Как найти площадь треугольника через теорему синусов - Avtoru.top

Уважаемый пользователь! Для получения полного доступа ко всем функциями сайта, пожалуйста, пополните счёт

690 руб.

+ 1 месяц

Получите 1 месяц полного доступа

Пополнить счёт

1400 руб.

+ 3 месяца

Вы экономите 625₽!

Получите 3 месяца полного доступа

Пополнить счёт

3890 руб.

+ 9 месяцев

Вы экономите 2119₽!

Получите 9 месяцев полного доступа

Пополнить счёт

Если вы хотите использовать платформу как репетитор или как учитель, пожалуйста, свяжитесь с нами

Источник

Площадь треугольника через синус

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Введение

Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!

Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

( S = frac<1>2 * BC * AC * sin angle BCA )

Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.

Формула

[ S = frac<1>2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ( S = frac<1>2*a*b*sin α ) ( implies ) ( S = frac<1>2*mk*ok*sin okm )

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.

Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.

Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.

Заключение

В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.

Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Формулировка теоремы о площади треугольника:

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C).

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h, где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)

Площадь треугольников.

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

Что такое синус/косинус.

Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

Теорема синусов и косинусов.

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

Площадь произвольного треугольника

Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.

Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:

Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):

Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:

А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.

Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.

Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

Задача №1. Дано на рисунке:

Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.

Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα

Ответ: 60

Задача №2. Дано на рисунке:

Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:

Теперь можно подставить все числа в формулу площади:

Главное — правильно определиться с формулой.

Задача №3. Дано на рисунке:

В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.

Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

Задача №4. Дано на рисунке:

Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°

∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:

В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

Задача №5. Дано на рисунке:

В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).

Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.

Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.

Ответ: 14,2 и 150°

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

Относительно угла α:

Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!

Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.

Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?

Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.

Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.

Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».

Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:

Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

Задача №6. Дано на рисунке:

В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!

Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

Задача №7. Дано на рисунке:

Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.

В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!

Теорема синусов и теорема косинусов

Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.

Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

Задача №8. Дано на рисунке:

Запишем теорему синусов для двух отношений:

Выразим отсюда KT:

∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:

Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

Аналогично выразим LT:

Ответ: 16,3 и 22,3

Задача №9. Дано на рисунке:

Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

Икс выразим через игрек:

Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!

Что нужно знать:

Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
Равенство и подобие треугольников.
Что такое медиана, биссектриса, высота.
Свойства треугольников.
Площадь треугольников.
Синус/косинус в треугольнике.
Теорему синусов и косинусов.

источники:

http://www.sites.google.com/site/trigonometry121/teorema-o-nahozdenie-plosadi-cerez-sinus

http://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_po_trieughol_nikam_chast_ii_

Источник

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

$[S = frac{1}{2}absin alpha ]$

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AB cdot AC cdot sin angle A]$

Доказательство:

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

Площадь треугольника

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BD.]$

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

$[sin angle A = frac{{BD}}{{AB}}.]$

Отсюда

Таким образом,

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BD = frac{1}{2}AC cdot AB cdot sin angle A.]$

Если в треугольнике ABC

угол A тупой,

то в треугольнике ABD

$[angle BAD = {180^o} - angle BAC]$

(как смежные).

По формуле

$[sin ({180^o} - alpha ) = sin alpha ]$

имеем:

$[sin angle BAD = sin ({180^o} - angle BAC) = ]$

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

а значит, верна формула

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AB cdot AC cdot sin angle A.]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Площадь треугольника через синус угла

Если вам необходимо вычислить площадь треугольника через синус угла, тогда вы зашли именно по адресу, потому что сегодня мы детально изучим этот вопрос.

Подобный род задач достаточно распространен в геометрии и, несмотря на свою простоту, неправильное использование формулы может привести к неверному результату.

В общем случае площадь треугольника можно вычислить по формуле: половина произведения двух сторон на синуса угла между ними.

Формулы площади треугольника через синус угла:

Схематическое изображение треугольника:

Где b, с, а – стороны треугольника;

γ, α, β – углы между сторонами.

Если известна только одна сторона и величины всех трех углов, тогда площадь можно найти как:

Площадь равнобедренного треугольника через синус:

здесь a = c,

β – угол между a и c,

α – угол между a и b.

Как можно было увидеть вышеуказанная формула ничем не отличается от общей.

Площадь прямоугольного треугольника через синус:

Где а,b,с – стороны треугольника

А,В,С – углы между сторонами.

Пример задачи

Рассмотрим задачу, в которой известно размеры двух сторон треугольника, а также величина угла между ними. Таким образом, мы можем определить площадь треугольника, которая находится как половина произведения двух сторон и синуса угла между ними.

Источник

Содержание

Определение
Введение
Теорема
Формула
Пример
Доказательство
Заключение

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Введение

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

( S = frac{1}2 * BC * AC * sin angle BCA )

Формула

[ S = frac{1}2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ( S = frac{1}2*a*b*sin α )( implies )( S = frac{1}2*mk*ok*sin okm )

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Заключение

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Источник

Площадь треугольника через синус

Определение

Введение

Теорема

Формула

Пример

Доказательство

Заключение

Формулировка теоремы о площади треугольника:

Доказательство:

Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)

Площадь произвольного треугольника

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

Теорема синусов и теорема косинусов

Что нужно знать:

Площадь треугольника через синус угла

Формулы площади треугольника через синус угла:

Площадь равнобедренного треугольника через синус:

Площадь прямоугольного треугольника через синус:

Пример задачи

Определение

Введение

Теорема

Формула

Пример

Доказательство

Заключение

Не пропустите также: