Как найти погрешность периода колебаний

Результаты измерений периода колебаний математического маятника

Результаты записать для случаев, когда
измерения выполнены секундомером,
имеющим погрешности: а)с;
б)с.

Определение погрешности косвенных измерений

Часто встречается ситуация, когда
интересующая нас величина в эксперименте
непосредственно не измеряется, но может
быть рассчитана с помощью функциональной
зависимости от измеряемых величин. В
этом случае говорят о косвенных
измерениях. Точность определения этой
величины зависит как от точности
эксперимента, так и от конкретного вида
ее зависимости от измеряемых величин.

Пусть величину
можно
рассчитать, измерив непосредственно
некоторые физические величиныи
т.д., и пусть погрешности этих величин
соответственно равныи
т.д. Погрешность величиныможно
рассчитать, воспользовавшись формулой

(1)

Здесь
— так называемые частные производные,
которые вычисляются по обычным правилам
в предположении, что остальные переменные
(кроме той, по которой выполняется
дифференцирование) зафиксированы.

Рассмотрим два примера.

Пример 1.Пусть
известны
и их погрешности.

Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

Таким образом, при сложении или вычитании
нескольких величин складываются их
абсолютные погрешности:

Пример 2. Известны положительные
величиныи
их погрешности.Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

В скобках стоит сумма относительных
погрешностей величин
и,
а сомножитель перед скобкой равен
величине.
Отсюда следует

Таким образом, при умножении или делении
нескольких величин складываются их
относительные погрешности:

Это правило легко обобщается на
произвольное число сомножителей.

Теперь рассмотрим конкретный случай.
Измеряя время падения тела с некоторой
высоты, можно рассчитать ускорение
свободного падения по формуле

(2)

(здесь g рассматривается
как функция двух переменныхHиt, определяемых
экспериментально).

Пусть
м,с,
тогда

.

Относительная погрешность ускорения
свободного падения (см. пример 2) равна

Обратите внимание на то, что перед
относительной погрешностью
стоит множитель 2, так как времяв
формуле (2) стоит во второй степени.

Рассчитаем
:

Из этого выражения следует, что абсолютная
погрешность равна

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

Эта
запись означает, что истинное значение
ускорения свободного падения лежит в
пределах от
до.

Приведем
более сложный пример. Модуль сдвига
материала проволоки
,
из которого изготовлена пружина
жесткостью
,
можно определить по формуле

,

где
— радиус пружины;—
радиус проволоки;— число витков пружины. Пусть погрешности
измерения величинсоответственно равны.
Если использовать формулу (1) для расчета
погрешности,
то получим следующее выражение:

,

которым
неудобно пользоваться из-за его
громоздкости. Выражение же для расчета
относительной погрешности более
компактно:

Рассчитав
и,
легко определить:

.

Очевидно, что
последний способ расчета абсолютной
погрешности менее трудоемкий, чем
первый.

В
заключение приведем таблицу формул для
вычисления погрешностей в некоторых
частных случаях (табл.3).

Еще
раз напомним: при
сложении (вычитании) некоторых величин
складываются абсолютные погрешности;
при умножении (делении) величин
складываются относительные погрешности.

Таблица
3

Примеры
вычисления абсолютной и относительной
погрешностей

Домашнее упражнение. Получить
выражения для расчета абсолютной и
относительной погрешностей для следующих
математических операций:

а)
;
б);
в)гдеи—
измеряемые величины.

Упражнение
2. Рассчитать
ускорение свободного падения и его
погрешность, зная длину
и период колебанияматематического
маятника:м,с.

Напомним,
что

.

Соседние файлы в папке LP(roomA)_1

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Приборные
погрешности обусловлены
ограниченной точностью измерительных приборов.

Любым измерительным прибором нельзя измерить величину точнее, чем цена
деления прибора. Приборная погрешность – объективная погрешность, от неё нельзя
избавиться, её можно лишь уменьшить, выбирая более точный прибор.

Например: миллиметровой линейкой можно измерить размеры с точностью до
1 мм; штангенциркулем с точностью до 0,05 мм; микрометром с точностью до 0,01
мм и т. д.

Случайные
погрешности обусловлены небольшими
случайными изменениями измеренных значений физических величин.

Чем больше разброс измеренных значений физических величин при
многократных измерениях, тем больше случайная погрешность и наоборот. К
разбросу результатов измерений приводит влияние на саму величину и процесс
измерения множество несущественных трудно учитываемых факторов.

Например: На измерение значения периода колебаний математического
маятника (совокупность значений периода в зависимости от числа измерений
изображена на рис 1) влияют колебания воздуха, не синхронность включение
секундомера, начальные значения угла отклонения или сообщаемой скорости и т. д.

Случайная погрешность – объективная погрешность и оценивается при
многократных измерениях методами теории вероятности. 

Рис
1. Зависимость
измеренных значений периоде колебаний математического маятника от числа
колебаний.

Систематические
погрешности – погрешности
связанные с несовершенством методов измерений (в частности, под этим имеются в
виду ошибки, связанные с неотрегулированностью или неисправностью измерительных
приборов, приближённостью законов используемых для расчёта измеряемых величин и
т. д.) Систематические погрешности имеют объективный характер и, в отличие от
случайных знакоопределены или меняются по определённому закону. Их можно
уменьшить совершенствуя методы измерений, выбирая более точные законы для
расчётов или учесть путём введения поправок к результату.

Например:
а) при взвешивание в воздухе наличие выталкивающей силы Архимеда приводит к
неточному определению массы. А именно (см. рис 2).

Рис
2  Влияние выталкивающей
силы на измерение массы тела.

Из
рис. 2 следует, что не самом деле мы сравниваем не массу тела и разновесок, а
равнодействующие сил тяжести и сил Архимеда т.е.

              .                   (3)

Величина
Δ_АF_Ар/g –
есть та систематическая погрешность, которая вносится в результат измерения
массы несовершенством данного метода;

б) при
определении ускорения свободного падения по периоду колебаний математического
маятника используется формула (3) не учитывающая затухание колебаний в
следствии сопротивления среды, а измеряются затухающие колебания.

Грубые
погрешности (промахи) – погрешности, вносимые в измерения
человеком (человеческий фактор).

(Неправильно
записали данные приборов, допустили ошибки в вычислениях и т. д.).

Как
правило, эти ошибки велики и приводят к заметному искажению результатов. В этих
случаях исключают ошибочные данные из последующего анализа или повторяют опыт.

Методы
оценки погрешностей различных видов измерений составляют теорию погрешностей,
основной задачей которой является оценка максимально допустимой ошибки в
условиях данных измерений.

Далее
мы ограничимся простейшим вариантом теории – линейной  теорией погрешности.

Основными
характеристиками погрешности (в рамках линейной теории) являются абсолютная и
относительная погрешности. 

Абсолютной погрешностью  измеряемой
физической величины является модуль разности измеренного и истинного значений.

                  Δа = | a _изм – а
_ист |    ед.
изм.                                                   (4)

Это
размерная, положительная величина, характеризующая отклонение измеренного от
истинного значений.

Относительная погрешность – это
отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины.

                                 
                                    (5)

Относительная
погрешность (5) – безразмерная величина, она измеряется в долях или процентах и
показывает какую часть от истинного значения измеряемой величины составляет
погрешность.

На
практике вместо неизвестного истинного значения используют среднее значение
измеряемой величины.

Формула (5) позволяет по
известной одной из характеристик определить другую. Часто вначале удобнее найти
относительную, а через неё абсолютную.

.

Если
измерение выполнено и погрешности определены, то окончательный результат
записывается в виде

        .                (6)

что эквивалентно заданию
интервала, в котором лежит истинное значение искомой величины. И чем уже данный
интервал, тем точнее измерения и наоборот.

4.
Вычисление погрешностей.

За
абсолютную погрешность однократно измеряемой величины применяют приборную
погрешность.

Для
простых измерительных и цифровых приборов приборная погрешностьравная
половине цены деления прибора.

                                         .                                                     (7)

Например:
приборная погрешность

                  
миллиметровой линейки (с=1 ^мм/_дел) равна, Δа_пр
=  0,5 мм.

                  
штангенциркуля (с=0,05 ^мм/_дел) – Δа_пр
= 0,025 мм.

                   эл.
секундомера (с=0,001 ^с/_дел) – Δа_пр
= 0,0005 с.

Для
стрелочных электроизмерительных приборов приборная погрешность определятся
через класс точности прибора (характеристика прибора указанная на его
шкале).

                                              ,                                               
(8)

представляющая
собой отношение приборной погрешности к максимальному значению измеряемой
прибором величины. Из (8) для приборной погрешности стрелочных
электроизмерительных приборов получаем:

                                
ΔАприб. = 0,01 · К · Аmax
.                  
                          (9) 

Часто
в расчетах приходится использовать физические и математические постоянные,
которые как правило выражаются сложными десятичными дробями

(π=
3.141593… , е = 2.718282… , с = 2.99792… · 10^{8 м}/_с

 q_e =
1,60219… · 10^-19 Kл , m_е =
1.67265… · 10^-31к²    и т.д.). 

При
использовании постоянных мы вынуждены их округлять т.е. брать приближённые
значения, это также даёт вклад в погрешность. К погрешностям табличных величин
относятся так же как и к приборным.

За
погрешность табличной величины принимают половину  единицы последнего разряда
табличной величины, выбранной с заданной точностью.

Например; при определении
плотности тела цилиндрической формы необходимо использовать число π.
Предварительно оговаривается точность расчётов (например вычисления проводят с
точностью до        

четырёх  значащих цифр).
Тогда используемое число π и погрешность Δπ соответственно будут равны:

π =
3.142,     Δπ = 0.0005

и окончательная запись числа
π с погрешностью имеет вид:

б)
Погрешности многократно измеряемых величин.

Погрешности
многократных измерений в рамках линейной теории оцениваются по следующей схеме