Как найти подобные одночлены - Avtoru.top - решение различных проблем

Алгебра

7 класс

Урок № 17

Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены

Перечень рассматриваемых вопросов:

Алгебраические выражения.
Одночлен; стандартный вид одночлена.
Подобные одночлены.
Коэффициент и степень одночленов.
Сумма (разность) подобных одночленов.

Тезаурус:

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).

Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.

Правило приведения одночлена к стандартному виду:

перемножить все числовые множители;
поставить полученный коэффициент на первое место;
получить буквенную часть.

Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:

составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим
привести все одночлены к стандартному виду
сложить (вычесть) их численные множители
после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».

И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.

Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.

Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.

Например:

12a²bc³

xy⁴

1,2cp⁸

Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.

Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).

В наших примерах коэффициенты – это числа 12 и -1,2

А одночлены 14ac⁵ax и 3k4k² записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.

Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.

Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Например:

12a²bc³ – одночлен 6-й степени.

xy⁴– одночлен 5-й степени

1,2cp⁸ – одночлен 9-й степени

Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.

Например:

Это одночлены 0 степени.

У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.

Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.

Для этого нужно:

• перемножить все числовые множители;

• поставить полученный коэффициент на первое место;

• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.

Например:

Привести одночлен 4ac(-3)a²ck к стандартному виду.

Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.

Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.

4ac(-3)a²ck = (4 · (-3))a³c²k = -12a³c²k

Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Например, 4a²c²x и -41a²c²x – подобные одночлены, так как отличаются лишь коэффициентами.

4a²c²x и -41a²c² – не подобные одночлены, т.к. есть отличие в буквенных множителях.

Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.

Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:

1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;

2. привести все одночлены к стандартному виду;

3. сложить (вычесть) их коэффициенты;

4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.

Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.

Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.

Сумма подобных одночленов:

4a²c²x + (-41a²c²x) = (4 + (-41))a²c²x = -37a²c²x

Разность подобных одночленов:

4a²c²x — (-41a²c²x) = (4 — (-41))a²c²x = 45a²c²x

Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.

Действия над одночленами.

Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:

-(-7)aaa · (bc²)³ · (2ak)⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 2a⁷b³7c⁶k⁵a

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.

Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.

Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a⁸b³c⁶k⁵

Второй одночлен записан в стандартном виде.

Третий одночлен приведём, аналогично первому, к стандартному виду. Итак, третий одночлен в стандартном виде выглядит так: 14a⁸b³c⁶k⁵.

А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.

-(-7)aaa · 2(bc²)³ · (2ak)⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 2a⁷b³7c⁶k⁵a = 448a⁸b³c⁶k⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 14a⁸b³c⁶k⁵ = (448 + 2 – 14)a⁸b³c⁶k⁵ = 436a⁸b³c⁶k⁵

Таким образом, мы привели подобные одночлены.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах

Варианты ответа:

10ах;

7ах;

7аахх.

Решение:

Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.

Ответ: 7ах.

№ 2.

Решение:

Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.

Источник

Сложение и вычитание одночленов

Подобные одночлены
Сложение одночленов
Вычитание одночленов

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab² и -7ab² — подобные одночлены;

5a²b и 5ab — не подобные одночлены.

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:

5abb и -7b²a.

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:

5ab² и -7ab².

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:

5a²bc и -5a²bc — противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены, надо:

Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
Привести все одночлены к стандартному виду.
Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
1. сложить их численные множители;
2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a²b и -5ab.

Решение: Составим сумму одночленов:

12ab + (-4a²b) + (-5ab).

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

12ab — 4a²b — 5ab.

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab — 4a²b — 5ab = (12 + (-5))ab — 4a²b = 7ab — 4a²b.

Пример 2. Сложить одночлены 5a²bc и -5a²bc.

Решение: Составим сумму одночленов:

5a²bc + (-5a²bc).

Раскроем скобки:

5a²bc — 5a²bc.

Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a²bc — 5a²bc = (5 — 5)a²bc = 0a²bc = 0.

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:

Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком — (минус).
Привести все одночлены к стандартному виду.
Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
1. сложить их численные множители,
2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Пример. Найти разность одночленов 8ab², -5a²b и —ab².

Решение: Составим разность одночленов:

8ab² — (-5a²b) — (-ab²).

8ab² + 5a²b + ab².

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

8ab² + 5a²b + ab² = (8 + 1)ab² + 5a²b = 9ab² + 5a²b.

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

Источник

☰

Что такое подобные одночлены?

