Как найти площадь треугольника в квадратных единицах


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Самый распространенный способ вычислить площадь треугольника — это разделить пополам результат перемножения высоты и основания. Но существуют и другие формулы для вычисления площади треугольника, которые применяются в зависимости от данных значений. Также можно найти площадь треугольника по известным сторонам и углам треугольника (то есть без использования высоты).

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 1

    1

    Найдите основание и высоту треугольника. Основание — это одна из сторон треугольника. Высота — это перпендикуляр, проведенный к основанию из противолежащей вершины треугольника. Значения основания и высоты будут даны в задаче или нужно измерить их.

    • Например, дан треугольник с основанием 5 см и высотой 3 см.
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 2

    2

    Запишите формулу для вычисления площади треугольника. Формула: {text{S}}={frac  {1}{2}}(bh), где b — основание, h — высота.[1]
    Обратите внимание: здесь и далее на рисунках площадь обозначена как A, но в формулах используется S.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 3

    3

    Подставьте значения основания и высоты в формулу. Перемножьте эти значения, а затем разделите их на 2 (или умножьте на {frac  {1}{2}}). Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 4

    4

    Найдите площадь прямоугольного треугольника. Так как две стороны (катеты) прямоугольного треугольника перпендикулярны, один из катетов является высотой, а второй — основанием. Таким образом, если значения основания и высоты в задаче не даны, можно определить их по длинам сторон треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: {text{S}}={frac  {1}{2}}(bh)

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 5

    1

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 6

    2

    Запишите формулу Герона. Формула: {text{S}}={sqrt  {p(p-a)(p-b)(p-c)}}, где p — полупериметр, a, b, c — стороны треугольника.[3]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 7

    3

    Подставьте значения полупериметра и сторон в формулу. Полупериметр подставляется вместо p.

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 8

    4

    Вычислите выражения в скобках. Вычтите значение каждой стороны из значения полупериметра. Затем перемножьте полученные результаты.

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 9

    5

    Перемножьте значения, стоящие под знаком корня. Затем из полученного результата извлеките квадратный корень. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 10

    1

    Найдите длину одной стороны треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, поэтому достаточно знать значение только одной стороны.[4]

    • Например, дан треугольник, все стороны которого равны 6 см.
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 11

    2

    Запишите формулу для вычисления площади равностороннего треугольника. Формула: {text{S}}=(a^{{2}}){frac  {{sqrt  {3}}}{4}}, где a — сторона равностороннего треугольника.[5]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 12

    3

    В формулу подставьте значение стороны треугольника. Оно подставляется вместо a. Затем возведите значение в квадрат.

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 13

    4

    Умножьте квадрат стороны на {sqrt  {3}}. Чтобы извлечь корень и получить точное значение, воспользуйтесь калькулятором. Если калькулятора нет, {sqrt  {3}} ≈ 1,732.

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 14

    5

    Результат разделите на 4. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 15

    1

    Найдите длины двух смежных сторон и прилежащий угол. Смежные стороны сходятся в одной вершине треугольника.[6]
    Прилежащий угол находится между смежными сторонами.

    • Например, дан треугольник, смежные стороны которого равны 150 см и 231 см, а угол между ними равен 123 градуса.
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 16

    2

    Запишите формулу для вычисления площади треугольника с помощью тригонометрических функций. Формула: {text{S}}={frac  {bc}{2}}sin A, где b и c — смежные стороны, A — угол между ними.[7]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 17

    3

    В формулу подставьте значения сторон. Они подставляются вместо b и c. Перемножьте значения, а затем результат разделите на 2.

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 18

    4

    В формулу подставьте синус угла. Синус угла можно найти с помощью научного калькулятора: введите значение угла, а затем нажмите кнопку «Sin».

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Triangle Step 19

    5

    Перемножьте два значения. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).

    Реклама

Советы

  • Сейчас мы поясним принцип работы формулы, в которой присутствуют основание и высота. Если нарисовать второй треугольник, идентичный данному, а затем соединить два треугольника, получится либо прямоугольник (в случае двух прямоугольных треугольников), либо параллелограмм (в случае двух непрямоугольных треугольников). Чтобы вычислить площадь прямоугольника или параллелограмма, просто умножьте основание на высоту. Поскольку треугольник является половиной прямоугольника или параллелограмма, нужно найти половину произведения высоты на основание.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 1 729 744 раза.

Была ли эта статья полезной?


Download Article


Download Article

The most common way to find the area of a triangle is to take half of the base times the height. Numerous other formulas exist, however, for finding the area of a triangle, depending on what information you know. Using information about the sides and angles of a triangle, it is possible to calculate the area without knowing the height.

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 1

    1

    Find the base and height of the triangle. The base is one side of the triangle. The height is the measure of the tallest point on a triangle. It is found by drawing a perpendicular line from the base to the opposite vertex. This information should be given to you, or you should be able to measure the lengths.

    • For example, you might have a triangle with a base measuring 5 cm long, and a height measuring 3 cm long.
  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 2

    2

    Set up the formula for the area of a triangle. The formula is {text{Area}}={frac  {1}{2}}(bh), where b is the length of the triangle’s base, and h is the height of the triangle.[1]

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 3

    3

    Plug the base and height into the formula. Multiply the two values together, then multiply their product by {frac  {1}{2}}. This will give you the area of the triangle in square units.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 4

    4

    Find the area of a right triangle. Since two sides of a right triangle are perpendicular, one of the perpendicular sides will be the height of the triangle. The other side will be the base. So, even if the height and/or base is unstated, you are given them if you know the side lengths. Thus you can use the {text{Area}}={frac  {1}{2}}(bh) formula to find the area.

  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 5

    1

    Calculate the semiperimeter of the triangle. The semi-perimeter of a figure is equal to half its perimeter. To find the semiperimeter, first calculate the perimeter of a triangle by adding up the length of its three sides. Then, multiply by {frac  {1}{2}}.[2]

  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 6

    2

    Set up Heron’s formula. The formula is {text{Area}}={sqrt  {s(s-a)(s-b)(s-c)}}, where s is the semiperimeter of the triangle, and a, b, and c are the side lengths of the triangle.[3]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 7

    3

    Plug the semiperimeter and side lengths into the formula. Make sure you substitute the semiperimeter for each instance of s in the formula.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 8

    4

    Calculate the values in parentheses. Subtract the length of each side from the semiperimeter. Then, multiply these three values together.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 9

    5

    Multiply the two values under the radical sign. Then, find their square root. This will give you the area of the triangle in square units.

  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 10

    1

    Find the length of one side of the triangle. An equilateral triangle has three equal side lengths and three equal angle measurements, so if you know the length of one side, you know the length of all three sides.[4]

    • For example, you might have a triangle with three sides that are 6 cm long.
  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 11

    2

    Set up the formula for the area of an equilateral triangle. The formula is {text{Area}}=(s^{{2}}){frac  {{sqrt  {3}}}{4}}, where s equals the length of one side of the equilateral triangle.[5]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 12

    3

    Plug the side length into the formula. Make sure you substitute for the variable s, and then square the value.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 13

    4

    Multiply the square by {sqrt  {3}}. It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of {sqrt  {3}}.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 14

    5

    Divide the product by 4. This will give you the area of the triangle in square units.

  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 15

    1

    Find the length of two adjacent sides and the included angle. Adjacent sides are two sides of a triangle that meet at a vertex.[6]
    The included angle is the angle between these two sides.

    • For example, you might have a triangle with two adjacent sides measuring 150 cm and 231 cm in length. The angle between them is 123 degrees.
  2. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 16

    2

    Set up the trigonometry formula for the area of a triangle. The formula is {text{Area}}={frac  {bc}{2}}sin A, where b and c are the adjacent sides of the triangle, and A is the angle between them.[7]

  3. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 17

    3

    Plug the side lengths into the formula. Make sure you substitute for the variables b and c. Multiply their values, then divide by 2.

  4. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 18

    4

    Plug the sine of the angle into the formula. You can find the sine using a scientific calculator by typing in the angle measurement then hitting the “SIN” button.

  5. Image titled Calculate the Area of a Triangle Step 19

    5

    Multiply the two values. This will give you the area of the triangle in square units.

  6. Advertisement

Practice Problems

Add New Question

  • Question

    How do I find the length and width of a triangle before calculating the area?

    Community Answer

    It should be included in the problem. If it is a right triangle, use the Pythagorean Theorem (A squared + B squared = C squared) to find the missing side.

  • Question

    How can I calculate the area of an equilateral triangle?

    Community Answer

    If you know the base and height, you can use the standard formula A = 1/2bh. If you know the three side lengths, you can use the method for equilateral triangles described in this article.

  • Question

    How can I find the area of an isosceles right triangle?

    Community Answer

    The legs must be the sides that are equal, so you just square the length of one of the legs and divide by 2. If you only have the hypotenuse: since isosceles right triangles come in the ratio 1-1-(square root of 2), you just divide the hypotenuse by sqrt(2), square what you get, and divide by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

  • If you’re not exactly sure why the base-height formula works this way, here’s a quick explanation. If you make a second, identical triangle and fit the two copies together, it will either form a rectangle (two right triangles) or a parallelogram (two non-right triangles). To find the area of a rectangle or parallelogram, simply multiply base by height. Since a triangle is half of a rectangle or parallelogram, you must therefore solve for half of base times height.

Advertisement

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a triangle, start by measuring 1 side of the triangle to get the triangle’s base. Then, measure the height of the triangle by measuring from the center of the base to the point directly across from it. Once you have the triangle’s height and base, plug them into the formula: area = 1/2(bh), where «b» is the base and «h» is the height. To learn how to calculate the area of a triangle using the lengths of each side, read the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,099,625 times.

Did this article help you?

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона


Треугольник с тремя сторонами


Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.


Через основание и высоту


Треугольник с основанием и высотой


Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.


Через две стороны и угол


Треугольник с двумя сторонами и углом


Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.


Через сторону и два прилежащих угла


Треугольник со стороной и двумя углами


Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.


Площадь прямоугольного треугольника


Площадь прямоугольного треугольника


Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.


Площадь равнобедренного треугольника через стороны


Площадь равнобедренного треугольника


Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.


Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол


Площадь равнобедренного треугольника


Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.


Площадь равностороннего треугольника через стороны


Площадь равностороннего треугольника


Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через высоту


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.


Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности


Площадь равностороннего треугольника


Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.


Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны


Площадь треугольника


Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.


Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны


Площадь треугольника


Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

$5cdot 6=30$

Тогда площадь треугольника равняется

$30:2=15$

Ответ: $15$.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=frac{1}{2}αh$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $hcdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $hcdot HC$. Тогда

$S_ABH=frac{1}{2}hcdot AH$, $S_CBH=frac{1}{2}hcdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=frac{1}{2}hcdot AH+frac{1}{2}hcdot HC=frac{1}{2}hcdot (AH+HC)=frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=frac{1}{2}cdot 9cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

$h^2=γ^2-x^2$

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

То есть

$x=frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

Получим

$h^2=γ^2-(frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=frac{(α^2-(γ-β)^2 )((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=sqrt{frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=frac{2}{β}sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=frac{1}{2} βh=frac{β}{2}cdot frac{2}{β} sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Теорема доказана.

Площадь равностороннего треугольника

Теорема 3

Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $frac{sqrt{3}}{4}$.

Математически это выглядит следующим образом

$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$

где $α$ – сторона треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).

Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора

$h^2=α^2-frac{α^2}{4}$

$h^2=frac{3}{4} α^2$

$h=frac{αsqrt{3}}{2}$

Значит по теореме 1:

$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$

Теорема доказана.

Пример 3

Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.

Решение.

Используя теорему 3, получим

$S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$

Ответ: $sqrt{3}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},

a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример

площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22⋅sin⁡βsin⁡γsin⁡(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},

aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример

площадь треугольника

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}

По формуле:

S=1022⋅sin⁡30∘sin⁡30∘sin⁡(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

площадь треугольника

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=p⋅rS=pcdot r,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

площадь треугольника

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6

S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),

b,cb, c — стороны треугольника;

αalpha — угол между сторонами bb и cc.

Пример

площадь треугольника

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}

S=12⋅5⋅6⋅sin⁡(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!

Тест на тему “Плошадь треугольника”

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти омонимичные окончания
  • Как найти счет за границей
  • Как найти отличную обувь
  • Как нашли врача в питере
  • Найти как девушка танцует стриптиз

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии