченная.
Полезная работа и потери энергии
«Полезность» выполняемой работы — величина субъективная, связанная с человеческим восприятием, поэтому о КПД говорят чаще всего применительно к искусственно созданным системам. Несмотря на то, что технологии совершенствуются, избежать потерь в рукотворных системах инженерам не удастся:
- в механических устройствах часть затрачиваемой энергии всегда тратится на преодоление сил трения между соприкасающимися деталями (эти силы уменьшают за счет более тщательной обработки и смазки);
- в электрических системах часть энергии рассеивается в виде тепла при преодолении сопротивления проводников (явление сверхпроводимости еще не применимо к практике и требует низких температур);
- в нагревательных приборах утечки происходят в силу дефектов теплоизоляции и т.п.
Таким образом,
$A_з$ > $A_п$
, где $A_з$ — работа затраченная, $A_п$ — работа полезная.
«Формула полезной работы в физике для КПД» 👇
Потери энергии можно сводить к минимуму, но полностью исключить их невозможно. Какое бы совершенное устройство мы не придумали, КПД никогда не достигнет единицы в силу второго закона термодинамики, действие которого исключает создание механизмов с КПД равным или большим 100%.
КПД различных физических процессов
Методики подсчета КПД разнятся в зависимости от физической природы явлений, задействованных в преобразующих энергию системах.
При практических расчетах, связанных с движением, знаменатель формулы КПД удобнее представить не как работу (произведение силы на расстояние), а как затраченную энергию, выделившуюся, например, при сжигании топлива:
$eta = frac{A_п}{Q}$
, где $A_п$ — выполненная системой полезная работа, $Q$ — затраченная системой энергия.
Например, зная сколько бензина истрачено двигателем автомобиля (количество выделившегося в результате тепла можно легко подсчитать), а также массу, скорость и пройденное расстояние, легко найти КПД.
Если речь идет не об автомобиле с двигателем внутреннего сгорания, а об электромобиле, то затраты энергии в знаменателе можно подсчитать как произведение средних тока и напряжения за время движения рассматриваемого транспортного средства.
Поскольку мощность представляет собой работу, выполняемую в единицу времени, КПД иногда бывает удобно посчитать как соотношение входной и выходной мощностей системы:
$eta = frac{P_{out}}{P_{in}}$
, где $P_{in}$ — мощность на входе системы, $P_{out}$ — на выходе.
Такой подход удобен, например, при расчете КПД солнечных батарей. В знаменателе в этом случае будет мощность светового излучения, падающего на их поверхность, в числителе — мощность генерируемого тока.
Пример 1
Лебедка, потребляющая мощностью 500 Вт, за время 10 с подняла груз массой 70 кг на высоту 5м. Найти КПД лебедки.
Лебедка преодолела силу тяжести, совершив работу
$A_л = m cdot g cdot h$
, где $m$ — масса, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ высота.
Подставив значения, получаем:
$A = 70 cdot 9,8 cdot 5 = 3430 Дж$
Затраченную энергию найдем через мощность и время:
$Q = P cdot t$
, где $Q$ — энергия, $P$ — мощность, $t$ — время.
Подставив значения, получаем:
$Q = 500 Вт cdot 10 с = 5000 Дж$
КПД находим как соотношение
$eta = frac{A}{Q} = frac{3430}{5000}cdot 100$% = $68,6$%
Ответ: КПД лебедки равен 68,6%.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Тепловой двигатель состоит из нагревателя, рабочего тела и холодильника.
Для характеристики работоспособности двигателей введено понятие коэффициента полезного действия (КПД). Впервые ввёл в науку и технику понятие КПД двигателя французский инженер Сади Карно.
Отношение совершённой полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя, называют коэффициентом полезного действия теплового двигателя.
КПД теплового двигателя определяют по формуле:
или
КПД=Q1−Q2Q1⋅100%
.
— полезная работа, совершенная тепловым двигателем;
— количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;
— количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику (т.е. окружающей среде);
— количество теплоты, которое пошло на совершение тепловым двигателем полезной работы.
Обрати внимание!
Коэффициент полезного действия не имеет единицы измерения, но может выражается в процентах, или записывается в виде десятичной дроби.
В этом случае он будет меньше единицы, т.е. менее (100)%.
Например, КПД двигателей внутреннего сгорания не превышает (20 )— (40)%, а КПД паровых турбин чуть выше (30)%.