Если одночлены состоят из одинаковых переменных в одинаковых степенях, то они являются подобными. Коэффициенты одночленов при этом могут различаться. Примеры подобных одночленов:

3a² и –4a²; 31 и 45; a²bx⁴ и 1,4a²bx⁴; 100y³ и 100y³

Но одночлены –6ab² и 6ab не являются подобными, так как у них переменная b находится в разных степенях.

Подобные одночлены обладают удивительным свойством — их можно легко складывать и вычитать. Если нужно найти сумму двух или более подобных одночленов, то их коэффициенты надо сложить, а переменные в сумме оставить без изменений. Если же требуется найти разность двух подобных одночленов, то коэффициент одного одночлена надо вычесть из второго, а переменные оставить без изменений. Примеры:
4x² + 15x² = 19x²
5ab – 1,7ab = 3,3ab
13a¹⁰b⁵c³ – 13a¹⁰b⁵c³ = 0a¹⁰b⁵c³ = 0

Эти действия называются приведением подобных одночленов.

Почему же подобные одночлены можно так складывать и вычитать? Попробуем упростить выражения, не используя правила приведения подобных одночленов:
2x + 4x = (x + x) + (x + x + x + x) = x + x + x + x + x + x = 6 * x = 6x
2x – 4x = (x + x) – (x + x + x + x) = x + x – x – x – x – x = – x – x = – (x + x) = –(2x) = –2x

То есть свойство подобных членов вытекает из правила арифметики о том, что произведение двух чисел является ничем иным как суммой из слагаемых одного числа, где количество слагаемых равно другому числу:
2 * 3 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2

Источник

Одночлены в точности с одинаковой буквенной частью называются подобными: .

У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые. «2 мешка, 5 мешков».

В выражении $12x+x^2y^3-6x^3y-3x^2y^3$ второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную часть $x^2y^3$. Подобные!

Подобные одночлены: 1) $3x$ и $2x$; 2) $5xy^3z$ и $-3xzy^3$; 3) $7ab^3$ и $ab^3$. 3) $-4x^2$ и $6x^2$.

Вывод: такие одночлены можно складывать и вычитать: » — 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х».

Подобные складываются меж собой. А неподобные нет! Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. » Персики с персиками, груши с грушами».

Неподобные одночлены: 1) $3x$ и $2x^3$; 2) $5xy^3z$ и $-3x^2zy^3$; 3) $7a^3b^3$ и $ab^3$ — буквенные части отличаются степенями переменной или буквами.

Сложение, вычитание подобных одночленов.

Правило сложения подобных одночленов: при сложении подобных … необходимо сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков, а буквенную часть дописать как у исходных слагаемых.

Пример 1: Выполнить сложение одночленов

1) $3ab^3+5ab^3=8ab^3$;

2) $5x^3y^2+9x^3y^2=14x^3y^2$;

3) $frac{1}{2}ab^2+frac{1}{2}ab^2=ab^2$ т.к. $frac{1}{2}+frac{1}{2}=1$.

Правило вычитания подобных одночленов:

буквенную часть оставляем без изменений, коэффициенты надо вычесть в «правильном» порядке.

Правило группирования подобных одночленов: — переставляем подобные рядом с друг другом.

Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб «похожие оказались вместе».

Группируем по схожести: все персики рядом; все груши рядом с друг другом; все $x^2$ рядом; все «голые» числа рядом.

Пример 2: Выполнить вычитание одночленов

1) $5x^3y^3z^2-9x^3y^3z^2=left(5-9right)x^3y^3z^2=-4x^3y^3z^2$;

2) $2ab^2c-7ab^2c=left(2-7right)ab^2c=-5ab^2c$;

3) $19yz^5-13yz^5=left(19-13right)yz^5=6yz^5$;

4) $4xyz^3+3xyz^3-2xyz^3=left(4+3-2right)xyz^3=5xyz^3$

Пример 3: Упростить выражение $5xy^2-3ycdot0,5xy+7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)$

Первый одночлен записан в стандартном виде, второй и третий нет! значит, выполняем приведение.

Приведем к стандартному виду 2-ой одночлен: $3ycdot0,5xy=3cdot0,5cdot xcdot y^{1+1}=1,5xy^2$ .

приведем к стандартному виду 3-ий одночлен: $7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)=7cdot2cdotleft(-0,5right)cdot xcdot y^{1+1}=-7xy^2$

перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований, получим:

$5xy^2-3ycdot0,5xy+7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)=5xy^2-1,5xy^2-7xy^2$ мы видим одинаковые буквенные части.

Значит, они подобны и мы имеем право их складывать и вычитать. С учетом коэффициентов.

Выполним необходимые действия: $5xy^2-1,5xy^2-7xy^2=(5-1.5-7)xy^2=-3,5xy^2$

Пример 4: Выполнить сложение $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b$

cгруппируем подобные одночлены: $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b=a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3$,

выполним сложение подобных: $a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3=4a^3b+5ab^3$, «персики отдельно, груши отдельно»:

Взгляд: $a^3b$ назовем персиками, $ab^3$ — грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.

Пример 5: Среди одночленов $5x^2y$; $9x^2y$; $15xy^2$; $x^2y$ найти подобные, сложить их.

Очевидно, что в точности одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены.

выполним их сложение: $5x^2y+9x^2y+x^2y=left(5+9+1right)x^2y=15x^2y$; фактически — складываем коэффициенты!

Пример 6: Упростить выражение $frac{1}{3}ab^2a+frac{1}{2}abba+frac{1}{6}ab^2a$

установим, подобные ли одночлены; приведем их к стандартному виду: $frac{1}{3}ab^2a=frac{1}{3}a^{1+1}b^2=frac{1}{3}a^2b^2$;

$frac{1}{2}abba=frac{1}{2}a^{1+1}b^{1+1}=frac{1}{2}a^2b^2$; $frac{1}{6}ab^2a=frac{1}{6}a^{1+1}b^2=frac{1}{6}a^2b^2$; теперь, перепишем заданное выражение:

$frac{1}{3}ab^2a+frac{1}{2}abba+frac{1}{6}ab^2a=frac{1}{3}a^2b^2+frac{1}{2}a^2b^2+frac{1}{6}a^2b^2$; чтоб сложить дроби, надо привести их к общему

знаменателю и только потом складывать. $frac{1}{3}a^2b^2+frac{1}{2}a^2b^2+frac{1}{6}a^2b^2=left(frac{1}{3}+frac{1}{2}+frac{1}{6}right)a^2b^2=frac{2+3+1}{6}a^2b^2=a^2b^2$;

похоже на сложение дробей: $frac{x}{3}+frac{x}{2}+frac{x}{6}=x$ , если $a^2b^2$ вообразить как одну букву $x$. Или, «персик».

Пример 7: Упростить выражение $frac{1}{2}xyzx+frac{1}{5}yleft(-xright)zx-frac{1}{10}xzyx$

$frac{1}{2}xyzx+frac{1}{5}yleft(-xright)zx-frac{1}{10}xzyx=frac{1}{2}x^2yz-frac{1}{5}x^2yz-frac{1}{10}x^2yz=left(frac{1}{2}-frac{1}{5}-frac{1}{10}right)x^2yz=frac{5-2-1}{10}x^2yz=frac{2}{10}x^2yz=frac{1}{5}x^2yz$

в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!

Группирование многочленов, приведение подобных

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. «алгебраическая … означает и «+» и «-«.

Группирование: подобные слагаемые в выражениии можно переставлять местами и объединять в группы.

Пример 8: Группировать, привести подобные $-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14$

переставим слагаемые, подобные рядом: квадраты с квадратами, линейные с линейными, числа с числами:

$-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=$ затем для наглядности заключим их в скобки

$left(13x^2-5x^2right)+left(5x-19xright)+left(14-10right)=8x^2-14x-4$, мы провели операцию приведения подобных.

Пример 9: Группировать, привести подобные $-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13$

$-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=left(10x^2-6x^2right)-left(15x+12xright)-left(7+13right)$

Внимание на знаки! если перед скобкой поставить минус, внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!

Приведение подобных — это их сложение / вычитание. Чтобы сложить / вычесть подобные надо сложить / вычесть их

коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Суть приведения подобных — упрощение выражения.

Пример 10: Группировать, привести подобные $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$

в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом: $=8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=$

$=left(8y^2-2y^2right)+left(5y-6yright)+left(4-7right)=6y^2-y-3$ объединим их в группы, для наглядности заключим стоящие

рядом в скобки; после можно приводить подобные, т.е складывать/вычитать: квадраты отдельно, линейные

отдельно, числа отдельно. итак, исходное выражение $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$ стало равным $6y^2-y-3$

оно упростилось: стало короче и проще, но по сути не изменилось, стало тождественным исходному.

Интерактивная Доска:

Упражнения:

Источник

Сложение и вычитание одночленов

Подобные одночлены

Сложение одночленов

Вычитание одночленов

Что такое подобные одночлены?

Сложение, вычитание подобных одночленов.

Группирование многочленов, приведение подобных

Интерактивная Доска:

Упражнения:

Не пропустите также: