Как найти площадь правильного четырехугольника пирамиды

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Формулы площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Расчет полной площади пирамиды Хеопса

Изучая объемные фигуры в курсе стереометрии, школьники часто сталкиваются с задачей определения площади их поверхности. Успешное решение этой задачи возможно, если четко представлять, с какой фигурой ведется работа. Данная статья посвящена вопросу определения площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной).

Описание фигуры

Начнем раскрытие вопроса статьи с определения правильной четырехугольной пирамиды. Под ней в геометрии понимают фигуру в пространстве, которая образована одним квадратом и четырьмя одинаковыми равнобедренными треугольниками (при определенных параметрах фигуры эти треугольники могут быть равносторонними). Пример рассматриваемой фигуры показан ниже.

Вам будет интересно: Егерские полки – прообраз современного спецназа

Каждый равнобедренный треугольник пересекается по боковым граням с двумя соседними треугольниками, и по грани основания — с квадратом. Кроме того, все четыре треугольника пересекаются в одной точке, которая носит название главной вершины пирамиды. Помимо нее, фигура имеет еще четыре вершины, но все они принадлежат основанию.

Четырехугольной эта пирамида называется потому, что ее основание является четырехугольником. А правильной она считается потому, что это основание представляет собой квадрат, и сама фигура является прямой. Последнее означает, что опущенный с вершины перпендикуляр на квадрат пересекает его точно в геометрическом центре.

Что собой представляет площадь поверхности правильной пирамиды (четырехугольной)

Многим будет нелегко ответить на этот вопрос. Действительно, мы рассматриваем объемную фигуру, а когда говорят о площадях, то имеют в виду силуэт на плоскости. В связи со сказанным в геометрии для вычисления площадей пространственных объектов используют их плоские развертки.

Развертку рассматриваемой пирамиды получить несложно. Предположим, что у нас имеется бумажная фигура с квадратным основанием. Возьмем ножницы и отрежем от нее квадрат. Затем разрежем вдоль бокового ребра (отрезок пересечения треугольников) пирамидальную поверхность и развернем ее в плоскую интерпретацию. В результате этих действий у нас получится плоская фигура, подобная той, что показана на рисунке.

Таким образом, отвечая на вопрос, как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды, следует сказать, что для этого нужно сложить площадь квадрата и площади четырех одинаковых треугольников.

Формулы для нахождения величины

Из планиметрии известно, что расчет площади производится с учетом знания линейных параметров плоской фигуры. В нашем случае речь идет о двух типах объектов: равнобедренном треугольнике и квадрате.

Обозначим сторону четырехугольника буквой a, а высоту треугольника hb (она называется апофемой пирамиды). Тогда для площади So квадрата можно записать:

Площадь же треугольника S3 будет равна:

S3 = 1 / 2 * a * hb

Поскольку треугольников с площадью S3 в рассматриваемой пирамиде четыре штуки, то формула площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной) примет вид:

S = So + 4 * S3 = a2 + 4 / 2 * a * hb = a * (a + 2 * hb)

При решении некоторых задач вместо апофемы hb может быть известен другой линейный параметр пирамиды — высота h. Поэтому будет полезным, если мы здесь приведем формулу для S через параметры a и h.

Решить поставленную задачу можно, если увидеть внутри пирамиды треугольник прямоугольный, и рассчитать гипотенузу-апофему по следующей формуле:

Подставляя это выражение в записанную выше формулу для S, получаем:

S = a * (a + 2 * √(h2 + a2 / 4))

Это выражение выглядит несколько сложнее, чем первое. Тем не менее, оно чаще используется при рассмотрении геометрических проблем с четырехугольной пирамидой.

Записанные формулы для площади рассматриваемой фигуры можно не запоминать, важно лишь ясно представлять развертку пирамиды и уметь находить площадь треугольника.

Использование формулы площади четырехугольной пирамиды на примере сооружения Хеопса

Конечно же, речь идет о пирамиде Хеопса — самой знаменитой каменной постройки за всю известную нам историю. Рассчитаем площадь поверхности этого гиганта, используя следующие данные о нем:

• среднее значение длины стороны основания равно 230,363 метра;
• начальная высота сооружения составляла 146,50 метра.

Чтобы найти искомую площадь, следует воспользоваться второй формулой, приведенной в предыдущем пункте статьи. Сделаем это:

S = a * (a +2 * √(h2 + a2 / 4)) = 230,3632 + 230,363 * 2 * √(146,502 + 230,3632 / 4) ≈ 138 927 м2

Чтобы понять, насколько огромно рассчитанное значение, сравним его с параметрами футбольного поля (5 000 м2). Полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды Хеопса почти в 28 раз больше величины площадки для игры.

Формулы площади четырехугольной пирамиды произвольного типа и правильной. Пример геометрической задачи

Четырехугольная пирамида, пожалуй, самая известная фигура из данного класса объемных геометрических объектов. Ее свойства и характеристики изучают в старших классах школ. Данная статья призвана ответить на вопрос о том, по какой формуле площадь четырехугольной пирамиды рассчитывается.

Четырехугольная пирамида

Чтобы не ходить далеко за примерами этой фигуры, сразу скажем, что великая пирамида Хеопса является самой известной четырехугольной правильной фигурой.

С чисто геометрической точки зрения пирамида четырехугольная представляет собой объект, образованный пятью гранями: четырьмя треугольниками и одним плоским четырехугольником. Построить в пространстве эту фигуру не представляет никакого труда. Для этого берется плоский четырехугольник (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и так далее), а затем все его вершины соединяются с одной единственной точкой в пространстве, которая станет вершиной пирамиды. В результате таких простых геометрических операций мы получаем четырехугольную пирамиду.

Видно, что фигура состоит из пяти граней, пяти вершин, одна из которых является главной, и восьми ребер (4 относятся к основанию, 4 принадлежат треугольникам).

Не все четырехугольные пирамиды имеют одинаковую форму. Существует несколько типов этих фигур. Например, пирамиды бывают наклонные и прямые. В первом случае перпендикуляр, который опущен из вершины к четырехугольному основанию, пересекает последнее в точке, не совпадающей с его центром. В случае же прямой фигуры точка пересечения перпендикуляра плоскости основания и является его центром. Напомним, что центр выпуклого четырехугольника лежит в точке пересечения двух диагоналей.

Помимо наклонных и прямых фигур, четырехугольные пирамиды могут быть правильными и неправильными. Любая пирамида с квадратным основанием, которая является прямой, будет правильной. Правильные пирамиды отличаются друг от друга размерами (длиной стороны квадрата a, длиной ребер боковых b и высотой h). При выполнении вычислений различных геометрических характеристик с правильными пирамидами, в виду их высокой симметрии, удобно работать. Кроме того, многие свойства этих фигур описываются специальными выражениями, включая формулу площади правильной пирамиды четырехугольной.

Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа

Чтобы определить площадь любого многогранника, необходимо сложить площади всех его сторон. Изучаемая фигура имеет пять сторон, четыре из которых являются треугольными. Их площади найти несложно, если знать высоту каждого треугольника h_bi (она является апофемой пирамиды) и длину каждой стороны четырехугольника a_i. Тогда для четырехугольной пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

К значению S_b следует добавить площадь четырехугольника S₄, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды. Величину S₄ несложно определить, если известны стороны a_i и углы четырехугольника.

Площадь правильной фигуры

Как было сказано выше, для правильной пирамиды четырехугольной формула площади поверхности имеет конкретный вид. Получим ее.

Начнем с рассмотрения площади основания. Поскольку оно представляет собой обычный квадрат, то его площадь вычисляется с помощью простого выражения:

Теперь обратим внимание на боковую поверхность. Представлена она четырьмя одинаковыми треугольниками, которые к тому же являются равнобедренными, или равносторонними. Все апофемы треугольников равны, обозначим их длину h_b. Площадь поверхности боковой будет равна:

Тогда формула площади поверхности четырехугольной пирамиды правильной примет следующий вид:

Решение задачи по геометрии

Известно, что ребро правильной пирамиды, которая имеет квадрат в основании, равно длине диагонали этого основания. Зная, что сторона квадрата равна 8 см, необходимо определить площадь всех граней данной фигуры.

Поскольку диагональ квадрата d равна длине ребра бокового b, то получаем:

Теперь следует увидеть, что в изучаемой пирамиде ребро b, апофема h_b и половина стороны квадрата образуют треугольник с углом 90 o . Этот факт позволяет воспользоваться теоремой Пифагора для определения h_b:

Теперь можно применить формулу площади четырехугольной пирамиды:

Остается подставить значение стороны квадрата из условия и записать ответ: S = 233,33 см 2 .

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной a, боковыми гранями являются четыре равнобедренных треугольника с основанием a и равными бедрами b.

Площадь правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания — квадрата пирамиды и площади четырех треугольников боковых граней.

[ S = S_{осн} + 4 S_{бок} ]

Раскроем формулу (1) подставив в нее площадь квадрата и площадь равнобедренных треугольников

[ S = a^2 + 2 a sqrt{b^2-frac{a^2}{4}} ]

Вычислить, найти площадь правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Формула для вычисления площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Через сторону и боковую грань $S=2 a sqrt{b^{2}-frac{a^{2}}{4}}$, где:

a — сторона основания

b — боковая грань

Через стороны и высоту $S=frac{4 cdot a}{2}left(frac{a}{2 cdot operatorname{tg}left(45^{circ}right)}+sqrt{h^{2}+left(frac{a}{2 cdot operatorname{tg}left(45^{circ}right)}right)^{2}}right)$, где:

a — сторона основания

h — высота