Как найти площадь поверхности вырезанную поверхностями

Задачи с решениями

1. Найти площадь части сферы
   

   заключенной внутри цилиндра
   

Решение Из уравнения сферы имеем
(для I октанта):

областью интегрирования D.
Поверхность расположена в четырех
октантах потому искомая площадь

Перейдем к полярным координатам, тогда
уравнение окружности примет вид

1. Найти площадь части конуса
   

   внутри цилиндра
   

Решение Из уравнения конуса
имеем

Областью
интегрирования D является круг,
ограниченный окружностью

1. Вычислить площадь поверхности цилиндра

   

   отсеченной плоскостями
   

Решение Областью интегрирования
служит треугольник ОАВ. Из уравнения
цилиндра имеем

1. Вычислить площадь части поверхности
   параболоида x
   
   ,
   вырезанной цилиндром
   

Решение Область интегрирования
— окружность

(она расположена в плоскости yOz).
Из уравнения параболоида имеем

Задачи

36 . Найти площадь части поверхности

вырезанной цилиндром

37. Найти площадь части сферы

вырезанной цилиндром

38. Найти площадь той части плоскости z=
x:, которая заключена
внутри цилиндра

39. Найти площадь части поверхности
цилиндра z = x²,
вырезанной плоскостями

40. Вычислить площадь поверхности конуса

расположенной внутри цилиндра

41. Вычислить площадь поверхности цилиндра

расположенной внутри цилиндра

42. Найти площадь части поверхности

вырезанной плоскостями

Индивидуальные задания

Тройной интеграл

Пусть функция f (х, у, z)
определена в ограниченной замкнутой
пространственной области Т. Разобьем
область Т произвольным образом на п
элементарных областей T₁
Т₂, …, Т_n с
диаметрами d₁ d₂,
…, dn и объемами ∆V₁,
∆V_{2, ….,}∆Vn.
В каждой элементарной области возьмем
произвольную точку P_k
(ξ₁, ξ₂, … , ξ_n
) и умножим значение функции в точке Р_k
на объем этой области.

Интегральной суммой для функции f
(х, у, z) по области Т
называется сумма вида

Предел интегральной суммы при стремлении
к нулю наибольшего из диаметров всех
элементарных областей ∆Vk
называется тройным интегралом от функции
f (х, у, z) по
области Т и обозначается следующим
образом:

Конечный предел такого вида может
существовать только для ограниченной

функции.

Если f (х, у, z)
> 0 в области Т, то тройной интеграл

представляет собой массу тела, занимающего
область Т и имеющего переменную плотность
γ = f(x, у, z)
(физическое истолкование тройного
интеграла).

Основные свойства тройных интегралов
аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной
интеграл обычно записывают в виде

Пусть область интегрирования Т
определяется неравенствами x₁≤
x≤ x_2, y₁≤
y ≤ y_2,
z₁≤ z
≤ z_2, где y₁(x),
y₂(x),
z₁(x,y),
z₂ (x,y)
непрерывные функции. Тогда тройной
интеграл от функции f (х,
у, z), распространенный на область Т,
вычисляется по формуле

Если при вычислении тройного интеграла
требуется перейти от переменных х, у, z
к новым переменным и, v, w, связанным с х,
у, z соотношениями х = х(u,
v, w), y = y(u, v, w), z = z (u, v, w), где
функции х(и, v, w), y(u,v, w) z (u, v, w), непрерывные
вместе со своими частными производными
первого порядка, устанавливают взаимно
однозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие между точками области Т
пространства Oxyz и точками некоторой
области Т’ пространства Ouvw и якобиан J
в области Т’ не обращается в нуль

то пользуются формулой

В частности, при переходе от декартовых
координат х, у, z к
цилиндрическим координатам ρ,φ , z
(рис. 17), связанным с х, у, z
соотношениями

якобиан преобразования J = ρ
и формула преобразования тройного
интеграла

к цилиндрическим координатам имеет вид

При переходе от декартовых координат
х, у, z к сферическим координатам ρ,φ,θ
(рис. 18), связанным с х, у, z соотношениями

якобиан преобразования J
= ρ² sinθ, и формула
преобразования тройного интеграла к
сферическим координатам имеет вид

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Случай явного задания поверхности. ПлощадьГладкой поверхности Выражается формулой

(19.19)

Где— проекция данной поверхности на плоскость

Если поверхность имеет уравнение видаТо

(19.20)

Где— проекция поверхности на ось

Если поверхность задана уравнением,, то

(19.21)

Где— проекция поверхности на ось

Случай неявного задания поверхности. ПлощадьПоверхности, заданной уравнениемВыражается интегралом

(19.22)

Где— проекция поверхности на плоскость

Случай параметрического задания поверхности. Если поверхность задана параметрическими уравнениями

Где— ограниченная замкнутая квадрируемая область, в которой

Функции х, у, z непрерывно дифференцируемы, то

(19.24)

Где

(19.25)

Пример 19.17. Найти площадь части поверхности цилиндра Заключенной внутри сферы(боковая поверх

Ность «тела Вивиани», рис. 19.19).

Применим формулу (19.20). Поскольку плоскостьюЦилиндр разделяется на две равные части, то можно вычислить половину искомой площади поверхности. Вычислим площадь той части поверхности, уравнение которой Для определения области интегрирования следует спроецировать на плоскость линию пересечения поверхностей, уравнение которой находится исключениемИз данных уравнений. Вычитая одно уравнение из другого, получаемЭто

Так как

Уравнение параболы, лежащей в плоскости С вершиной на осиНа расстоянии от начала координат и пересекающей ось в точкахДуга указанной

Параболывместе с соответствующим отрезком осиСоставляют границу области.

Пример 19.18. Вычислить площадь поверхности конуса , заключенной внутри цилиндра Цилиндр отсекает на поверхности конуса две части, симметричные относительно плоскостиНа рис. 19.20 изображена только верхняя частьВычислим пло

ИшьЭтой части, проекция которой на плоскостьЕсть круг

Так как для рассматриваемой части конуса

То по формуле (19.19)

Получаем

Где— окружность Переходя к полярным координатам, находим

Следовательно, вся искомая площадь

Пример 19.19. Найти площадь поверхности, вырезанной цилиндром Из сферы

Цилиндр вырезает из сферы две части, верхняя из них изображена на рис. 19.21. Вычислим площадьПоверхности этой сферы. Для верхней полусферы

Следовательно,— круг

Переходя к полярным координатам, находим 338

Итак,

Рис. 19.20

Пример 19.20. Вычислить площадь частей сферы вырезанных из нее цилиндромВоспользовавшись параметрическими

Уравнениями сферической поверхности:

Рис. 19.21

Здесь вдет речь о вычислении площади верхнего и нижнего оснований «тела Вивиани» (см. рис. 19.19). Воспользуемся формулой (19.24), для чего предварительно найдем коэффициентыТак как

То по формулам (19.25)

НаходимСледовательно,

Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей в первом октанте. Для точек «кривой Вивиани», т. е. кривой пересечения сферы и цилиндра (в пределах первого октанта),Действительно подставляя выраженияИЧерезИВ уравнение цилиндраПолучаем И поскольку для рассматриваемых точек, очевидно, , то отсюда следует, что

Установив на основании сказанного пределы измененияИПо формуле (19.24) получим

Вычисление площади поверхности

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf { textit { D } } $ на плоскости $mathbf { textit { Оху } } $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

$ s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+left( { frac { partial f } { partial x } }right)^2+left( { frac { partial f } { partial y } }right)^2 } dxdy } . $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } $ = 2$mathbf { textit { ax } } $ из сферы $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } $ = 4$mathbf { textit { a } } ^ { 2 } $ .

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности $z=sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } ,$ вычисляем производные $frac { partial z } { partial x } =-frac { x } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } , quad frac { partial z } { partial y } =-frac { y } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } ,$ и $s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+frac { x^2+y^2 } { 4a^2-x^2-y^2 } dxdy } } =2aiintlimits_D { frac { dxdy } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } } $.

Область $mathbf { textit { D } } $ — сдвинутый на $mathbf { textit { а } } $ единиц по оси $mathbf { textit { Ох } } $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf { textit { Оху } } $ и $mathbf { textit { Охz } } $:

$s(sigma )=4cdot 2aiintlimits_ { D_ { r,varphi } } { frac { rdrdvarphi } { sqrt { 4a^2-r^2 } } } =8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi intlimits_0^ { 2acos varphi } { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { -1/2 } rdr } } =-8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi left. { left( { 4a^2-r^2 }right)^ { 1/2 } }right|_0^ { 2acos varphi } } = \ =8aintlimits_0^ { pi /2 } { left[ { 2a-2asqrt { 1-cos ^2varphi } }right]dvarphi } =16a^2left. { left( { varphi +cos varphi }right) }right|_0^ { pi /2 } =16a^2left( { pi /2-1 }right)$.

Пример 2

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = { a^2 } } ;; { text { или } ;;z = sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } . } $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } .$

Найдем частные производные. $ { frac { { partial z } } { { partial x } } } = { frac { partial } { { partial x } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } x } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { x } { z } , } $ $ { frac { { partial z } } { { partial y } } } = { frac { partial } { { partial y } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } y } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { y } { z } . } $

Подставляя найденные производные, получаем $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }right) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }right) } ^2 } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { 1 + frac { { { x^2 } } } { { { z^2 } } } + frac { { { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { frac { { { z^2 } + { x^2 } + { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } . } $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } } = { intlimits_0^ { 2pi } { intlimits_0^a { frac { a } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } rdrdtheta } } } = { aintlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^a { frac { { rdr } } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aintlimits_0^a { frac { { dleft( { { a^2 } — { r^2 } }right) } } { { 2sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aleft. { left( { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } }right) }right|_ { r = 0 } ^a } = { — 2pi aleft( { 0 — a }right) = 2pi { a^2 } . } $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 { S_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 4pi { a^2 } .$