п.1. Полезная работа и затраченная работа
Полезной называется работа по подъёму грузов или преодолению какого-либо сопротивления.
Затраченной (полной) называется работа, совершённая приложенной силой.
Примеры полной и полезной работы
Затраченная работа равна сумме:
- полезной работы;
- работы против силы трения в различных частях механизма;
- работы по перемещению различных составных элементов механизма.
Поэтому всегда (A_text{полезная}lt A_text{затраченная})
п.2. КПД механизма
Коэффициент полезного действия механизма – это отношение его полезной работы к затраченной работе. $$ eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%} $$
Поскольку в реальных механизмах всегда (A_text{п}lt A_text{з}), $$ frac{A_text{п}}{A_text{з}}lt 1. $$
Следовательно КПД реальных механизмов (etalt 100text{%}).
Только в идеальном механизме, в котором нет потерь на трение, и все составные элементы не имеют веса, (A_text{п}=A_text{з}) и (eta=100text{%}).
КПД никогда не может быть выше (100text{%}).
КПД реальных механизмов можно увеличить за счет снижения трение в подвижных узлах и уменьшения веса всех составных элементов конструкции.
Для этого нужны новые смазочные вещества и лёгкие, но прочные конструкционные материалы.
п.3. Задачи
Задача 1. По наклонной плоскости поднимают груз массой 50 кг, прикладывая к нему силу 250 Н, направленную вдоль плоскости. Чему равен КПД плоскости, если её длина 10 м, а высота 3 м?
Дано:
(m=50 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(F=250 text{Н})
(L=10 text{м})
(h=3 text{м})
__________________
(eta-?)
Полезная работа по подъему груза begin{gather*} A_text{п}=mgh. end{gather*} Затраченная работа на перемещение груза вдоль наклонной плоскости begin{gather*} A_text{з}=FL. end{gather*} КПД плоскости: begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{mgh}{FL}cdot 100text{%} end{gather*} Получаем: begin{gather*} eta=frac{50cdot 10cdot 3}{250cdot 10}cdot 100text{%}=60text{%} end{gather*} Ответ: 60%
Задача 2. С помощью подвижного блока поднимают груз массой 200 кг, прикладывая силу 1200 Н. Чему равен КПД блока?
Дано:
(m=200 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(F=1200 text{Н})
__________________
(eta-?)
Полезная работа по подъему груза на высоту (h): begin{gather*} A_text{п}=mgh. end{gather*} Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза и проигрыш в расстоянии. Т.е. при работе нужно вытянуть трос длиной (2h). Затраченная работа: begin{gather*} A_text{з}=Fcdot 2h. end{gather*} КПД блока begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{mgh}{2Fh}cdot 100text{%}=frac{mg}{2F}cdot 100text{%} end{gather*} Получаем: begin{gather*} eta=frac{200cdot 10}{2cdot 1200}cdot 100text{%}approx 83,3text{%} end{gather*} Ответ: 83,3%
Задача 3. Груз массой 245 кг с помощью рычага равномерно подняли на высоту 6 см. При этом к длинному плечу рычага была приложена сила 500 Н, а точка приложения силы опустилась на 30 см. Найдите КПД рычага.
Дано:
(m=245 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(h_2=6 text{см}=0,6 text{м})
(F_1=500 text{Н})
(h_1=30 text{см}=0,3 text{м})
__________________
(eta-?)
Полезная работа по подъему груза на высоту (h_2): begin{gather*} A_text{п}=mgh_2. end{gather*} Затраченная работа по опусканию длинного плеча рычага: begin{gather*} A_text{з}=F_1h_1. end{gather*} КПД рычага begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{mgh_2}{F_1h_1}cdot 100text{%} end{gather*} Получаем: begin{gather*} eta=frac{245cdot 10cdot 0,06}{500cdot 0,3}cdot 100text{%}=frac{147}{150}cdot 100text{%}=98text{%} end{gather*} Ответ: 98%
Задача 4. Чему равен КПД гидравлической машины, если для равномерного подъема груза массой 1,2 т к меньшему поршню прикладывают силу 160 Н? Площади поршней равны 5 см2 и 500 см2.
Дано:
(m=1,2 text{т}=1200 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(F_1=160 text{Н})
(S_1=5 text{см}^2=5cdot 10^{-4} text{м}^2)
(S_2=500 text{см}^2=5cdot 10^{-2} text{м}^2)
__________________
(eta-?)
