Как найти площадь сечения электромагнита

2.1. Исходные данные

Студенты,
у которых предпоследние цифры номера
зачетной книжки от 0 до 3, выбирают тип
магнитопровода согласно рис.2.1, от 3 до
7 — согласно рис.2.2, а от 7 до 9 — по рис.2.3.
Номер варианта выбирается по последней
цифре номера зачетной книжки в табл.2.1.

Таблица
2.1

Необходимо
произвести расчет основных размеров и
параметров однофазных электромагнитов
с экранирующими витками. Построить
график изменения электромагнитного
усилия во времени и от величины зазора.

2.2. Расчет электромагнита переменного тока

Эскизы
однофазных: электромагнитов переменного
тока с различными типами магнитопроводов
показаны на рис.2.1-2.3. Амплитудное значение
магнитного потока Ф_m
при действующем значении напряжении
питания U
, частоте f и числе витков обмотки W без
учета активного сопротивления обмотки
определяется по формуле

Ф_m
=
U/(4,
44 f
W)
. (2.1)

Число
витков обмотки приближенно равно

W
=
U/(4,
44 f
Ф_m)
. (2.2)

С
учетом активного сопротивления обмотки
(коэффициент

k_n
=0,7-0,9) при заданной индукции в рабочем
зазоре B_em
и активном сечении магнитопровода S_m
получим число витков

W
=
k_nU/
(4, 44 f B_em
S_m)
. (2.3)

Амплитудное
значение силы для однофазных систем
без экранирующего витка при равномерном
поле в рабочем зазоре и ненасыщенной
магнитной системе определяется по
формуле Максвелла [4]:

Р_эм
=
Ф²_m
/
(2₀
S_п),
(2.4)

где
S_п
— площадь полюса, м².

Среднее
значение силы

Р_mψ
=
Р_эм
/
2 . (2.5)

Если
магнитный поток изменяется по
синусоидальному закону Ф_i
=
Ф_msinωt,
то мгновенное значение электромагнитного
усилия, согласно (2.4), будет иметь вид

Р_эi
=
Р_эм
sin²ωt=
Р_эм
(1-
cos
2ωt).
(2.6)

2

Рис.2.1.
Эскиз электромагнита переменного тока
с втягивающимся якорем, имеющим квадратное
сечение: 1
— якорь; 2 — остов; 3 – обмотка

Методика
определения электромагнитного усилия
Р_э
в функции от величины зазора, а также
от времени для электромагнитов переменного
тока приведены в работах [1-4].

При
определении основных размеров и
параметров однофазных электромагнитов
с экранирующими витками площадь сечения
полюса (м²)
может
быть найдена по приближенной формуле,
полученной из уравнения Максвелла
исходя из условия отсутствия вибрации
якоря

S_п
=
1.12 к_р
Р_пр.
к ·10^-5
/
В²
_m
,
(2.7)

где
к_р

=
(1,1-1,3)
— коэффициент запаса по силе;
В_m
=
(1-1,2)
T_л
— индукция в рабочем зазоре, которую
выбирают вблизи колена кривой
намагничивания применяемых сталей;
Р_пр.к
–
расчетная
противодействующая
сила при притянутом якоре, Н (для
двухкатушечного электромагнита с двумя
рабочими зазорами
Р’_пр.к
=
0,5Р_пр.к
);
S_п
=b·a
—
площадь сечения полюса, м²;
в/а
=
1…2 — отношение
ширины полюса к его толщине.

1

Рис.2.2.
Эскиз двухкатушечного
П-образного
электромагнита переменного тока
с внешним прямоходовым якорем и
квадратным сечением полюса: 1
–
якорь; 2
–
экранирующий виток;
3 – остов;
4
–
обмотка

Для
двухкатушечного электромагнита при
квадратном сечении полюса размер стороны
квадрата (м), определяемый по приближенной
формуле [4] и условия превышения средней
электромагиитной силы над противодействующей
[4,8] , равен

,
(2.8)

где
Р_пр
—
сила для той точки противодействующей
характеристики, в которой произведение
силы на зазор является максимальным.

