Загрузить PDF
Загрузить PDF
Самый распространенный способ вычислить площадь треугольника — это разделить пополам результат перемножения высоты и основания. Но существуют и другие формулы для вычисления площади треугольника, которые применяются в зависимости от данных значений. Также можно найти площадь треугольника по известным сторонам и углам треугольника (то есть без использования высоты).
-
1
Найдите основание и высоту треугольника. Основание — это одна из сторон треугольника. Высота — это перпендикуляр, проведенный к основанию из противолежащей вершины треугольника. Значения основания и высоты будут даны в задаче или нужно измерить их.
- Например, дан треугольник с основанием 5 см и высотой 3 см.
-
2
Запишите формулу для вычисления площади треугольника. Формула:
, где
— основание,
— высота.[1]
Обратите внимание: здесь и далее на рисунках площадь обозначена как, но в формулах используется
.
-
3
Подставьте значения основания и высоты в формулу. Перемножьте эти значения, а затем разделите их на 2 (или умножьте на
). Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
-
4
Найдите площадь прямоугольного треугольника. Так как две стороны (катеты) прямоугольного треугольника перпендикулярны, один из катетов является высотой, а второй — основанием. Таким образом, если значения основания и высоты в задаче не даны, можно определить их по длинам сторон треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле:
Реклама
-
1
-
2
Запишите формулу Герона. Формула:
, где
— полупериметр,
,
,
— стороны треугольника.[3]
-
3
Подставьте значения полупериметра и сторон в формулу. Полупериметр подставляется вместо
.
-
4
Вычислите выражения в скобках. Вычтите значение каждой стороны из значения полупериметра. Затем перемножьте полученные результаты.
-
5
Перемножьте значения, стоящие под знаком корня. Затем из полученного результата извлеките квадратный корень. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
Реклама
-
1
Найдите длину одной стороны треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, поэтому достаточно знать значение только одной стороны.[4]
- Например, дан треугольник, все стороны которого равны 6 см.
-
2
Запишите формулу для вычисления площади равностороннего треугольника. Формула:
, где
— сторона равностороннего треугольника.[5]
-
3
В формулу подставьте значение стороны треугольника. Оно подставляется вместо
. Затем возведите значение в квадрат.
-
4
Умножьте квадрат стороны на
. Чтобы извлечь корень и получить точное значение, воспользуйтесь калькулятором. Если калькулятора нет,
≈ 1,732.
-
5
Результат разделите на 4. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
Реклама
-
1
Найдите длины двух смежных сторон и прилежащий угол. Смежные стороны сходятся в одной вершине треугольника.[6]
Прилежащий угол находится между смежными сторонами.- Например, дан треугольник, смежные стороны которого равны 150 см и 231 см, а угол между ними равен 123 градуса.
-
2
Запишите формулу для вычисления площади треугольника с помощью тригонометрических функций. Формула:
, где
и
— смежные стороны,
— угол между ними.[7]
-
3
В формулу подставьте значения сторон. Они подставляются вместо
и
. Перемножьте значения, а затем результат разделите на 2.
-
4
В формулу подставьте синус угла. Синус угла можно найти с помощью научного калькулятора: введите значение угла, а затем нажмите кнопку «Sin».
-
5
Перемножьте два значения. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
Реклама
Советы
- Сейчас мы поясним принцип работы формулы, в которой присутствуют основание и высота. Если нарисовать второй треугольник, идентичный данному, а затем соединить два треугольника, получится либо прямоугольник (в случае двух прямоугольных треугольников), либо параллелограмм (в случае двух непрямоугольных треугольников). Чтобы вычислить площадь прямоугольника или параллелограмма, просто умножьте основание на высоту. Поскольку треугольник является половиной прямоугольника или параллелограмма, нужно найти половину произведения высоты на основание.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 1 729 744 раза.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
The most common way to find the area of a triangle is to take half of the base times the height. Numerous other formulas exist, however, for finding the area of a triangle, depending on what information you know. Using information about the sides and angles of a triangle, it is possible to calculate the area without knowing the height.