При опускании малого поршня на высоту (h_1) из малого в большой цилиндр вытекает объем жидкости равный $$ V=S_1h_1=S_2h_2Rightarrow frac{h_2}{h_1}=frac{S_1}{S_2} $$ Полезная работа по подъему груза на высоту (h_2): begin{gather*} A_text{п}=mgh_2. end{gather*} Затраченная работа по опусканию поршня малого цилиндра: begin{gather*} A_text{з}=F_1h_1. end{gather*} КПД гидравлической машины begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{mgh_2}{F_1h_1}cdot 100text{%}=frac{mgS_1}{F_1S_2}cdot 100text{%} end{gather*} Получаем: begin{gather*} eta=frac{1200cdot 10cdot 5cdot 10^{-4}}{160cdot 5cdot 10^{-2}}cdot 100text{%}=frac{600}{800}cdot 100text{%}=75text{%} end{gather*} Ответ: 75%
Задача 5*. Груз массой 12 кг поднимают с помощью подвижного блока массой 3 кг. Чему равен КПД блока?
Дано:
(M=12 text{кг})
(m=3 text{кг})
__________________
(eta-?)
Полезная работа по подъему груза на высоту (h): begin{gather*} A_text{п}=Mgh. end{gather*} Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Поэтому достаточно приложить силу, равную половине суммы весов груза и блока: begin{gather*} F=frac 12(M+m)g end{gather*} При этом будет проигрыш в расстоянии. Потребуется вытянуть трос длиной (2h). Затраченная работа, приложенная к тросу: begin{gather*} A_text{з}=Fcdot 2h=frac 12(M+m)gcdot 2h=(M+m)gh. end{gather*} КПД подвижного блока begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{Mgh}{(M+m)gh}cdot 100text{%}=frac{M}{M+m}cdot 100text{%} end{gather*} Получаем: begin{gather*} eta=frac{12}{12+3}cdot 100text{%}=80text{%} end{gather*} Ответ: 80%
Задача 6. Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 36 м за 1 ч, если мощность электродвигателя равна 5 кВт, КПД всей установки равно 70%?
Дано:
(N=5 text{кВт}=5cdot 10^3 text{Вт})
(eta=70text{%}=0,7)
(h=36 text{м})
(t=1 text{ч}=3600 text{с})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
__________________
(m-?)
Полезная работа по подъему груза на высоту (h): begin{gather*} A_text{п}=Mgh. end{gather*} Затраченная работа электродвигателя: begin{gather*} A_text{з}=Nt. end{gather*} КПД установки begin{gather*} eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}=frac{mgh}{Nt} end{gather*} Масса воды begin{gather*} m=frac{eta Nt}{gh} end{gather*} Получаем: begin{gather*} m=frac{0,7cdot 5cdot 10^3cdot 3600}{10cdot 36}=35cdot 10^3 (text{кг})=35 text{т} end{gather*} Ответ: 35 т
Задача 7*. КПД подвижного блока при подъеме первого груза равен 80%, а при подъеме второго груза – 90%. Масса какого груза больше и во сколько раз? Трением в блоке можно пренебречь.
Дано:
(eta_1=80text{%}=0,8)
(eta_2=90text{%}=0,9)
__________________
(frac{M_2}{M_1}-?)
КПД подвижного блока массой (m), с помощью которого поднимают груз массой (M) begin{gather*} eta=frac{M}{M+m} end{gather*} (см. Задачу 5 выше). Масса груза begin{gather*} eta(M+m)=MRightarrow eta m=(1-eta)MRightarrow M=frac{eta}{1-eta}m end{gather*} Получаем: begin{gather*} M_1=frac{0,8}{1-0,8}m=4m,\[6pt] M_2=frac{0,9}{1-0,9}m=9m end{gather*} Масса второго груза больше.
Отношение масс begin{gather*} frac{M_2}{M_1}=frac{9m}{4m}=2,25 (text{раз}) end{gather*} Ответ: масса второго груза больше в 2,25 раз
п.4. Лабораторная работа №13. Определение КПД наклонной плоскости
Цель работы
Научиться проводить измерения и рассчитывать КПД простого механизма на примере наклонной плоскости. Исследовать зависимость КПД наклонной плоскости от высоты.