При
выбранной по уравнению (2.7) площади
полюса S_п
ширина полюса (м) (при условии квадратного
сечения) равна

,
(2.9)

где
∆_паз
—
ширина паза под экранирующий виток,
выбирается из конструктивных соображений,
м; k_зс
—
коэффициент заполнения по стали.

Рис.
2.3. Эскиз
клапанного П-образного электромагнита
переменного тока:
1
— якорь; 2 — сердечник; 3 — основание; 4 —
обмотка; 5 — экранирующий виток

Размер
а₂
экранированной части полюса

а₂
=
( b — ∆_паз)/
(1+
а_э
),
(2.10)

где
а_э
=
0,25
— 0,5 — отношение площади неэкраниреванной
части полюса к
экранированной.

Размер
а₁
неэкранированной
части полюса

а₁
=
а_эа_2.

(2.11)

Электрическое
сопротивление экранирующего витка (Ом)

r
_в
= 1,1 π f
μ₀S
_n
/δ_к, ,
(2.12)

где
δ_к
— конечный зазор между якорем и полюсом,
м.

Высота
экранирующего витка (м)

h
_в =
2(b
+a₂
+2∆_в)/
r
_в ∆_в,
(2.13)

где
∆_в
— толщина витка,
м;
=
[1 + α (Q
—
Q₀
)]—
удельное
электрическое сопротивление материала
экранирующего витка при температуре
нагрева Q,
Ом-м; α
—
температурный коэффициент сопротивления,
I/^оC;

— удельное электрическое сопротивление
материала витка приQ₀,
Ом-м.

Определяется
площадь
полюса S_э
= а₂b

, охваченная
витком,
и площадь полюса S_н
= а₁b,
не охваченная витком.
Если пренебречь потерями мощности в
короткозамкнутом витке и падаиием МДС
на стальных участках магнитной цепи,
то можно
рассчитать угол сдвига

между
магнитными потоками, преходящими через
эти части полюса

φ
= arctg
φ
≈ arctg
ω
λ_δэк
/
r
_в
, (2.14)

где
λ_δэк—
проводимость зазора в экранированной
части полюса при притянутом якоре.
Практически достигнуть φ
=
90^о
невозможно и обычно φ
=50-80°.

Мгновенные
значения усилий для неэкранированной
P_энi,
и экранированной Р_ээi
частей полюса можно определить по
формулам соответственно

P_энi
=
P_энm
(1-cos
2 ωt)
/2, (2.15)

P_ээi
=
P_ээm
(1-cos
2 ωt)
/2, (2.16)

где
амплитуды усилий

P_энm
=
Ф²
_нm
/ (2 μ₀S
_н),
(2.17)

P_ээт
=
Ф²
_эm
/ (2 μ₀S
₀).
(2.18)

Амплитуды
магнитных потоков:

Ф
_нm
=
Ф
_нm
S
_н
/
S
_n.
, (2.19)

Ф
_эm
=
Ф
_эm
S
_э/
S
_n.
. (2.20)

Среднее
значение суммарной силы, действующей
на якорь,

P_эΣ
=
P_энm
/
2 +
P_ээm/
2 = P_энср
+
P_ээср
. (2.21)

Максимальное
и минимальное усилия, действующие на
якорь

P_эΣmax
=
P_эΣ
+
P_~m,
, (2.22)

P_эΣmin
=
P_эΣ
—
P_~m,
, (2.23)

где
— амплитуда усилия
переменной составляющей.

Изменение
электромагнитных сил во времени показано
на рис.2.4.

Для
устранения вибрации якоря должно
выполняться условие P_Σmin
>P _мех. Если
это условие не соблюдается, то параметры
экрана варьируются.

МДС
обмотки (А) для двухкатушечного
электромагнита с двумя экранирующими
витками определяют по приближенной
формуле

,
(2.24)

где
k_u
= 1,2-1,3 — коэффициент колебания напряжения
сети; k_n
=1,1-1,4 — коэффициент, учитывающий падение
магнитного потенциала в стали; R_δ1
и R_δ2
—
магнитное сопротивление рабочих зазоров
в неэкранированной и экранированной
частях полюса, Г_н^-1,
R_е
—
магнитное сопротивление паразитного
зазора, Г_н^-1;
Х_мв
= 2πf/r_в
—
магнитное реактивное сопротивление
экранирующего (короткозамкнутого)
витка, Г_н^-1.

Рис.2.4.
Изменение электромагнитных сил во
времени при наличии короткозамкнутого
витка

Для
магнитных систем с внешним притягивающимся
якорем МДС обмотки (А) без учета магнитного
сопротивления стали при заданном потоке
в рабочем зазоре Ф_δm
находят
по формуле

(2.25)

где
Z_δΣ
— суммарное магнитное сопротивление,
Г_н^-1,
выражение для которого находят по схеме
замещения магнитной цепи. Для приближенных
расчетов можно принять. Z_δΣ
≈
R_δΣ.

Площадь
сечения обмоточного провода (м²)

q
= F
/ W
∆_пр ,
(2.26)

где
∆_пр
— плотность тока в проводе, А/м².

Площадь
обмоточного окна одной катушки в
двухкатушечном электромагните (м²)
равна

Q₀
= 0,5 q
W/
k_з.м
, (2.27)

где
k_з.м.
— коэффициент заполнений обмотки по
меди. Индуктивность обмотки

L
= W²
λ_мΣ
,

(2.28)

где
λ_мΣ
— эквивалентная магнитная проводимость
системы, Гн.

Ток
трогания (А) при начальной противодействующей
силе Р_пр
(Н)
для двухкатушечного электромагнита с
двумя рабочими зазорами равен

,
(2.29)

где
dL/dδ
— производная индуктивности по ходу
якоря при начальном рабочем зазоре,
Гн/м.

Амплитудное
значение пускового тока при сопротивлении
обмотки r₀

,
(2.30)

где
U_m
— aмплитудное
значение напряжения питания.

Время
срабатывания реле

.
(2.31)

Минимальное
и максимальное время трогания
соответственно

t
_{тр мин}
= (arcsin
k_i
тр)
/ (2 π
f),
(2.32)

t
_{тр макс}
= [(arcsin
(1-k_i
тр)
– arcsin
(1-k_i
тр)]
/ (2 π
f),
(2.33)

где
k_i
тр =
I_тр
/I_m.

Минимальное
и максимальное время движения

.
(2.34)

, (2.35)

где
σ — коэффициент рассеяния; Ф_m
— амплитуда магнитного потока для В_
,
равная

.
(2.36)

Среднее
значение тяговой (электромагнитной)
силы электромагнита (Н) определяется
по энергетической формуле

,
(2.37)

где
I = U/Z
— ток в обмотке, А; ψ = E/(2
π
f)
– действующее значение среднего
потокосцепления, Вб;
—
ЭДС обмотки; dψ/dδ , dI/dδ
— производные, определяемые методом
графического дифференцирования
зависимостей I = f
(δ) и ψ = f
(δ);

—
полное сопротивление обмотки.

Построение
тяговой характеристики Р_эср=
f
(δ) производится в такой последовательности:
задаваясь величиной зазора, определяют
λ_мэ
,
Z,
I,
E,
ψ, строят зависимости I = f
(δ) и ψ = f
(δ), графическим методом определяют
производные dψ/dδ , dI/dδ.
Эти значения подставляют в формулу
(2.38) и определяют среднее значение
тяговой силы электромагнита.

Окей, остальные задачки:

1) Магнитное поле в центре кругового витка вычисляется по формуле B = μₒI/2R, откуда по известной индукции и известному радиусу враз находится величина тока. Плотность тока — это ток делить на площадь сечения проводника. Площадь сумеете сосчитать?

2) Индуктивность соленоида можно выразить не только через его длину и число витков (как у Габбаса), но и через длину намотки (l) и плотность намотки (n): L = μₒn²lS. Слова «из прилегающих вплотную» как раз и дают плотность намотки — не забудьте выразить её в числе витков на метр. Индуктивность и магнитный поток Ф внутри соленоида связаны простым соотношением Ф = IL, a индукция через магнитный поток — как B = ФS. Стало быть, индукция магнитного поля внутри соленоида связана с током как B = ILS, При этом площадь сечения соленоида равна πr² (r — тот самый радиус, который надо найти). Отсюда ток I = B/LS = B/Lπr².

В свою очередь, ток, по закону Ома, равен U/R, a R = ρl/s (l — длина проводника, s — его сечение). Полная длина проводника тут — это число витков умножить на длину одного витка, а длина одного витка = 2πr. Число витков N известно, поскольку длина соленоида и шаг витков в задачке указаны. Значит, ток от радиуса зависит как I = U/R = U/(ρl/s) = U/(ρN*2πr/s).

Приравнивая два выражения для тока друг к другу, можно найти радиус.

4) Полное индуктивное сопротивление Z = R + jωL + 1/jωC = R+j(ωL-1/ωC). Из этой формуле можно получить и выражение для его модуля — уж потрудитесь сделать это самостоятельно. Оный же модуль вычисляется из условия задачки по тому же закону Ома. И если приравнять два полученных модуля друг другу, то получится уравнение относительно L. Не штука.

Расчет сечения магнитопровода из условия отсутствия вибрации якоря в замкнутом состоянии и размеров КЗ витка

Для привода контактов мостикового типа необходим электромагнит с поступательным движением якоря. Для полученной противодействующей характеристики (рис. 5) выбираем Ш — образную конструкцию магнитопровода. Эскиз электромагнита приведен на рис. 5.

Эскиз электромагнита

Рис. 5

Из рекомендуемого диапазона сопротивлений КЗ витка

RКЗопт = (0,5…3)10-3 Ом выбираем сопротивление RКЗ = 0,510-3 Ом. Оно определяет размеры КЗ витка.

(5.1)

где = 2f — угловая частота, с-1;

к — конечный зазор между якорем и полюсом, (к = 0,01 см);

S — сечение полюса, см2.

Из формулы (5.1)

см2.

Расположение КЗ витка выбираем так, как показано на рис. 5.2. Как видно из рисунка, активное сечение полюса (сечение, по которому проходит поток в воздушном зазоре)

где kзс — коэффициент заполнения пакета сталью. По табл. 4-1 /4/ для листов оксидированных толщиной 0,35 мм kзс = 0,93.

Согласно рекомендации /4/ принимаем

С учетом принятых коэффициентов, задавшись = 2 мм, найдем размеры полюсов: а1 = 7 мм, а2 = 3,5 мм, b = 22,5 мм.

Сечение среднего стержня принимаем Sмк = b2 = 506 мм2.

Полюс КЗ витком

Рис. 6

Высоту витка (hв) находим из соотношения

(5.2)

где в — удельное сопротивление материала, из которого изготовлен КЗ виток, Омсм. В качестве материала для КЗ витка выбираем медь с

в = 1,6210-5 Оммм.

мм.

Расчет намагничивающей силы обмотки при притянутом якоре

Для определения размеров обмотки необходимо найти ее намагничивающую силу (н.с.). Для этого составляем схему замещения цепи без учета магнитного сопротивления стали.

Схема замещения магнитной цепи

Рис.7

Наибольшее действующее значение намагничивающей силы с учетом колебания напряжения по схеме замещения (рис.5.3) определяем по выражению

(5.3)

где kп — коэффициент, учитывающий потери н.с. в стали, kп = 1,3 /4/;

kU — коэффициент колебания напряжения, kU = 1,25 /4/;

Bm — амплитудное значение индукции, Bm = 1 Тл;

— магнитное сопротивление зазора отлипания, 1/Гн;

— магнитное сопротивление экранированной части полюса, 1/Гн;

— магнитное сопротивление неэкранированной части полюса, 1/Гн;

— магнитное сопротивление КЗ витка, 1/Гн.

Принимаем зазор отлипания равным п = 0,05 см.

1/Гн,

1/Гн,

1/Гн,

1/Гн.

Расчет обмотки намагничивания (без учета активного сопротивления)

Считаем, что напряжение источника уравновешивается ЭДС самоиндукции и справедливо равенство:

.

Число витков обмотки определим по выражению

, (5.4)

где kR — коэффициент, учитывающий падение напряжения на активном сопротивлении, kR = 0,9 /4/;

Umin — минимальное напряжение сети, Umin = 187 В.

.

Принимаем w = 1500 витков.

По значению н.с. определяем ток в обмотке

. (5.5)

А.

Задаемся плотностью тока j = 2,5 А/мм2 и определяем сечение и диаметр провода

; (5.6)

мм2;

мм.

По номинальному ряду /5/ выбираем для провода ПЭВ-2 d = 0,44 мм коэффициентом заполнения kм = 0,586.

Найдем площадь сечения металла провода q:

мм2.

Площадь обмоточного окна Q через коэффициент заполнения kм

. (5.7)

мм2.

Отношение длины катушки l к ее толщине h принимаем , тогда l = 2h. Следовательно мм.

Принимаем h = 14 мм. l = 2h = 214 = 28 мм.

Размеры окна магнитопровода (L и H) найдем иcходя из возможности размещения КЗ витка, каркаса катушки, запаса на размещение катушки:

H = 1,2h = 1,214 = 16,8 мм,

L = 1,2)l = 1,228 = 33,6 мм.

Принимаем H = 17 мм, L = 34 мм.

Высоту якоря aя находим из рекомендации /4/

Sя = 0,8S,

где Sя — площадь сечения якоря, мм.

мм.

Определим омическое сопротивление обмотки и проверим ее на нагрев

, (5.8)

где lср — средняя длина витка обмотки, мм.

lср = 4(b+h) = 4(22,5+14) = 146 мм.

Ом.

Проверим обмотку на нагрев. Температуру перегрева определим по формуле

, (5.9)

где kт = 1,510-3 Вт/(см2С) — коэффициент теплоотдачи,

P0 — активная мощность, Вт:

P0 = I2R0 = (0,362)226 = 3,4 Вт.

Sохл — поверхность охлаждения, см2:

Sохл = 8l(b+h) = 828(22,5+14) = 8176 мм2.

С < доп.

Расчет тяговой характеристики приводного электромагнита

Для расчета тяговой характеристики электромагнита используем методику, изложенную в /5/. Согласно этой методике в основу математического описания статических тяговых усилий P (Н) положена энергетическая формула

(5.10)

где I — действующее ток, А;

— производная индуктивности обмотки по рабочему зазору (см) рассчитывается по выражению , . По закону Ома ток равен

,

где U — действующее напряжение, В;

R — омическое сопротивление обмотки, Ом;

L — индуктивность обмотки, Гн.

,

где w — число витков обмотки;

Rмэкв — эквивалентное магнитное сопротивление всей системы (1/Гн), находится по формуле

,(5.11)

где

s находим по формуле (обозначения см. рис. 5.4):

К определению удельной проводимости

Рис. 8

находим по формуле (обозначения см. рис. 5.5):

.

К определению проводимости рабочего зазора

Рис. 9

находим по формуле (обозначения см. рис. 5.6):

.

Электромагнитную силу можно задать как функцию Pср(д)=, т.к. входящие в неё величины зависят от рабочего воздушного зазора. С помощью математического редактора MathCAD 2001i задаем и строим эту функцию:

Рис. 10 — Тяговая характеристика электромагнита

На рисунке 10 показана тяговая характеристика электромагнита при номинальном напряжении и при 0,85·Uном. Как видно из рисунка, в обоих случаях она лежит выше суммарной противодействующей характеристики пружин.