-
1
Find the base and height of the triangle. The base is one side of the triangle. The height is the measure of the tallest point on a triangle. It is found by drawing a perpendicular line from the base to the opposite vertex. This information should be given to you, or you should be able to measure the lengths.
- For example, you might have a triangle with a base measuring 5 cm long, and a height measuring 3 cm long.
-
2
Set up the formula for the area of a triangle. The formula is
, where
is the length of the triangle’s base, and
is the height of the triangle.[1]
Advertisement
-
3
Plug the base and height into the formula. Multiply the two values together, then multiply their product by
. This will give you the area of the triangle in square units.
-
4
Find the area of a right triangle. Since two sides of a right triangle are perpendicular, one of the perpendicular sides will be the height of the triangle. The other side will be the base. So, even if the height and/or base is unstated, you are given them if you know the side lengths. Thus you can use the
formula to find the area.
Advertisement
-
1
Calculate the semiperimeter of the triangle. The semi-perimeter of a figure is equal to half its perimeter. To find the semiperimeter, first calculate the perimeter of a triangle by adding up the length of its three sides. Then, multiply by
.[2]
-
2
Set up Heron’s formula. The formula is
, where
is the semiperimeter of the triangle, and
,
, and
are the side lengths of the triangle.[3]
-
3
Plug the semiperimeter and side lengths into the formula. Make sure you substitute the semiperimeter for each instance of
in the formula.
-
4
Calculate the values in parentheses. Subtract the length of each side from the semiperimeter. Then, multiply these three values together.
-
5
Multiply the two values under the radical sign. Then, find their square root. This will give you the area of the triangle in square units.
Advertisement
-
1
Find the length of one side of the triangle. An equilateral triangle has three equal side lengths and three equal angle measurements, so if you know the length of one side, you know the length of all three sides.[4]
- For example, you might have a triangle with three sides that are 6 cm long.
-
2
Set up the formula for the area of an equilateral triangle. The formula is
, where
equals the length of one side of the equilateral triangle.[5]
-
3
Plug the side length into the formula. Make sure you substitute for the variable
, and then square the value.
-
4
Multiply the square by
. It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of
.
-
5
Divide the product by 4. This will give you the area of the triangle in square units.
Advertisement
-
1
Find the length of two adjacent sides and the included angle. Adjacent sides are two sides of a triangle that meet at a vertex.[6]
The included angle is the angle between these two sides.- For example, you might have a triangle with two adjacent sides measuring 150 cm and 231 cm in length. The angle between them is 123 degrees.
-
2
Set up the trigonometry formula for the area of a triangle. The formula is
, where
and
are the adjacent sides of the triangle, and
is the angle between them.[7]
-
3
Plug the side lengths into the formula. Make sure you substitute for the variables
and
. Multiply their values, then divide by 2.
-
4
Plug the sine of the angle into the formula. You can find the sine using a scientific calculator by typing in the angle measurement then hitting the “SIN” button.
-
5
Multiply the two values. This will give you the area of the triangle in square units.
Advertisement
Practice Problems
Add New Question
-
Question
How do I find the length and width of a triangle before calculating the area?
It should be included in the problem. If it is a right triangle, use the Pythagorean Theorem (A squared + B squared = C squared) to find the missing side.
-
Question
How can I calculate the area of an equilateral triangle?
If you know the base and height, you can use the standard formula A = 1/2bh. If you know the three side lengths, you can use the method for equilateral triangles described in this article.
-
Question
How can I find the area of an isosceles right triangle?
The legs must be the sides that are equal, so you just square the length of one of the legs and divide by 2. If you only have the hypotenuse: since isosceles right triangles come in the ratio 1-1-(square root of 2), you just divide the hypotenuse by sqrt(2), square what you get, and divide by 2.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
If you’re not exactly sure why the base-height formula works this way, here’s a quick explanation. If you make a second, identical triangle and fit the two copies together, it will either form a rectangle (two right triangles) or a parallelogram (two non-right triangles). To find the area of a rectangle or parallelogram, simply multiply base by height. Since a triangle is half of a rectangle or parallelogram, you must therefore solve for half of base times height.
Advertisement
About This Article
Article SummaryX
To calculate the area of a triangle, start by measuring 1 side of the triangle to get the triangle’s base. Then, measure the height of the triangle by measuring from the center of the base to the point directly across from it. Once you have the triangle’s height and base, plug them into the formula: area = 1/2(bh), where «b» is the base and «h» is the height. To learn how to calculate the area of a triangle using the lengths of each side, read the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,099,625 times.
Did this article help you?
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
a — основание треугольника; h — высота треугольника.
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<
a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
a, b — катеты треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
a, b — стороны треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
a — сторона равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
h — высота равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие площади
Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.
Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.
Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется
$5cdot 6=30$
Тогда площадь треугольника равняется
$30:2=15$
Ответ: $15$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.
Как найти площадь треугольника через высоту и основание
Теорема 1
Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{1}{2}αh$
где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.
Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $hcdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $hcdot HC$. Тогда
$S_ABH=frac{1}{2}hcdot AH$, $S_CBH=frac{1}{2}hcdot HC$
Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется
$S=S_ABH+S_CBH=frac{1}{2}hcdot AH+frac{1}{2}hcdot HC=frac{1}{2}hcdot (AH+HC)=frac{1}{2}αh$
Теорема доказана.
«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇
Пример 2
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим
$S=frac{1}{2}cdot 9cdot 9=40,5$
Ответ: $40,5$.
Формула Герона
Теорема 2
Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом
$S=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.
Доказательство.
Рассмотрим следующий рисунок:
По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим
$h^2=γ^2-x^2$
Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Из этих двух соотношений получаем равенство
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
То есть
$x=frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$
Получим
$h^2=γ^2-(frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$
$h^2=frac{(α^2-(γ-β)^2 )((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$
$h^2=frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$
Так как $ρ=frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит
$h^2=frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$
$h^2=frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$
$h=sqrt{frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$
$h=frac{2}{β}sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
По теореме 1, получим
$S=frac{1}{2} βh=frac{β}{2}cdot frac{2}{β} sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
Теорема доказана.
Площадь равностороннего треугольника
Теорема 3
Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $frac{sqrt{3}}{4}$.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
где $α$ – сторона треугольника.
Доказательство.
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).
Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора
$h^2=α^2-frac{α^2}{4}$
$h^2=frac{3}{4} α^2$
$h=frac{αsqrt{3}}{2}$
Значит по теореме 1:
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
Теорема доказана.
Пример 3
Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.
Решение.
Используя теорему 3, получим
$S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$
Ответ: $sqrt{3}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.
Онлайн-калькулятор площади треугольника
Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).
Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.
Формула площади треугольника по основанию и высоте
S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,
aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.
Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).
Решение
a=10a=10
h=5h=5
Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)
Ответ: 25 (см. кв.)
Формула площади треугольника по длинам всех сторон
S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},
a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):
p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)
Эта формула называется формулой Герона.
Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
Найдем половину периметра pp:
p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6
Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:
S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)
Ответ: 6 (см. кв.)
Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам
S=a22⋅sinβsinγsin(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},
aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.
Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}
По формуле:
S=1022⋅sin30∘sin30∘sin(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)
Ответ: 14.4 (см. кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},
a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.
Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10
S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)
Ответ: 1.5 (см.кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
S=p⋅rS=pcdot r,
pp — половина периметра треугольника:
p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},
a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.
Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2
p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6
S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)
Ответ: 12 (см. кв.)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
S=12⋅b⋅c⋅sin(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),
b,cb, c — стороны треугольника;
αalpha — угол между сторонами bb и cc.
Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}
S=12⋅5⋅6⋅sin(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)
Ответ: 7.5 (см. кв.)
Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!