Теоретические сведения
Работа по подъему тела весом (P) вертикально на высоту (h) (из точки C в точку B): $$ A_text{CB}=Ph $$
Работа по перемещению того же тела силой (F), направленной вдоль наклонной плоскости длиной (L) (из точки A в точку B): $$ A_text{AB}=FL $$
В обоих случаях тело перемещается с нулевого уровня AC, где (h_0=0), на уровень с высотой (h) в точку B. Работа сторонних сил в этом случае равна изменению потенциальной энергии тела: $$ A=A_text{CB}=A_text{AB}=Delta E_p $$
Получаем уравнение для идеальной наклонной плоскости (без трения): $$ Ph=FL $$
При наличии трения получаем неравенство: $$ Phlt FL $$
Полезная и затраченная работа для наклонной плоскости: $$ A_text{п}=Ph, A_text{з}=FL $$
КПД наклонной плоскости: $$ eta=frac{A_text{п}}{A_text{з}}cdot 100text{%}=frac{Ph}{FL}cdot 100text{%} $$
Затраченная работа равна сумме полезной работы и работы по преодолению силы трения: $$ A_text{з}=A_text{п}+F_text{тр}L $$
Откуда сила трения равна: $$ F_text{тр}=frac{A_text{з}-A_text{п}}{L}=frac{FL-Ph}{L}=F-Pfrac hL $$
Вес (P) и сила (F) определяются в работе с помощью динамометра с ценой деления (d=0,1 text{Н}).
Абсолютная погрешность прямых измерений $$ Delta_F=Delta_P=frac d2=0,05 text{Н}. $$
Сила (F) определяется в серии из пяти опытов с вычислением средних величин.
Высота наклонной плоскости (h) и длина наклонной плоскости (L) определяются с помощью мерной ленты с ценой деления (d=5 text{мм}). Абсолютная погрешность (Delta_L=2,5 text{мм}).
Относительные погрешности измерений вычисляются как обычно.
Относительная погрешность расчета КПД: $$ delta_eta=delta_F+delta_P+delta_h+delta_L $$
Абсолютная погрешность расчета КПД: $$ Delta_eta=etacdot delta_eta $$
Приборы и материалы
Доска длиной от 70 см, штатив с муфтой и лапкой, брусок массой не менее 300 г, мерная лента, динамометр.
Ход работы
1. Измерьте мерной лентой длину доски (L).
2. Определите вес бруска (P) с помощью динамометра.
3. Соберите наклонную плоскость: закрепите один конец доски в лапке штатива на высоте около (h=frac L3.)
4. Положите брусок на наклонную плоскость, прикрепите к нему динамометр и равномерно тяните по наклонной плоскости. Следите, чтобы динамометр располагался параллельно наклонной плоскости. Запишите измеренное значение (F). Повторите измерение (F) в серии из пяти опытов.
5. Соберите новую наклонную плоскость: закрепите один конец доски в лапке штатива на высоте около (h=frac L4). Перейдите на шаг 4 и повторите серию опытов для определения (F).
6. Рассчитайте КПД для двух исследованных наклонных плоскостей. Найдите относительные и абсолютные погрешности расчетов КПД.
7. Для каждой из наклонных плоскостей укажите величину полезной и затраченной работы, найдите силу трения.
8. Сделайте выводы о зависимости силы трения и КПД от высоты наклонной плоскости.
Результаты измерений и вычислений
Длина наклонной плоскости (доски) begin{gather*} L=80 text{см}=800 text{мм},\[7pt] Delta_L=2,5 text{мм},\[6pt] delta_L=frac{Delta_L}{L}=frac{2,5}{800}approx 0,0031=0,31text{%} end{gather*}
Вес бруска begin{gather*} P=4,4 text{Н},\[7pt] Delta_P=0,05 text{Н},\[6pt] delta_P=frac{Delta_P}{P}=frac{0,05}{4,4}approx 0,0011=1,1text{%} end{gather*}
1. Наклонная плоскость высотой (h=27 text{см})
Высота наклонной плоскости begin{gather*} h=27 text{см}=270 text{мм},\[7pt] Delta_h=2,5 text{мм},\[6pt] delta_h=frac{Delta_h}{h}=frac{2,5}{270}approx 0,0093=0,93text{%} end{gather*}
Определение силы тяги (F) в серии опытов
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| $$ F, H $$ | 2,9 | 2,8 | 3,0 | 2,7 | 2,8 | 14,2 |
| $$ Delta_F, H $$ | 0,06 | 0,04 | 0,16 | 0,14 | 0,04 | 0,44 |
begin{gather*} F_text{ср}=frac{sum F_i}{5}=frac{14,2}{5}=2,84 (text{Н}),\[6pt] Delta_{Ftext{ср}}=frac{sum Delta_{Fi}}{5}=frac{0,44}{5}approx 0,09 (text{Н}),\[6pt] F=(2,84pm 0,09) text{Н},\[7pt] delta_F=frac{0,09}{2,84}approx 0,032=3,2text{%} end{gather*}
Полезная работа: $$ A_text{П}=Ph=4,4cdot 0,27=1,188 (text{Дж}) $$
Затраченная работа: $$ A_text{З}=FL=2,84cdot 0,8=2,272 (text{Дж}) $$
Сила трения: $$ F_text{тр}=F-Pfrac hL=2,84-4,4cdot frac{0,27}{0,8}approx 1,36 (text{Н}) $$
КПД наклонной плоскости: $$ eta=frac{A_text{П}}{A_text{З}}=frac{1,188}{2,272}approx 0,523=52,3text{%} $$
Погрешности расчета КПД: $$ delta_eta=delta_F+delta_P+delta_h+delta_L=0,032+0,011+0,0093+0,0031=0,0554approx 0,056=5,6text{%} $$
При расчете (delta_eta) использовали округление с избытком. $$ Delta_eta=0,523cdot 0,056approx 0,029=2,9text{%} $$
Окончательно получаем: $$ eta=(52,3pm 2,9)text{%}, delta_eta=5,6text{%} $$
2. Наклонная плоскость высотой (h=20 text{см})
Высота наклонной плоскости begin{gather*} h=20 text{см}=200 text{мм},\[7pt] Delta_h=2,5 text{мм},\[6pt] delta_h=frac{Delta_h}{h}=frac{2,5}{200}approx 0,013=1,3text{%} end{gather*}
Определение силы тяги (F) в серии опытов
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| $$ F, H $$ | 2,4 | 2,6 | 2,5 | 2,6 | 2,5 | 12,6 |
| $$ Delta_F, H $$ | 0,12 | 0,08 | 0,02 | 0,08 | 0,02 | 0,32 |
begin{gather*} F_text{ср}=frac{sum F_i}{5}=frac{12,6}{5}=2,52 (text{Н}),\[6pt] Delta_{Ftext{ср}}=frac{sum Delta_{Fi}}{5}=frac{0,32}{5}approx 0,06 (text{Н}),\[6pt] F=(2,52pm 0,06) text{Н},\[7pt] delta_F=frac{0,06}{2,52}approx 0,024=2,4text{%} end{gather*}
Полезная работа: $$ A_text{П}=Ph=4,4cdot 0,2=0,88 (text{Дж}) $$
Затраченная работа: $$ A_text{З}=FL=2,52cdot 0,8=2,016 (text{Дж}) $$
Сила трения: $$ F_text{тр}=F-Pfrac hL=2,52-4,4cdot frac{0,2}{0,8}approx 1,42 (text{Н}) $$
КПД наклонной плоскости: $$ eta=frac{A_text{П}}{A_text{З}}=frac{0,88}{2,016}approx 0,437=43,7text{%} $$
Погрешности расчета КПД: $$ delta_eta=delta_F+delta_P+delta_h+delta_L=0,024+0,011+0,013+0,0031=0,0511approx 0,052=5,2text{%} $$
При расчете (delta_eta) использовали округление с избытком. $$ Delta_eta=0,437cdot 0,052approx 0,023=2,3text{%} $$
Окончательно получаем: $$ eta=(43,7pm 2,3)text{%}, delta_eta=5,2text{%} $$
Выводы
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.
В работе проводился расчет КПД наклонной плоскости постоянной длины, но разной высоты.
Для высоты около (h=frac L3):
- полезная и затраченная работы: (A_text{П}=1,188 (text{Дж}), A_text{З}=2,272 (text{Дж}))
- сила трения: (F_text{тр}=1,36 (text{Н}))
- КПД: (eta=(52,3pm 2,9)text{%}, delta_eta=5,6text{%})
Для высоты около (h=frac L4):
- полезная и затраченная работы: (A_text{П}=0,88 (text{Дж}), A_text{З}=2,016 (text{Дж}))
- сила трения: (F_text{тр}=1,42 (text{Н}))
- КПД: (eta=(43,7pm 2,3)text{%}, delta_eta=5,2text{%})
Таким образом, с уменьшением высоты:
- сила трения растет;
- КПД наклонной плоскости падает.
Все задачи, поставленные перед исследованием, успешно выполнены.