Как найти площадь сечения параллельного основанию пирамиды

Напомним,
что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит –угольник,
а остальные  граней
– треугольники с общей вершиной.

Многоугольник
 называется
основанием пирамиды.

Треугольники
,
,
…,  называются
боковыми гранями пирамиды.

Точка
 –
вершиной пирамиды, а отрезки ,
,
…,  –
её боковыми рёбрами.

Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к
этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамиду
с вершиной  и
основанием  называют
-угольной
пирамидой и обозначают так: .

Диагональное
сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит
через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Объединение
боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение
всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Тогда
площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её
боковых граней.

А
площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её
граней.

Объём
пирамиды равен:

.

Пирамида,
в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё
название.

Пирамида
называется правильной, если её основанием является правильный
многоугольник, а все боковые рёбра равны.

Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота
боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания,
называется апофемой.

Выше
изображена правильная пирамида.  –
одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим
некоторые свойства правильной -угольной
пирамиды.

1.
В правильной -угольной
пирамиде все боковые рёбра равны между собой.

2.
Боковые рёбра равно наклонены к основанию.

3.
Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.

4.
Боковые грани равно наклонены к основанию.

5.
Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром
основания).

6.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

.

7.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания  и
высотой  равен:

.

Параллельное
сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью,
параллельной основанию.

Параллельное
сечение пирамиды обладает следующими свойствами:

1.
сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых
рёбрах пропорциональные отрезки;

2.
в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3.
площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.

Усечённая
пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и
параллельным сечением пирамиды.

Основания
усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных
плоскостях.

Боковые
грани усечённой пирамиды – трапеции.

Высота
усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего
основания на плоскость нижнего.

Площадь
полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади
боковой поверхности и площадей двух оснований.

Объём
усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его
ещё можно вычислить по следующей формуле:

.

Правильная
усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.

Апофема
– высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Площадь
боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:

.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача
первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой
взаимно перпендикулярны и равны  см,
 см
и  см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Задача
вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной
основания  см
и высотой  см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

Задача
третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной
пирамиды ,
если стороны её оснований равны  см
и  см,
а боковое ребро равно  см.

Решение.

Задача
четвёртая. В пирамиде  боковое
ребро  перпендикулярно
основанию и равно ребру .
Треугольник  –
прямоугольный с катетами  см
и  см.
Найдите объём пирамиды.

Решение.

Задача
пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с
ребром основания, равным  см,
и боковым ребром, равным  см.

Решение.

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

Вам будет интересно:Что значит слыть: толкование, синонимы

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

• круглое;
• прямоугольное;
• эллиптическое.

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

S1 = pi*r2

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

S2 = 2*r*h

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

• круглое;
• эллиптическое;
• параболическое;
• гиперболическое;
• треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

S1 = pi*r2*z2/h2

Здесь z — это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S1 будет равна нулю. Поскольку z < h, то площадь изучаемого сечения будет всегда меньше ее значения для основания.

Треугольное получается, когда плоскость пересекает фигуру по ее оси вращения. Формой получившегося сечения будет равнобедренный треугольник, сторонами которого являются диаметр основания и две образующие конуса. Как находить площадь сечения треугольного? Ответом на этот вопрос будет следующая формула:

S2 = r*h

Это равенство получается, если применить формулу для площади произвольного треугольника через длину его основания и высоту.

Сечения призмы

Призма — это большой класс фигур, которые характеризуются наличием двух одинаковых параллельных друг другу многоугольных оснований, соединенных параллелограммами. Любое сечение призмы — это многоугольник. В виду разнообразия рассматриваемых фигур (наклонные, прямые, n-угольные, правильные, вогнутые призмы) велико и разнообразие их сечений. Далее рассмотрим лишь некоторые частные случаи.

Если секущая плоскость параллельна основанию, то площадь сечения призмы будет равна площади этого основания.

Если плоскость проходит через геометрические центры двух оснований, то есть является параллельной боковым ребрам фигуры, тогда в сечении образуется параллелограмм. В случае прямых и правильных призм рассматриваемый вид сечения будет представлять собой прямоугольник.

Пирамида

Пирамида — это еще один многогранник, который состоит из n-угольника и n треугольников. Пример треугольной пирамиды показан ниже.

Если сечение проводится параллельной n-угольному основанию плоскостью, то его форма будет в точности равна форме основания. Площадь такого сечения вычисляется по формуле:

S1 = So*(h-z)2/h2

Где z — расстояние от основания до плоскости сечения, So — площадь основания.

Если секущая плоскость содержит вершину пирамиды и пересекает ее основание, то мы получим треугольное сечение. Для вычисления его площади необходимо обратиться к использованию соответствующей формулы для треугольника.